Relación cruzada

Un invariante bajo transformaciones proyectivas

Los puntos A , B , C , D y A ′ , B ′ , C ′ , D ′ están relacionados por una transformación proyectiva, por lo que sus razones cruzadas, ( A , B ; C , D ) y ( A ′ , B ′ ; C ′ , D ′ ) son iguales.

En geometría , la razón cruzada , también llamada razón doble y razón anarmónica , es un número asociado a una lista de cuatro puntos colineales , en particular puntos en una línea proyectiva . Dados cuatro puntos A , B , C , D en una línea, su razón cruzada se define como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

donde una orientación de la línea determina el signo de cada distancia y la distancia se mide como proyectada en el espacio euclidiano . (Si uno de los cuatro puntos es el punto de la línea en el infinito, entonces las dos distancias que involucran ese punto se eliminan de la fórmula). El punto D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B precisamente si la razón cruzada del cuádruple es −1 , llamada razón armónica . Por lo tanto, la razón cruzada puede considerarse como una medida de la desviación del cuádruple de esta razón; de ahí el nombre de razón anarmónica .

La razón cruzada se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales . Es esencialmente el único invariante proyectivo de un cuádruple de puntos colineales; esto subraya su importancia para la geometría proyectiva .

La razón cruzada había sido definida en la antigüedad, posiblemente ya por Euclides , y fue considerada por Pappus , quien observó su propiedad clave de invariancia. Fue ampliamente estudiada en el siglo XIX. ^[1]

Existen variantes de este concepto para un cuádruple de líneas concurrentes en el plano proyectivo y un cuádruple de puntos en la esfera de Riemann . En el modelo Cayley-Klein de geometría hiperbólica , la distancia entre puntos se expresa en términos de una cierta razón cruzada.

Terminología e historia

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , de modo que la relación cruzada ( A , B ; C , D ) es igual a  −1 .

Pappus de Alejandría hizo un uso implícito de conceptos equivalentes a la razón cruzada en su Colección: Libro VII . Entre los primeros usuarios de Pappus se encuentran Isaac Newton , Michel Chasles y Robert Simson . En 1986, Alexander Jones hizo una traducción del original de Pappus y luego escribió un comentario sobre cómo se relacionan los lemas de Pappus con la terminología moderna. ^[2]

El uso moderno de la razón cruzada en geometría proyectiva comenzó con Lazare Carnot en 1803 con su libro Géométrie de Position . ^{[3] [ páginas necesarias ]} Chasles acuñó el término francés rapport anharmonique [razón anarmónica] en 1837. ^[4] Los geómetras alemanes lo llaman das Doppelverhältnis [doble razón].

Carl von Staudt no estaba satisfecho con las definiciones anteriores de la razón cruzada que se basaban en la manipulación algebraica de las distancias euclidianas en lugar de basarse puramente en conceptos sintéticos de geometría proyectiva. En 1847, von Staudt demostró que la estructura algebraica está implícita en la geometría proyectiva, al crear un álgebra basada en la construcción del conjugado armónico proyectivo , al que llamó tiro (en alemán: Wurf ): dados tres puntos en una línea, el conjugado armónico es un cuarto punto que hace que la razón cruzada sea igual a −1 . Su álgebra de tiros proporciona un enfoque a las proposiciones numéricas, generalmente tomadas como axiomas, pero probadas en geometría proyectiva. ^[5]

El término inglés "cross-ratio" fue introducido en 1878 por William Kingdon Clifford . ^[6]

Definición

Si A , B , C y D son cuatro puntos en una línea afín orientada , su relación cruzada es:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

con la notación definida para significar la relación con signo del desplazamiento de W a X al desplazamiento de Y a Z. Para desplazamientos colineales esta es una cantidad adimensional . ${\displaystyle WX:YZ}$

Si los desplazamientos mismos se toman como números reales con signo, entonces la relación cruzada entre puntos se puede escribir

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg /}{\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

Si es la línea real extendida proyectivamente , la razón cruzada de cuatro números distintos en está dada por ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg /}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

Cuando uno de es el punto en el infinito ( ), esto se reduce a, por ejemplo ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

Las mismas fórmulas se pueden aplicar a cuatro números complejos distintos o, de manera más general, a elementos de cualquier cuerpo , y también se pueden extender proyectivamente como se indicó anteriormente al caso en que uno de ellos es ${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

Propiedades

La relación cruzada de los cuatro puntos colineales A , B , C y D se puede escribir como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

donde describe la razón con la que el punto C divide al segmento AB y describe la razón con la que el punto D divide ese mismo segmento. La razón cruzada aparece entonces como una razón de razones, que describe cómo están situados los dos puntos C y D con respecto al segmento AB . Mientras los puntos A , B , C y D sean distintos, la razón cruzada ( A , B ; C , D ) será un número real distinto de cero. Podemos deducir fácilmente que ${\textstyle AC:CB}$ ${\textstyle AD:DB}$

• ( A , B ; C , D ) < 0 si y sólo si uno de los puntos C o D se encuentra entre los puntos A y B y el otro no.
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ⇔ D ≠ E

Seis proporciones cruzadas

Cuatro puntos pueden ordenarse de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras, pero sólo hay seis maneras de dividirlos en dos pares desordenados. Por lo tanto, cuatro puntos pueden tener sólo seis razones cruzadas diferentes, que se relacionan como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }},\\[4mu]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}$

Ver grupo anarmónico a continuación.

Geometría proyectiva

Uso de proporciones cruzadas en geometría proyectiva para medir dimensiones reales de elementos representados en una proyección en perspectiva . A, B, C, D y V son puntos en la imagen, su separación se expresa en píxeles; A', B', C' y D' son puntos en el mundo real, su separación se expresa en metros.

La razón cruzada es un invariante proyectivo en el sentido de que se conserva mediante las transformaciones proyectivas de una línea proyectiva.

En particular, si cuatro puntos se encuentran en una línea recta , entonces su relación cruzada es una cantidad bien definida, porque cualquier elección del origen e incluso de la escala en la línea producirá el mismo valor de la relación cruzada. ${\textstyle L}$ ${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$

Además, sean cuatro rectas distintas en el plano que pasan por el mismo punto . Entonces, cualquier recta que no pase por interseca estas rectas en cuatro puntos distintos (si es paralela a entonces el punto de intersección correspondiente está "en el infinito"). Resulta que la razón cruzada de estos puntos (tomados en un orden fijo) no depende de la elección de una recta y, por lo tanto, es un invariante de la 4-tupla de rectas ${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle P_{i}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{i}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{i}.}$

Esto se puede entender de la siguiente manera: si y son dos rectas que no pasan por entonces la transformación en perspectiva de a con el centro es una transformación proyectiva que lleva el cuádruple de puntos en al cuádruple de puntos en . ${\textstyle L}$ ${\textstyle L'}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L'}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \{P_{i}\}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \{P_{i}'\}}$ ${\textstyle L'}$

Por lo tanto, la invariancia de la razón cruzada bajo automorfismos proyectivos de la línea implica (de hecho, es equivalente a) la independencia de la razón cruzada de los cuatro puntos colineales en las líneas de la elección de la línea que los contiene. ${\textstyle \{P_{i}\}}$ ${\textstyle \{L_{i}\}}$

Definición en coordenadas homogéneas

Si cuatro puntos colineales se representan en coordenadas homogéneas mediante vectores tales que y , entonces su razón cruzada es . ^[7] ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$ ${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$ ${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$

Papel en la geometría no euclidiana

Arthur Cayley y Felix Klein encontraron una aplicación de la razón cruzada a la geometría no euclidiana . Dada una cónica no singular en el plano proyectivo real , su estabilizador en el grupo proyectivo actúa transitivamente sobre los puntos en el interior de . Sin embargo, existe un invariante para la acción de sobre pares de puntos. De hecho, cada uno de estos invariantes se puede expresar como una función de la razón cruzada apropiada. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{C}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{C}}$

Geometría hiperbólica

Explícitamente, sea la cónica el círculo unitario . Para dos puntos cualesquiera P y Q , dentro del círculo unitario . Si la línea que los une interseca el círculo en dos puntos, X e Y y los puntos son, en orden, X , P , Q , Y . Entonces la distancia hiperbólica entre P y Q en el modelo de Cayley-Klein del plano hiperbólico se puede expresar como

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}$

(se necesita el factor de la mitad para hacer la curvatura −1 ). Dado que la razón cruzada es invariante bajo transformaciones proyectivas, se deduce que la distancia hiperbólica es invariante bajo las transformaciones proyectivas que preservan la cónica C.

Por el contrario, el grupo G actúa transitivamente sobre el conjunto de pares de puntos ( p , q ) en el disco unitario a una distancia hiperbólica fija.

Más tarde, en parte por influencia de Henri Poincaré , la razón cruzada de cuatro números complejos sobre un círculo se utilizó para métricas hiperbólicas. Estar sobre un círculo significa que los cuatro puntos son la imagen de cuatro puntos reales bajo una transformación de Möbius y, por lo tanto, la razón cruzada es un número real. El modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de disco de Poincaré son dos modelos de geometría hiperbólica en la línea proyectiva compleja .

Estos modelos son instancias de métricas de Cayley-Klein .

Grupo anarmónico y cuatro grupos de Klein

La relación cruzada puede definirse mediante cualquiera de estas cuatro expresiones:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

Estos se diferencian por las siguientes permutaciones de las variables (en notación cíclica ):

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

Podemos considerar las permutaciones de las cuatro variables como una acción del grupo simétrico S ₄ sobre funciones de las cuatro variables. Dado que las cuatro permutaciones anteriores dejan inalterada la razón cruzada, forman el estabilizador K de la razón cruzada bajo esta acción, y esto induce una acción efectiva del grupo cociente sobre la órbita de la razón cruzada. Las cuatro permutaciones en K hacen una realización del cuatrigrupo de Klein en S ₄ , y el cociente es isomorfo al grupo simétrico S ₃ . ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$

Así, las otras permutaciones de las cuatro variables alteran la relación cruzada para dar los siguientes seis valores, que son la órbita del grupo de seis elementos : ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

El estabilizador de {0, 1, ∞} es isomorfo al grupo de rotación del diedro trigonal , el grupo diedro D ₃ . Es conveniente visualizar esto mediante una transformación de Möbius M que mapea el eje real al círculo unitario complejo (el ecuador de la esfera de Riemann ), con 0, 1, ∞ igualmente espaciados.

Considerando {0, 1, ∞} como los vértices del diedro, los otros puntos fijos de los 2 -ciclos son los puntos {2, −1, 1/2}, que bajo M están opuestos a cada vértice de la esfera de Riemann, en el punto medio de la arista opuesta. Cada 2 -ciclos es una rotación de media vuelta de la esfera de Riemann intercambiando los hemisferios (el interior y el exterior del círculo en el diagrama).

Los puntos fijos de los 3 -ciclos son exp(± iπ /3) , que corresponden, según M, a los polos de la esfera: exp( iπ /3) es el origen y exp(− iπ /3) es el punto en el infinito . Cada 3 -ciclo es una rotación de 1/3 de vuelta sobre su eje, y son intercambiados por los 2 -ciclos.

Como funciones de estos son ejemplos de transformaciones de Möbius , que bajo composición de funciones forman el grupo de Möbius PGL(2, Z ) . Las seis transformaciones forman un subgrupo conocido como el grupo anarmónico , nuevamente isomorfo a S ₃ . Son los elementos de torsión ( transformadas elípticas ) en PGL (2, Z ) . Es decir, , , y son de orden 2 con respectivos puntos fijos y (es decir, la órbita de la razón cruzada armónica). Mientras tanto, los elementos y son de orden 3 en PGL(2, Z ) , y cada uno fija ambos valores de la razón cruzada "más simétrica" ​​(las soluciones de , las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los elementos de orden 2 intercambian estos dos elementos (como lo hacen con cualquier par que no sean sus puntos fijos), y por lo tanto la acción del grupo anarmónico sobre da el mapa de cocientes de grupos simétricos . ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle 1-\lambda \,}$ ${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$ ${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$ ${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$ ${\displaystyle x^{2}-x+1}$ ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$

Además, los puntos fijos de los 2 -ciclos individuales son, respectivamente, y y este conjunto también se conserva y permuta por los 3 -ciclos. Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación del diedro trigonal , que es isomorfo al grupo diedro del triángulo D ₃ , como se ilustra a la derecha. Algebraicamente, esto corresponde a la acción de S ₃ sobre los 2 -ciclos (sus 2-subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos , ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

El grupo anarmónico es generado por y Su acción sobre da un isomorfismo con S ₃ . También puede realizarse como las seis transformaciones de Möbius mencionadas, ^[8] que produce una representación proyectiva de S 3 sobre cualquier cuerpo (ya que está definido con entradas enteras), y siempre es fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo en 1/−1 ). Sobre el campo con dos elementos, la línea proyectiva solo tiene tres puntos, por lo que esta representación es un isomorfismo, y es el isomorfismo excepcional . En la característica 3 , esto estabiliza el punto , que corresponde a que la órbita de la razón cruzada armónica sea solo un único punto, ya que . Sobre el campo con tres elementos, la línea proyectiva tiene solo 4 puntos y , y por lo tanto la representación es exactamente el estabilizador de la razón cruzada armónica, lo que produce una incrustación igual al estabilizador del punto . ${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$ ${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle -1=[-1:1]}$ ${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Órbitas excepcionales

Para ciertos valores de habrá mayor simetría y por lo tanto menos de seis valores posibles para la razón cruzada. Estos valores de corresponden a puntos fijos de la acción de S ₃ sobre la esfera de Riemann (dada por las seis funciones anteriores); o, equivalentemente, aquellos puntos con un estabilizador no trivial en este grupo de permutaciones. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

El primer conjunto de puntos fijos es Sin embargo, la relación cruzada nunca puede adoptar estos valores si los puntos A , B , C y D son todos distintos. Estos valores son valores límite a medida que un par de coordenadas se aproxima entre sí: ${\displaystyle \{0,1,\infty \}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(Z,B;Z,D)&=(A,Z;C,Z)=0,\\[4mu](Z,Z;C,D)&=(A,B;Z,Z)=1,\\[4mu](Z,B;C,Z)&=(A,Z;Z,D)=\infty .\end{aligned}}}$

El segundo conjunto de puntos fijos es Esta situación es lo que clásicamente se denomina ${\textstyle {\big \{}{-1},{\tfrac {1}{2}},2{\big \}}.}$relación cruzada armónica y surge enconjugados armónicos proyectivos. En el caso real, no hay otras órbitas excepcionales.

En el caso complejo, la razón cruzada más simétrica se da cuando . Estos son entonces los únicos dos valores de la razón cruzada y se actúa sobre ellos según el signo de la permutación. ${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$

Enfoque transformacional

La razón cruzada es invariante bajo las transformaciones proyectivas de la línea. En el caso de una línea proyectiva compleja , o la esfera de Riemann , estas transformaciones se conocen como transformaciones de Möbius . Una transformación general de Möbius tiene la forma

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

Estas transformaciones forman un grupo que actúa sobre la esfera de Riemann , el grupo de Möbius .

La invariancia proyectiva de la razón cruzada significa que

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

La relación cruzada es real si y solo si los cuatro puntos son colineales o concíclicos , lo que refleja el hecho de que cada transformación de Möbius asigna círculos generalizados a círculos generalizados.

La acción del grupo de Möbius es simplemente transitiva sobre el conjunto de ternas de puntos distintos de la esfera de Riemann: dada cualquier terna ordenada de puntos distintos, , existe una única transformación de Möbius que la asigna a la terna . Esta transformación se puede describir convenientemente utilizando la razón cruzada: dado que debe ser igual a , que a su vez es igual a , obtenemos ${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle (0,1,\infty )}$ ${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$ ${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

Una explicación alternativa para la invariancia de la razón cruzada se basa en el hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de una línea se genera por las traslaciones, las homotecias y la inversión multiplicativa. Las diferencias son invariantes bajo las traslaciones. ${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

donde es una constante en el campo fundamental . Además, las razones de división son invariantes bajo una homotecia. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle z\mapsto bz}$

para una constante distinta de cero en . Por lo tanto, la relación cruzada es invariante bajo las transformaciones afines . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Para obtener un mapeo de inversión bien definido

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

la línea afín necesita ser aumentada por el punto en el infinito , denotado , formando la línea proyectiva . Cada aplicación afín puede extenderse de forma única a una aplicación de en sí misma que fija el punto en el infinito. La aplicación intercambia y . El grupo proyectivo es generado por y las aplicaciones afines se extienden a . En el caso de , el plano complejo , esto da como resultado el grupo de Möbius . Dado que la razón cruzada también es invariante bajo , es invariante bajo cualquier aplicación proyectiva de en sí misma. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$

Descripción de coordenadas

Si escribimos los puntos complejos como vectores y definimos , y sea el producto escalar de con , entonces la parte real de la relación cruzada viene dada por: ${\displaystyle {\vec {x_{n}}}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Esta es una invariante de la transformación conforme especial bidimensional como la inversión . ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}$

La parte imaginaria debe hacer uso del producto vectorial bidimensional. ${\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}$

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Homografía de anillos

El concepto de razón cruzada depende únicamente de las operaciones de anillo de adición, multiplicación e inversión (aunque la inversión de un elemento dado no es segura en un anillo). Un enfoque de la razón cruzada la interpreta como una homografía que lleva tres puntos designados a 0, 1 e ∞ . Bajo restricciones que tienen que ver con las inversas, es posible generar una aplicación de este tipo con operaciones de anillo en la línea proyectiva sobre un anillo . La razón cruzada de cuatro puntos es la evaluación de esta homografía en el cuarto punto.

Punto de vista geométrico diferencial

La teoría adquiere un aspecto de cálculo diferencial a medida que se aproximan los cuatro puntos, lo que conduce a la teoría de la derivada schwarziana y, de manera más general, a la teoría de las conexiones proyectivas .

Generalizaciones de dimensiones superiores

La razón cruzada no se generaliza de manera sencilla a dimensiones superiores, debido a otras propiedades geométricas de las configuraciones de puntos, en particular la colinealidad: los espacios de configuración son más complicados y las k -tuplas distintas de puntos no están en posición general .

Si bien el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva es 3-transitivo (cualquiera tres puntos distintos pueden mapearse a cualesquiera otros tres puntos), y de hecho simplemente 3-transitivo (existe una aplicación proyectiva única que lleva cualquier triple a otro triple), siendo la razón cruzada el único invariante proyectivo de un conjunto de cuatro puntos, existen invariantes geométricos básicos en dimensión superior. El grupo lineal proyectivo del n -espacio tiene ( n + 1) ² − 1 dimensiones (porque es proyectivización que elimina una dimensión), pero en otras dimensiones el grupo lineal proyectivo es solo 2-transitivo -porque tres puntos colineales deben mapearse a tres puntos colineales (lo cual no es una restricción en la línea proyectiva) - y por lo tanto no hay una "razón cruzada generalizada" que proporcione el invariante único de n ² puntos. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$

La colinealidad no es la única propiedad geométrica de las configuraciones de puntos que debe mantenerse; por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero seis puntos generales no se encuentran en una cónica, por lo que el hecho de que cualquier 6-tupla de puntos se encuentre en una cónica también es un invariante proyectivo. Se pueden estudiar órbitas de puntos en posición general (en la línea, la "posición general" es equivalente a ser distinta, mientras que en dimensiones superiores requiere consideraciones geométricas, como se ha comentado), pero, como lo indica lo anterior, esto es más complicado y menos informativo.

Sin embargo, existe una generalización a superficies de Riemann de género positivo , utilizando el mapa de Abel-Jacobi y las funciones theta .

Véase también

• Métrica de Hilbert

Notas

1. Un teorema sobre la relación anarmónica de las líneas apareció en la obra de Pappus , pero Michel Chasles , que dedicó considerables esfuerzos a reconstruir obras perdidas de Euclides , afirmó que había aparecido antes en su libro Porismos .
2. Alexander Jones (1986) Libro 7 de la Colección , parte 1: introducción, texto, traducción ISBN  0-387-96257-3 , parte 2: comentario, índice, figuras ISBN 3-540-96257-3 , Springer-Verlag 
3. Carnot, Lazare (1803). Geometría de posición. Crapelet.
4. Chasles, Michel (1837). Descripción histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos. Hayez. pag. 35.(El enlace lleva a la segunda edición reimpresa, Gauthier-Villars: 1875.)
5. Howard Eves (1972) Un estudio de la geometría , edición revisada, página 73, Allyn y Bacon
6. WK Clifford (1878) Elementos de dinámica, libros I, II, III, página 42, Londres: MacMillan & Co; presentación en línea de Cornell University Historical Mathematical Monographs .
7. Irving Kaplansky (1969). Álgebra lineal y geometría: un segundo curso . ISBN 0-486-43233-5.
8. Chandrasekharan, K. (1985). Funciones elípticas . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 281. Springer-Verlag . pag. 120.ISBN​ 3-540-15295-4.Zbl 0575.33001  .

Referencias

• Lars Ahlfors (1953,1966,1979) Análisis complejo , 1.ª edición, página 25; 2.ª y 3.ª ediciones, página 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1 . 
• Viktor Blåsjö (2009) "Systematische Entwickelung de Jakob Steiner: la culminación de la geometría clásica", Mathematical Intelligencer 31(1): 21–9.
• John J. Milne (1911) Un tratado elemental sobre geometría de proporciones cruzadas con notas históricas , Cambridge University Press .
• Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 7, Addison-Wesley .
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012) Álgebra lineal y geometría , Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 

Enlaces externos

• MathPages – Kevin Brown explica la razón cruzada en su artículo sobre el hexagrama místico de Pascal
• Relación cruzada al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Relación cruzada". MundoMatemático .
• Ardila, Federico. "The Cross Ratio" (video) . youtube . Brady Haran . Archivado desde el original el 2021-12-12 . Consultado el 6 de julio de 2018 .