Espacio pseudoeuclidiano

En matemáticas y física teórica , un espacio pseudoeuclidiano de signatura $(k, nk)$ es un espacio n real de dimensión finita junto con una forma cuadrática no degenerada $q$ . Dicha forma cuadrática puede, dada una elección adecuada de base $($ $e$ $1$ $, \dots,$ $e$ $n$ $)$ , aplicarse a un vector $x$ $=$ $x$ $1$ $e$ $1$ $+ \dots +$ $x$ $n$ $e$ $n$ , dando lo que se denomina el cuadrado escalar del vector $x$ . ^[1]^{: 3} $q(x)=\left(x_{1}^{2}+\puntos +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\puntos +x_{n}^{2}\right)$

Para espacios euclidianos , $k = n$ , lo que implica que la forma cuadrática es definida positiva . ^[2] Cuando $0 < k < n$ , entonces $q$ es una forma cuadrática isótropa . Nótese que si $1 \leq i \leq k < j \leq n$ , entonces $q (e i + e j) = 0$ , de modo que $e i + e j$ es un vector nulo . En un espacio pseudoeuclidiano con $k < n$ , a diferencia de un espacio euclidiano, existen vectores con cuadrado escalar negativo .

Al igual que el término espacio euclidiano , el término espacio pseudoeuclidiano puede usarse para referirse a un espacio afín o a un espacio vectorial según el autor, y este último puede denominarse alternativamente espacio vectorial pseudoeuclidiano ^[3] (véase distinción punto-vector ).

Geometría

La geometría de un espacio pseudoeuclidiano es consistente a pesar de que no se aplican algunas propiedades del espacio euclidiano, en particular que no es un espacio métrico como se explica a continuación. La estructura afín no cambia, y por lo tanto tampoco los conceptos de línea , plano y, en general, de un subespacio afín ( plano ), así como los de segmentos de línea .

Cuadrados escalares positivos, cero y negativos

$n = 3$ , $k$ es 1 o 2 dependiendo de la elección del signo de $q$

Un vector nulo es un vector cuya forma cuadrática es cero. A diferencia de un espacio euclidiano, dicho vector puede ser distinto de cero, en cuyo caso es autoortogonal. Si la forma cuadrática es indefinida, un espacio pseudoeuclidiano tiene un cono lineal de vectores nulos dado por ${x | q (x) = 0 }$ . Cuando el espacio pseudoeuclidiano proporciona un modelo para el espacio-tiempo (ver más abajo), el cono nulo se denomina cono de luz del origen.

El cono nulo separa dos conjuntos abiertos , ^[4] respectivamente para los cuales $q (x) > 0$ y $q (x) < 0$ . Si $k \geq 2$ , entonces el conjunto de vectores para los cuales $q (x) > 0$ es conexo . Si $k = 1$ , entonces consta de dos partes disjuntas, una con $x 1 > 0$ y otra con $x 1 < 0$ . De manera similar, si $n - k \geq 2$ , entonces el conjunto de vectores para los cuales $q (x) < 0$ es conexo. Si $n - k = 1$ , entonces consta de dos partes disjuntas, una con $x n > 0$ y otra con $x n < 0$ .

Intervalo

La forma cuadrática $q$ corresponde al cuadrado de un vector en el caso euclidiano. Para definir la norma (y la distancia) del vector de manera invariante , hay que obtener raíces cuadradas de cuadrados escalares, lo que conduce a distancias posiblemente imaginarias ; véase raíz cuadrada de números negativos . Pero incluso para un triángulo con cuadrados escalares positivos de los tres lados (cuyas raíces cuadradas son reales y positivas), la desigualdad del triángulo no se cumple en general.

Por tanto, en la geometría pseudoeuclidiana se evitan los términos norma y distancia , que pueden sustituirse por cuadrado escalar e intervalo respectivamente.

Sin embargo, para una curva cuyos vectores tangentes tienen todos cuadrados escalares del mismo signo, la longitud del arco está definida. Tiene aplicaciones importantes: véase el tiempo propio , por ejemplo.

Rotaciones y esferas

El grupo de rotaciones de dicho espacio es el grupo ortogonal indefinido $O($ $q$ $)$ , también denotado como $O($ $k$ $,$ $n$ $-$ $k$ $)$ sin una referencia a una forma cuadrática particular. ^[5] Tales "rotaciones" preservan la forma $q$ y, por lo tanto, el cuadrado escalar de cada vector, incluyendo si es positivo, cero o negativo.

Mientras que el espacio euclidiano tiene una esfera unitaria , el espacio pseudoeuclidiano tiene las hipersuperficies ${x | q (x) = 1 }$ y ${x | q (x) = -1 }$ . Una hipersuperficie de este tipo, llamada cuasiesférica , se conserva mediante el grupo ortogonal indefinido apropiado.

Forma bilineal simétrica

La forma cuadrática $q$ da lugar a una forma bilineal simétrica definida de la siguiente manera:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{2}}[q(x+y)-q(x)-q(y)]=\left(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}\right)-\left(x_{k+1}y_{k+1}+\ldots +x_{n}y_{n}\right).

La forma cuadrática se puede expresar en términos de la forma bilineal: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

Cuando $⟨ x, y ⟩ = 0$ , entonces $x$ e $y$ son vectores ortogonales del espacio pseudo-euclidiano.

Esta forma bilineal a menudo se denomina producto escalar y, a veces, "producto interno" o "producto escalar", pero no define un espacio de producto interno y no tiene las propiedades del producto escalar de los vectores euclidianos.

Si $x$ e $y$ son ortogonales y $q (x) q (y) < 0$ , entonces $x$ es hiperbólicamente ortogonal a $y$ .

La base estándar del espacio $n$ real es ortogonal . No existen bases ortonormales en un espacio pseudoeuclidiano para el cual la forma bilineal sea indefinida, porque no se puede utilizar para definir una norma vectorial .

Subespacios y ortogonalidad

Para un subespacio (de dimensión positiva) ^[6] $U$ de un espacio pseudo-euclidiano, cuando la forma cuadrática $q$ está restringida a $U$ , son posibles los siguientes tres casos:

$q | U$ es definida positiva o negativa . Entonces, $U$ es esencialmente euclidiana (hasta el signo de $q$ ).
$q | U$ es indefinido, pero no degenerado. Entonces, $U$ es pseudoeuclidiano. Esto sólo es posible si $dim U \geq 2$ ; si $dim U = 2$ , lo que significa que $U$ es un plano , entonces se denomina plano hiperbólico .
$q | U$ es degenerado.

Una de las propiedades más chocantes (para una intuición euclidiana) de los vectores y planos pseudoeuclidianos es su ortogonalidad . Cuando dos vectores euclidianos distintos de cero son ortogonales, no son colineales . Las intersecciones de cualquier subespacio lineal euclidiano con su complemento ortogonal es el subespacio {0} . Pero la definición de la subsección anterior implica inmediatamente que cualquier vector $ν$ de cuadrado escalar cero es ortogonal a sí mismo. Por lo tanto, la línea isótropa $N = ⟨ ν ⟩$ generada por un vector nulo ν es un subconjunto de su complemento ortogonal $N ⊥$ .

La definición formal del complemento ortogonal de un subespacio vectorial en un espacio pseudoeuclidiano da un resultado perfectamente bien definido, que satisface la igualdad $dim U + dim U ⊥ = n$ debido a la no degeneración de la forma cuadrática. Es simplemente la condición

U \cap U ⊥ = {0}

o, equivalentemente,

U + U ⊥ =

todo el espacio,

que puede romperse si el subespacio $U$ contiene una dirección nula. ^[7] Si bien los subespacios forman una red , como en cualquier espacio vectorial, esta operación $⊥$ no es una ortocomplementación , a diferencia de los espacios de producto interno .

Para un subespacio $N$ compuesto enteramente de vectores nulos (lo que significa que el cuadrado escalar $q$ , restringido a $N$ , es igual a $0$ ), siempre se cumple:

N \subset N ⊥

o, equivalentemente,

N \cap N ⊥ = N

Un subespacio de este tipo puede tener hasta $min(k, n - k)$ dimensiones . ^[8]

$Para un k$ -subespacio euclidiano (positivo), $su$ $complemento ortogonal es un subespacio "euclidiano" negativo de dimensión (n - k)$ , y viceversa. En general, para un subespacio $U$ $de dimensión (d + + d- + d0)$ que consta de $dimensiones$ $d$ $+$ positivas y $d-$ $negativas$ $($ véase la ley de $inercia$ $de$ Sylvester para $mayor claridad),$ $su$ "complemento" ortogonal $U⊥$ tiene dimensiones $($ $k$ $-$ $d$ $+$ $-d0$ $)$ positivas y $($ $n$ $-$ $k$ $-$ $d$ $--$ $d0$ $)$ $negativas$ , mientras que las restantes $d0$ $son$ degeneradas y forman la $intersección$ $U\cap$ $U⊥$ .

Ley del paralelogramo y teorema de Pitágoras

La ley del paralelogramo toma la forma

q(x)+q(y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)+q(x-y)).

Utilizando el cuadrado de la identidad de la suma, para un triángulo arbitrario se puede expresar el cuadrado escalar del tercer lado a partir de los cuadrados escalares de dos lados y su producto en forma bilineal:

q(x+y)=q(x)+q(y)+2\langle x,y\rangle .

Esto demuestra que, para vectores ortogonales, se cumple un análogo pseudoeuclidiano del teorema de Pitágoras :

\langle x,y\rangle =0\Rightarrow q(x)+q(y)=q(x+y).

Ángulo

En general, el valor absoluto $| ⟨ x, y ⟩ |$ de la forma bilineal en dos vectores puede ser mayor que $\sqrt | q (x) q (y) |$ , igual a este o menor. Esto causa problemas similares con la definición de ángulo (ver Producto escalar § Definición geométrica ) como los que aparecieron anteriormente para las distancias.

Si $k = 1$ (solo un término positivo en $q$ ), entonces para vectores de cuadrado escalar positivo: $|\langle x,y\rangle |\geq {\sqrt {q(x)q(y)}}\,,$

que permite definir el ángulo hiperbólico , un análogo del ángulo entre estos vectores a través del coseno hiperbólico inverso : ^[9] $\operatorname {arcosh} {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\sqrt {q(x)q(y)}}}\,.$

Corresponde a la distancia en un espacio hiperbólico de dimensión $(n - 1)$ . Esto se conoce como rapidez en el contexto de la teoría de la relatividad que se analiza a continuación. A diferencia del ángulo euclidiano, toma valores de $[0, +\infty)$ y es igual a 0 para vectores antiparalelos .

No existe una definición razonable del ángulo entre un vector nulo y otro vector (ya sea nulo o no nulo).

Álgebra y cálculo tensorial

Al igual que los espacios euclidianos, cada espacio vectorial pseudoeuclidiano genera un álgebra de Clifford . A diferencia de las propiedades anteriores, donde la sustitución de $q$ por $- q$ cambiaba los números pero no la geometría , la inversión del signo de la forma cuadrática da como resultado un álgebra de Clifford distinta, por lo que, por ejemplo, $Cl 1,2 (R)$ y $Cl 2,1 (R)$ no son isomorfos.

Al igual que en cualquier espacio vectorial, existen tensores pseudoeuclidianos . Al igual que en una estructura euclidiana, existen operadores de elevación y descenso de índices , pero, a diferencia de lo que ocurre con los tensores euclidianos , no hay bases donde estas operaciones no cambien los valores de los componentes. Si existe un vector $v β$ , el vector covariante correspondiente es:

v_{\alpha }=q_{\alpha \beta }v^{\beta }\,,

y con la forma estándar

q_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}I_{k\times k}&0\\0&-I_{(n-k)\times (n-k)}\end{pmatrix}}

Los primeros $k$ componentes de $v α$ son numéricamente iguales a los de $v β$ $, pero los n - k$ restantes tienen signos opuestos .

La correspondencia entre tensores contravariantes y covariantes hace que un cálculo tensorial en variedades pseudo-riemannianas sea una generalización de uno en variedades riemannianas.

Ejemplos

Un espacio pseudoeuclidiano muy importante es el espacio de Minkowski , que es el contexto matemático en el que se formula la teoría de la relatividad especial . Para el espacio de Minkowski, $n = 4$ y $k = 3$ ^[10] , de modo que

q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2},

La geometría asociada a esta pseudométrica fue investigada por Poincaré . ^[11]^[12] Su grupo de rotación es el grupo de Lorentz . El grupo de Poincaré incluye también traslaciones y desempeña el mismo papel que los grupos euclidianos de los espacios euclidianos ordinarios.

Otro espacio pseudoeuclidiano es el plano $z = x + yj$ que consiste en números complejos divididos , equipado con la forma cuadrática

\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.

Este es el caso más simple de un espacio pseudoeuclidiano indefinido ( $n = 2$ , $k = 1$ ) y el único en el que el cono nulo disecciona el espacio restante en cuatro conjuntos abiertos. El grupo $SO + (1, 1)$ consta de las denominadas rotaciones hiperbólicas .

Véase también

Notas al pie

^ Élie Cartan (1981), La teoría de los espinores , Dover Publications , ISBN 0-486-64070-1
^ Los espacios euclidianos se consideran espacios pseudoeuclidianos; véase, por ejemplo, Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer Science & Business Media , pág. 32.
^ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Álgebras de Clifford y estructuras de espinores , Springer Science & Business Media , pág. 32[1]
^ Se supone la topología estándar en $R n .$
^ Lo que es el "grupo de rotaciones" depende de la definición exacta de una rotación. Los grupos "O" contienen rotaciones impropias . Las transformadas que preservan la orientación forman el grupo $SO(q)$ o $SO(k, n - k)$ , pero tampoco es conexo si tanto $k$ como $n - k$ son positivos. El grupo $SO + (q)$ , que preserva la orientación en partes cuadradas escalares positivas y negativas por separado, es un análogo (conexo) del grupo de rotaciones euclidiano $SO(n)$ . De hecho, todos estos grupos son grupos de Lie de dimensión $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ n ( n −1)$ .
^ Se supone un subespacio lineal , pero las mismas conclusiones son verdaderas para un plano afín con la única complicación de que la forma cuadrática siempre está definida en vectores, no en puntos.
^ En realidad, $U \cap U ⊥$ no es cero sólo si la forma cuadrática $q$ restringida a $U$ es degenerada.
^ Thomas E. Cecil (1992) Geometría de esferas de Lie , página 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Nótese que $cos (i arcosh s) = s$ , por lo que para $s > 0$ estos pueden entenderse como ángulos imaginarios.
^ Otra representación bien establecida utiliza $k = 1$ e índices de coordenadas que comienzan desde $0$ (por lo tanto $q (x) = x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), pero son equivalentes hasta el signo de $q$ . Véase Convención de signos § Signatura métrica .
^ H. Poincaré (1906) Sobre la dinámica del electrón, Rediconti del Circolo Matematico di Palermo
^ BA Rosenfeld (1988) Una historia de la geometría no euclidiana , página 266, Estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Referencias

Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de los espinores, Nueva York: Dover Publications , pág. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, Sr. 0631850
Werner Greub (1963) Álgebra lineal , 2.ª edición, §12.4 Espacios pseudoeuclidianos, págs. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) "Geometría euclidiana y cronometría minkowskiana", American Mathematical Monthly 71:129–44.
Novikov, SP; Fomenko, AT; [traducido del ruso por M. Tsaplina] (1990). Elementos básicos de geometría diferencial y topología . Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Szekeres, Peter (2004). Un curso de física matemática moderna: grupos, espacio de Hilbert y geometría diferencial . Cambridge University Press . ISBN 0-521-82960-7.
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Enlaces externos

DD Sokolov (creador), Espacio pseudoeuclidiano, Enciclopedia de matemáticas