Círculos de Apolonio

Varios conjuntos de círculos asociados con Apolonio de Perga

Los círculos de Apolonio son cualquiera de varios conjuntos de círculos asociados con Apolonio de Perga , un renombrado geómetra griego . La mayoría de estos círculos se encuentran en la geometría euclidiana plana , pero se han definido análogos en otras superficies; por ejemplo, las contrapartes en la superficie de una esfera se pueden definir mediante proyección estereográfica .

Los principales usos de este término son cinco:

1. Apolonio demostró que un círculo se puede definir como el conjunto de puntos de un plano que tienen una relación específica de distancias a dos puntos fijos, conocidos como focos . Este círculo apolíneo es la base del problema de la persecución de Apolonio. Es un caso particular de la primera familia descrita en el #2.
2. Los círculos apolíneos son dos familias de círculos mutuamente ortogonales . La primera familia consta de círculos con todas las relaciones de distancia posibles a dos focos fijos (los mismos círculos que en el punto 1), mientras que la segunda familia consta de todos los círculos posibles que pasan por ambos focos. Estos círculos forman la base de las coordenadas bipolares .
3. Los círculos de Apolonio de un triángulo son tres círculos, cada uno de los cuales pasa por un vértice del triángulo y mantiene una relación constante de distancias con respecto a los otros dos. Los puntos isodinámicos y la línea de Lemoine de un triángulo se pueden resolver usando estos círculos de Apolonio.
4. El problema de Apolonio es construir círculos que sean simultáneamente tangentes a tres círculos específicos. Las soluciones a este problema a veces se denominan círculos de Apolonio .
5. La junta apolínea , uno de los primeros fractales jamás descritos, es un conjunto de círculos mutuamente tangentes, formados al resolver el problema de Apolonio de forma iterativa.

Definición de círculo de Apolonio

Figura 1. Definición de círculo de Apolonio.

Un círculo generalmente se define como el conjunto de puntos P a una distancia dada r (el radio del círculo) desde un punto dado (el centro del círculo). Sin embargo, existen otras definiciones equivalentes de círculo. Apolonio descubrió que un círculo podría definirse como el conjunto de puntos P que tienen una relación dada de distancias k  = re ₁/re ₂a dos puntos dados (etiquetados A y B en la Figura 1). Estos dos puntos a veces se denominan focos .

Prueba usando vectores en espacios euclidianos

Sean d ₁ , d ₂ números reales positivos no iguales. Sea C el punto de división interna de AB en la razón d ₁  : d ₂ y D el punto de división externa de AB en la misma razón, d ₁  : d ₂ .

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}.}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=d_{1}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.\\\Leftrightarrow {}&(d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.\\\Leftrightarrow {}&{\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}.\\\Leftrightarrow {}&\mathrm {P} =\mathrm {C} \vee \mathrm {P} =\mathrm {D} \vee \angle {\mathrm {CPD} }=90^{\circ }.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el punto P está en la circunferencia que tiene el diámetro CD .

Prueba usando el teorema de la bisectriz del ángulo

Prueba de la definición de círculo de Apolonio

Primero considere el punto en el segmento de línea entre y , que satisface la razón. Por la definición ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

teorema de la bisectriz del ángulo ${\displaystyle \alpha =\angle APC}$ ${\displaystyle \beta =\angle CPB}$

Luego toma el otro punto de la línea extendida que satisfaga la relación. Entonces ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle AB}$

$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AD|}{|BD|}}.}$$

teorema de Tales, ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle \angle QPB}$ ${\displaystyle \gamma =\angle BPD}$ ${\displaystyle \delta =\angle QPD}$ ${\displaystyle \beta +\gamma =90^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle CD}$

Problema de persecución de Apolonio

El problema de persecución de Apolonio consiste en encontrar si un barco que sale de un punto A con velocidad v _A interceptará a otro barco que sale de un punto diferente B con velocidad v _B. El tiempo mínimo en la interceptación de los dos barcos se calcula mediante trayectorias en línea recta. Si las velocidades de los barcos se mantienen constantes, su relación de velocidad se define por μ. Si ambos barcos chocan o se encuentran en un punto futuro, I , entonces las distancias de cada uno están relacionadas por la ecuación: ^[1]

${\displaystyle a=\mu b}$

Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}\mu ^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle b^{2}=(d-x)^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=[(d-x)^{2}+y^{2}]\mu ^{2}}$

En expansión:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=[d^{2}+x^{2}-2dx+y^{2}]\mu ^{2}}$

Mayor expansión:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}\mu ^{2}+y^{2}\mu ^{2}+d^{2}\mu ^{2}-2dx\mu ^{2}}$

Llevando al lado izquierdo:

${\displaystyle x^{2}-x^{2}\mu ^{2}+y^{2}-y^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

Factorización:

${\displaystyle x^{2}(1-\mu ^{2})+y^{2}(1-\mu ^{2})-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$

Dividiendo por  : ${\displaystyle 1-\mu ^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {2dx\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}=0}$

Completando el cuadrado:

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+y^{2}=0}$

Lleva los términos no cuadrados al lado derecho:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {(1-\mu ^{2})}{(1-\mu ^{2})}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{4}+d^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\\&={\frac {d^{2}\mu ^{2}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

Entonces:

${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {d\mu }{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}}$

Por lo tanto, el punto debe estar en un círculo definido por Apolonio, con sus puntos de partida como focos.

Círculos que comparten un eje radical

Figura 2. Un conjunto de círculos apolíneos. Cada círculo azul intersecta a cada círculo rojo en ángulo recto y viceversa. Cada círculo rojo pasa por los dos focos, que corresponden a los puntos A y B en la Figura 1.

Los círculos definidos por el problema de persecución apolíneo para los mismos dos puntos A y B , pero con relaciones variables de las dos velocidades, están disjuntos entre sí y forman una familia continua que cubre todo el plano; esta familia de círculos se conoce como lápiz hiperbólico . Otra familia de círculos, los círculos que pasan tanto por A como por B , también se llaman lápiz, o más concretamente lápiz elíptico . Estos dos lápices de círculos apolíneos se cruzan en ángulo recto y forman la base del sistema de coordenadas bipolar . Dentro de cada lápiz, dos círculos cualesquiera tienen el mismo eje radical ; los dos ejes radicales de los dos lápices son perpendiculares y los centros de los círculos de un lápiz se encuentran en el eje radical del otro lápiz.

Soluciones al problema de Apolonio

El problema de Apolonio puede tener hasta ocho soluciones. Los tres círculos dados se muestran en negro, mientras que los círculos de solución están coloreados.

En la geometría plana euclidiana , el problema de Apolonio es construir círculos que sean tangentes a tres círculos dados en un plano.

Tres círculos dados generalmente tienen ocho círculos diferentes que son tangentes a ellos y cada círculo solución encierra o excluye los tres círculos dados de una manera diferente: en cada solución, se incluye un subconjunto diferente de los tres círculos.

junta apolínea

Figura 4. Una junta apolínea simétrica, también llamada empaquetadura de Leibniz, en honor a su inventor Gottfried Leibniz.

Al resolver el problema de Apolonio repetidamente para encontrar el círculo inscrito, los intersticios entre círculos mutuamente tangenciales se pueden llenar de forma arbitraria y fina, formando una junta apolínea , también conocida como empaquetadura de Leibniz o empaquetadura apolínea . ^[2] Esta junta es un fractal , es autosimilar y tiene una dimensión d que no se conoce exactamente pero es aproximadamente 1,3, ^[3] que es mayor que la de una curva regular (o rectificable ) ( d  = 1) pero menor que el de un avión ( d  = 2). La junta apolínea fue descrita por primera vez por Gottfried Leibniz en el siglo XVII y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX . ^[4] La junta apolínea también tiene conexiones profundas con otros campos de las matemáticas; por ejemplo, es el conjunto límite de grupos kleinianos ; ^[5] ver también Teorema del empaquetamiento circular .

Puntos isodinámicos de un triángulo.

Los círculos de Apolonio también pueden indicar tres círculos especiales definidos por un triángulo arbitrario . El círculo se define como el círculo único que pasa por el vértice del triángulo y que mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices y (cf. la definición del círculo de Apolonio anterior). De manera similar, el círculo se define como el único círculo que pasa por el vértice del triángulo y mantiene una relación constante de distancias a los otros dos vértices y , y así sucesivamente para el círculo . ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{1}A_{2}A_{3}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{1}} }$ ${\displaystyle \mathrm {A_{2}} }$ ${\displaystyle \mathrm {A_{3}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{2}} }$ ${\displaystyle \mathrm {A_{1}} }$ ${\displaystyle \mathrm {A_{3}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}}$

Los tres círculos se cruzan ortogonalmente con el círculo circunstante del triángulo . Los tres círculos pasan por dos puntos, que se conocen como puntos isodinámicos y del triángulo. La línea que conecta estos puntos de intersección comunes es el eje radical de los tres círculos. Los dos puntos isodinámicos son inversos entre sí con respecto a la circunferencia circunscrita del triángulo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$

Los centros de estos tres círculos caen sobre una sola línea (la línea de Lemoine ). Esta recta es perpendicular al eje radical, que es la recta determinada por los puntos isodinámicos.

Ver también

• punto de apolonio
• Elipse

Referencias

1. Weintraub, Isaac; García, Eloy; Pachter, Meir (2020). "Estrategia de orientación óptima para la defensa de un objetivo no maniobrable en 3 dimensiones". Teoría y aplicaciones del control IET . 14 (11): 1531-1538. doi : 10.1049/iet-cta.2019.0541 .
2. Kasner, E.; Supnick, F. (1943). "El embalaje apolíneo de círculos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE. UU . 29 (11): 378–384. Código bibliográfico : 1943PNAS...29..378K. doi : 10.1073/pnas.29.11.378 . PMC 1078636 . PMID  16588629. 
3. Boyd, David W. (1973). "Límites mejorados para las constantes de empaquetado del disco". Aecuaciones Mathematicae . 9 : 99-106. doi :10.1007/BF01838194. S2CID  121089590.
   Boyd, David W. (1973). "La dimensión del conjunto residual del embalaje apolíneo". Matemática . 20 (2): 170-174. doi :10.1112/S0025579300004745.
   McMullen, Curtis, T. (1998). "Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme III: Cálculo de la dimensión" (PDF) . Revista Estadounidense de Matemáticas . 120 (4): 691–721. doi :10.1353/ajm.1998.0031. S2CID  15928775.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Mandelbrot, B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman. pag. 170.ISBN​ 978-0-7167-1186-5.
   Aste, T. y Weaire, D. (2008). La búsqueda del embalaje perfecto (2ª ed.). Nueva York: Taylor y Francis. págs. 131-138. ISBN 978-1-4200-6817-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Mumford, D. , Series, C. y Wright, D. (2002). Las perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 196-223. ISBN 0-521-35253-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Bibliografía

• Ogilvy, CS (1990) Excursiones en geometría , Dover. ISBN 0-486-26530-7 . 
• Johnson, RA (1960) Geometría euclidiana avanzada , Dover.