Teorema de la intersección

Sobre las proporciones de segmentos de recta formados cuando dos rectas que se cruzan son cortadas por un par de paralelos

El teorema de la intersección , también conocido como teorema de Tales , teorema básico de proporcionalidad o teorema del divisor lateral , es un teorema importante en geometría elemental sobre las proporciones de varios segmentos de recta que se crean si dos rayos con un punto de partida común son interceptados por un par de paralelos. . Es equivalente al teorema sobre razones en triángulos semejantes . Se atribuye tradicionalmente al matemático griego Tales . Era conocido por los antiguos babilonios y egipcios, aunque su primera prueba conocida aparece en los Elementos de Euclides .

Formulación del teorema.

teorema de interceptación con rayos

| SA | / | SB | = | Aire acondicionado | / | BD | no implica necesariamente que AC sea paralelo a BD .

Supongamos que S es el punto de partida común de dos rayos y A, B son las intersecciones del primer rayo con los dos paralelos, de modo que B está más lejos de S que A, y de manera similar C, D son las intersecciones del segundo rayo con los dos paralelos tales que D está más lejos de S que C. En esta configuración se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[1] [2]}

1. La razón de dos segmentos cualesquiera del primer rayo es igual a la razón de los segmentos correspondientes del segundo rayo: , ,
   ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}}$ ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}}$
2. La razón de los dos segmentos del mismo rayo que comienza en S es igual a la razón de los segmentos en las paralelas:
   ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$
3. Lo contrario de la primera afirmación también es cierto, es decir, si los dos rayos son interceptados por dos líneas arbitrarias y se cumple, entonces las dos líneas que las interceptan son paralelas. Sin embargo, lo contrario de la segunda afirmación no es cierto (consulte el gráfico para ver un contraejemplo). ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$

Extensiones y conclusiones

teorema de la intersección con un par de líneas que se cruzan

teorema de la intersección con más de dos líneas

Las dos primeras afirmaciones siguen siendo verdaderas si los dos rayos se reemplazan por dos líneas que se cruzan en . En este caso hay dos escenarios con respecto a , o se encuentra entre los 2 paralelos (figura X) o no (figura V). Si no se encuentra entre los dos paralelos, se aplica directamente el teorema original. Si se encuentra entre los dos paralelos, entonces una reflexión de y en produce una figura V con medidas idénticas para las cuales ahora se aplica el teorema original. ^[2] Sin embargo, la tercera afirmación (inversa) no es válida para las líneas. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

Si hay más de dos rayos que comienzan en o más de dos líneas que se cruzan en , entonces cada paralelo contiene más de un segmento de línea y la relación de dos segmentos de línea en un paralelo es igual a la relación de los segmentos de línea correspondientes en el otro paralelo. Por ejemplo, si hay un tercer rayo que comienza y cruza los paralelos en y , de modo que está más lejos que , entonces se cumplen las siguientes igualdades: ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}}$

Para la segunda ecuación, lo contrario también es cierto, es decir, si los 3 rayos son interceptados por dos líneas y las proporciones de los segmentos de línea correspondientes en cada línea son iguales, entonces esas 2 líneas deben ser paralelas. ^[4]

Conceptos relacionados

Semejanza y triángulos semejantes.

Organizar dos triángulos similares, de modo que se pueda aplicar el teorema de la intersección

El teorema de la intersección está estrechamente relacionado con la similitud . Es equivalente al concepto de triángulos semejantes , es decir, se puede utilizar para demostrar las propiedades de triángulos semejantes y los triángulos semejantes se pueden utilizar para demostrar el teorema de la intersección. Al hacer coincidir ángulos idénticos, siempre puedes colocar dos triángulos similares entre sí para obtener la configuración en la que se aplica el teorema de la intersección; y a la inversa, la configuración del teorema de la intersección siempre contiene dos triángulos similares.

Multiplicación escalar en espacios vectoriales

En un espacio vectorial normado , los axiomas relativos a la multiplicación escalar (en particular y ) aseguran que se cumpla el teorema de la intersección. Uno tiene ${\displaystyle \lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}}$ ${\displaystyle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|}$ ${\displaystyle {\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |}$

Aplicaciones

Formulación algebraica de construcciones con compás y regla.

Hay tres problemas famosos en geometría elemental que fueron planteados por los griegos en términos de construcciones con compás y regla : ^{[6] [7]}

1. Trisectando el ángulo
2. Duplicar el cubo
3. La cuadratura del circulo

Pasaron más de 2000 años hasta que finalmente se demostró que los tres eran imposibles. Esto se logró en el siglo XIX con la ayuda de métodos algebraicos, que entonces ya estaban disponibles. Para reformular los tres problemas en términos algebraicos usando extensiones de campo , es necesario hacer coincidir las operaciones de campo con construcciones con compás y regla (ver número construible ). En particular, es importante asegurar que para dos segmentos de línea dados, se pueda construir un nuevo segmento de línea, de modo que su longitud sea igual al producto de las longitudes de los otros dos. De manera similar, es necesario poder construir, para un segmento de línea de longitud , un nuevo segmento de línea de longitud . El teorema de la intersección se puede utilizar para demostrar que, en ambos casos, tal construcción es posible. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Dividir un segmento de línea en una proporción determinada

Medición y encuesta

Altura de la pirámide de Keops

piezas de medición

Computación C y D

Según algunas fuentes históricas el matemático griego Tales aplicó el teorema de la intersección para determinar la altura de la pirámide de Keops . La siguiente descripción ilustra el uso del teorema de la intersección para calcular la altura de la pirámide. Sin embargo, no relata la obra original de Tales, que se perdió. ^{[9] [10]}

Tales midió la longitud de la base de la pirámide y la altura de su poste. Luego, a la misma hora del día, midió la longitud de la sombra de la pirámide y la longitud de la sombra del poste. Esto arrojó los siguientes datos:

• altura del poste (A): 1,63 m
• sombra del poste (B): 2 m
• longitud de la base de la pirámide: 230 m
• sombra de la pirámide: 65 m

A partir de esto calculó

${\displaystyle C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}}$

Conociendo A, B y C, ahora pudo aplicar el teorema de la intersección para calcular

${\displaystyle D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}}$

Medir el ancho de un río

Rectas paralelas en triángulos y trapecios.

El teorema de la intersección se puede utilizar para demostrar que una determinada construcción produce líneas (segmentos) paralelos.

Aspectos históricos

El teorema se atribuye tradicionalmente al matemático griego Tales de Mileto , quien pudo haber utilizado alguna forma del teorema para determinar las alturas de las pirámides en Egipto y calcular la distancia del barco a la costa. ^{[11] [12] [13] [14]}

Prueba

Una prueba elemental del teorema utiliza triángulos de igual área para derivar los enunciados básicos sobre las razones (afirmación 1). Las otras afirmaciones siguen luego aplicando la primera afirmación y contradicción. ^[1]

Reclamación 1

Reclamación 2

Reclamación 3

Notas

1. Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (en alemán). UTB Schöningh. págs. 124-126. ISBN 3-506-99189-2.
2. Strahlensätze . En: Schülerduden: Mathematik I. Dudenverlag, 8. edición, Mannheim 2008, págs. 431–433 (alemán)
3. Agrícola, Ilka ; Federico, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.( copia en línea , p. 10, en Google Books )
4. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344 , págs. 191-208 (alemán) 
5. Ver Agricola/Thomas o la siguiente figura:

   

   | SA | / | SB | = | SC | / | SD | no implica necesariamente que AC sea paralelo a BD .

6. Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], El gobernante y la ronda , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0
7. Kunz, Ernst (1991). Álgebra (en alemán). Vereg. págs. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.
8. Ostermann, Alejandro; Wanner, Gerhard (2012). Geometría por su historia . Saltador. págs.7. ISBN 978-3-642-29163-0.( copia en línea , p. 7, en Google Books )
9. No ha sobrevivido ninguna obra original de Tales. Todas las fuentes históricas que le atribuyen el teorema de la intersección o conocimientos relacionados fueron escritas siglos después de su muerte. Diógenes Laercio y Plinio dan una descripción que, estrictamente hablando, no requiere el teorema de la intersección, sino que puede basarse únicamente en una simple observación, a saber, que en un determinado momento del día la longitud de la sombra de un objeto coincidirá con su altura. Laercio cita una afirmación del filósofo Jerónimo (siglo III a.C.) sobre Tales: " Jerónimo dice que [Tales] midió la altura de las pirámides por la sombra que proyectaban, tomando la observación en la hora en que nuestra sombra tiene la misma longitud que nosotros mismos (es decir, como nuestra propia altura) . Plinio escribe: " Tales descubrió cómo obtener la altura de las pirámides y de todos los demás objetos similares, es decir, midiendo la sombra del objeto en el momento en que un cuerpo y su sombra tienen la misma longitud. ". Sin embargo, Plutarco da un relato que puede sugerir que Tales conocía el teorema de la intersección o al menos un caso especial del mismo: " ... sin problemas ni la ayuda de ningún instrumento [él] simplemente colocó un palo en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y, habiendo formado así dos triángulos mediante la intercepción de los rayos del sol,... demostró que la pirámide tiene con respecto al palo la misma proporción que la sombra [de la pirámide] a la sombra [del palo] ". (Fuente: biografía del MacTutor de Tales , las obras originales (traducidas) de Plutarco y Laercio son: Moralia, La cena de los siete sabios, 147A y Vidas de filósofos eminentes, Capítulo 1. Tales, párrafo 27)
10. Herbert Bruderer: Hitos en la informática analógica y digital . Springer, 2021, ISBN 9783030409746 , págs. 214-217 
11. Dietmar Herrmann: Matemáticas antiguas. Historia de las matemáticas en la antigua Grecia y el helenismo , Springer 2022, ISBN 978-3-662-66493-3 , págs.27-36 
12. Francis Borceux: una aproximación axiomática a la geometría . Springer, 2013, págs. 10-13
13. Gilles Dowek: Computación, Prueba, Máquina . Cambridge University Press, 2015, ISBN 9780521118019 , págs.17-18 
14. Lothar Redlin, Ngo Viet, Saleem Watson: "La sombra de Thales", Revista de Matemáticas , vol. 73, No. 5 (diciembre de 2000), págs. 347-353 (JSTOR

Referencias

• Francés, Doug (2004). Enseñanza y Aprendizaje de Geometría . Bloomsbury. págs. 84–87. ISBN 9780826473622.( copia en línea , p. 84, en Google Books )
• Agrícola, Ilka ; Federico, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.( copia en línea , p. 10, en Google Books )
• Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría. Saltador. pag. 34.ISBN​ 978-0-387-25530-9.( copia en línea , p. 34, en Google Books )
• Ostermann, Alejandro; Wanner, Gerhard (2012). Geometría por su historia . Saltador. págs. 3–7. ISBN 978-3-642-29163-0.( copia en línea , p. 3, en Google Books )
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344 , págs. 191-208 (alemán) 

enlaces externos

• Teorema de intercepción en PlanetMath
• Alexander Bogomolny: los teoremas de Tales y, en particular, el teorema de Tales en Cut-the-Knot
• teorema de la interceptación interactivo