Grupo de un parámetro

Homomorfismo de grupos de mentiras a partir de números reales.

En matemáticas , un grupo de un parámetro o un subgrupo de un parámetro generalmente significa un homomorfismo de grupo continuo

${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow G}$

de la línea real (como grupo aditivo ) a algún otro grupo topológico . Si es inyectivo , entonces , la imagen será un subgrupo de eso es isomorfo como un grupo aditivo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sophus Lie introdujo los grupos de un parámetro en 1893 para definir transformaciones infinitesimales . Según Lie, una transformación infinitesimal es una transformación infinitamente pequeña del grupo de un parámetro que genera. ^[1] Son estas transformaciones infinitesimales las que generan un álgebra de Lie que se utiliza para describir un grupo de Lie de cualquier dimensión.

La acción de un grupo de un solo parámetro sobre un conjunto se conoce como flujo . Un campo vectorial suave en una variedad, en un punto, induce un flujo local : un grupo de difeomorfismos locales de un parámetro, que envía puntos a lo largo de curvas integrales del campo vectorial. El flujo local de un campo vectorial se utiliza para definir la derivada de Lie de campos tensoriales a lo largo del campo vectorial.

Definición

Una curva se llama subgrupo de un parámetro si satisface la condición ^[2] ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \rightarrow G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)}$.

Ejemplos

En la teoría de Lie , los grupos de un parámetro corresponden a subespacios unidimensionales del álgebra de Lie asociada . La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie es la base de una ciencia iniciada por Sophus Lie en la década de 1890.

Otro caso importante se ve en el análisis funcional , al ser el grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Véase el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro . ${\displaystyle G}$

En su monografía Lie Groups , PM Cohn dio el siguiente teorema:

Cualquier grupo de Lie unidimensional conectado es analíticamente isomorfo al grupo aditivo de números reales o al grupo aditivo de números reales . En particular, cada grupo de Lie unidimensional es localmente isomorfo a . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle \mod 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Física

En física , los grupos de un parámetro describen sistemas dinámicos . ^{[4] Además, siempre que un sistema de leyes físicas admite un grupo de} simetrías diferenciables de un solo parámetro , entonces hay una cantidad conservada , según el teorema de Noether .

En el estudio del espacio-tiempo, el uso de la hipérbola unitaria para calibrar mediciones espacio-temporales se ha vuelto común desde que Hermann Minkowski la discutió en 1908. El principio de la relatividad se redujo a la arbitrariedad de qué diámetro de la hipérbola unitaria se usaba para determinar un mundo. línea . Utilizando la parametrización de la hipérbola con ángulo hiperbólico , la teoría de la relatividad especial proporcionó un cálculo del movimiento relativo con el grupo de un parámetro indexado por la rapidez . La rapidez reemplaza a la velocidad en cinemática y dinámica de la teoría de la relatividad. Dado que la rapidez es ilimitada, el grupo de un parámetro en el que se encuentra no es compacto. El concepto de rapidez fue introducido por ET Whittaker en 1910 y nombrado por Alfred Robb al año siguiente. El parámetro de rapidez equivale a la longitud de un versor hiperbólico , un concepto del siglo XIX. Los físicos matemáticos James Cockle , William Kingdon Clifford y Alexander Macfarlane habían empleado en sus escritos un mapeo equivalente del plano cartesiano por operador , donde es el ángulo hiperbólico y . ${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r^{2}=+1}$

En GL(n, C )

Un ejemplo importante en la teoría de grupos de Lie surge cuando se toma como , el grupo de matrices invertibles con entradas complejas. En ese caso, un resultado básico es el siguiente: ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$

Teorema : Supongamos que es un grupo de un parámetro. Entonces existe una matriz única tal que ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

para todos . ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

De este resultado se deduce que es diferenciable, aunque no sea una suposición del teorema. Luego se puede recuperar la matriz como ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$.

Este resultado se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar que cualquier homomorfismo continuo entre grupos de Lie matriciales es suave. ^[6]

Topología

Una complicación técnica es que, como subespacio de, puede tener una topología más burda que la de ; Esto puede suceder en los casos en que sea inyectivo. Piense, por ejemplo, en el caso en el que hay un toroide y se construye enrollando una línea recta con una pendiente irracional. ${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$

En ese caso la topología inducida puede no ser la estándar de la línea real.

Ver también

• curva integral
• Semigrupo de un parámetro
• teorema de noether

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

1. Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, traducción al inglés de DH Delphenich, §8, enlace de Física neoclásica
2. Nakahara. Geometría, topología y física . Prensa CRC. pag. 232.ISBN _ 9780750306065.
3. Paul Cohn (1957) Grupos de mentiras , página 58, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics #46
4. Zeidler, E. (1995) Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones Springer-Verlag
5. Teorema 2.14 de Hall 2015
6. Salón 2015 Corolario 3.50