En geometría , los movimientos hiperbólicos son automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico . Bajo la composición de aplicaciones, los movimientos hiperbólicos forman un grupo continuo . Se dice que este grupo caracteriza al espacio hiperbólico. Este enfoque de la geometría fue cultivado por Felix Klein en su programa de Erlangen . La idea de reducir la geometría a su grupo característico fue desarrollada particularmente por Mario Pieri en su reducción de las nociones primitivas de geometría a meramente punto y movimiento .
Los movimientos hiperbólicos se toman a menudo de la geometría inversa : se trata de aplicaciones compuestas de reflexiones en una línea o un círculo (o en un hiperplano o una hiperesfera para espacios hiperbólicos de más de dos dimensiones). Para distinguir los movimientos hiperbólicos, se toma una línea o un círculo particular como el absoluto . La condición es que el absoluto debe ser un conjunto invariante de todos los movimientos hiperbólicos. El absoluto divide el plano en dos componentes conectados , y los movimientos hiperbólicos no deben permutar estos componentes.
Uno de los contextos más frecuentes para la geometría inversa y los movimientos hiperbólicos es el estudio de las aplicaciones del plano complejo mediante transformaciones de Möbius . Los libros de texto sobre funciones complejas a menudo mencionan dos modelos comunes de geometría hiperbólica: el modelo de semiplano de Poincaré , donde el absoluto es la línea real en el plano complejo, y el modelo de disco de Poincaré , donde el absoluto es el círculo unitario en el plano complejo. Los movimientos hiperbólicos también se pueden describir en el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica. [1]
En este artículo se muestran estos ejemplos del uso de movimientos hiperbólicos: la extensión de la métrica al semiplano y al disco unitario .
Todo movimiento ( transformación o isometría ) del plano hiperbólico respecto de sí mismo puede realizarse como la composición de, como máximo, tres reflexiones . En un espacio hiperbólico de n dimensiones, pueden requerirse hasta n +1 reflexiones. (Esto también es válido para las geometrías esférica y euclidiana, pero la clasificación que se indica a continuación es diferente).
Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:
Los puntos del modelo de semiplano de Poincaré HP se dan en coordenadas cartesianas como {( x , y ): y > 0} o en coordenadas polares como {( r cos a , r sen a ): 0 < a < π, r > 0 }. Los movimientos hiperbólicos se tomarán como una composición de tres movimientos hiperbólicos fundamentales. Sea p = ( x,y ) o p = ( r cos a , r sen a ), p ∈ HP.
Los movimientos fundamentales son:
Nota: el desplazamiento y la dilatación son mapeos de geometría inversa compuesta por un par de reflexiones en líneas verticales o círculos concéntricos respectivamente.
Consideremos el triángulo {(0,0),(1,0),(1,tan a )}. Puesto que 1 + tan 2 a = sec 2 a , la longitud de la hipotenusa del triángulo es sec a , donde sec denota la función secante [ ancla rota ] . Establezcamos r = sec a y apliquemos el tercer movimiento hiperbólico fundamental para obtener q = ( r cos a , r sen a ) donde r = sec −1 a = cos a . Ahora
de modo que q se encuentra en el semicírculo Z de radio ½ y centro (½, 0). Por lo tanto, el rayo tangente en (1, 0) se mapea a Z por el tercer movimiento hiperbólico fundamental. Cualquier semicírculo puede redimensionarse mediante una dilatación a radio ½ y desplazarse a Z , luego la inversión lo lleva al rayo tangente. Por lo tanto, la colección de movimientos hiperbólicos permuta los semicírculos con diámetros en y = 0 a veces con rayos verticales, y viceversa. Supongamos que uno acepta medir la longitud en rayos verticales usando la medida logarítmica :
Luego, mediante movimientos hiperbólicos también se pueden medir distancias entre puntos en semicírculos: primero se mueven los puntos a Z con el desplazamiento y la dilatación adecuados, luego se colocan por inversión en el rayo tangente donde se conoce la distancia logarítmica.
Para m y n en HP, sea b la bisectriz perpendicular del segmento de línea que conecta m y n . Si b es paralela a la abscisa , entonces m y n están conectados por un rayo vertical; de lo contrario, b interseca la abscisa, por lo que hay un semicírculo centrado en esta intersección que pasa por m y n . El conjunto HP se convierte en un espacio métrico cuando se le asigna la distancia d ( m , n ) para m , n ∈ HP tal como se encuentra en el rayo o semicírculo vertical. A los rayos y semicírculos verticales se les llama líneas hiperbólicas en HP. La geometría de puntos y líneas hiperbólicas en HP es un ejemplo de geometría no euclidiana ; sin embargo, la construcción de los conceptos de línea y distancia para HP se basa en gran medida en la geometría original de Euclides.
Consideremos el disco D = { z ∈ C : zz * < 1 } en el plano complejo C . El plano geométrico de Lobachevsky se puede representar en D con arcos circulares perpendiculares al límite de D que significan líneas hiperbólicas . Utilizando la aritmética y la geometría de los números complejos, y las transformaciones de Möbius , existe el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico:
Supongamos que a y b son números complejos con aa * − bb * = 1. Nótese que
de modo que | z | < 1 implica |( a z + b *)/( bz + a *)| < 1 . Por lo tanto, el disco D es un conjunto invariante de la transformación de Möbius
Como también permuta las líneas hiperbólicas, vemos que estas transformaciones son movimientos del modelo D de la geometría hiperbólica . Una matriz compleja
con aa * − bb * = 1, que es un elemento del grupo unitario especial SU(1,1) .
