Modelo de Beltrami-Klein

Modelo de geometría hiperbólica

Muchas líneas hiperbólicas que pasan por el punto P no intersecan la línea a en el modelo de Beltrami Klein

Un mosaico triheptagonal hiperbólico en una proyección del modelo Beltrami-Klein

En geometría, el modelo de Beltrami-Klein , también llamado modelo proyectivo , modelo de disco de Klein y modelo de Cayley-Klein , es un modelo de geometría hiperbólica en el que los puntos están representados por los puntos en el interior del disco unitario (o bola unitaria n -dimensional ) y las líneas están representadas por las cuerdas , segmentos de línea recta con puntos finales ideales en la esfera límite .

Es análoga a la proyección gnomónica de la geometría esférica , en la que las geodésicas ( círculos máximos en la geometría esférica) se asignan a líneas rectas.

Este modelo no es conforme : los ángulos no se representan fielmente y los círculos se convierten en elipses , cada vez más aplanados a medida que se acercan al borde. Esto contrasta con el modelo del disco de Poincaré , que es conforme. Sin embargo, las líneas en el modelo de Poincaré no se representan mediante segmentos de línea recta, sino mediante arcos que se encuentran con el límite de manera ortogonal .

El modelo Beltrami-Klein recibe su nombre del geómetra italiano Eugenio Beltrami y del alemán Felix Klein, mientras que "Cayley" en el modelo Cayley-Klein se refiere al geómetra inglés Arthur Cayley .

Historia

Este modelo hizo su primera aparición para la geometría hiperbólica en dos memorias de Eugenio Beltrami publicadas en 1868, primero para la dimensión n = 2 y luego para n general , estos ensayos demostraron la equiconsistencia de la geometría hiperbólica con la geometría euclidiana ordinaria . ^{[1] [2] [3]}

Los trabajos de Beltrami pasaron desapercibidos hasta hace poco y el modelo recibió el nombre de Klein ("El modelo del disco de Klein"). Esto ocurrió de la siguiente manera. En 1859, Arthur Cayley utilizó la definición de ángulo de razón cruzada de Laguerre para mostrar cómo se podía definir la geometría euclidiana utilizando la geometría proyectiva . ^[4] Su definición de distancia más tarde se conocería como la métrica de Cayley .

En 1869, el joven Felix Klein (de veinte años) conoció la obra de Cayley. Recordó que en 1870 dio una conferencia sobre la obra de Cayley en el seminario de Weierstrass y escribió:

“Terminé con la pregunta de si podría existir una conexión entre las ideas de Cayley y las de Lobachevsky . La respuesta que recibí fue que estos dos sistemas estaban conceptualmente muy separados.” ^[5]

Más tarde, Felix Klein se dio cuenta de que las ideas de Cayley dan lugar a un modelo proyectivo del plano no euclidiano. ^[6]

Como dice Klein: “Me dejé convencer por estas objeciones y dejé de lado esta idea ya madura”. Sin embargo, en 1871, volvió a esta idea, la formuló matemáticamente y la publicó. ^[7]

Fórmula de distancia

La función de distancia para el modelo de Beltrami–Klein es una métrica de Cayley–Klein . Dados dos puntos distintos p y q en la bola unitaria abierta, la única línea recta que los conecta interseca el límite en dos puntos ideales , a y b , etiquételos de modo que los puntos sean, en orden, a , p , q , b , de modo que | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces: ${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}}$

Las barras verticales indican distancias euclidianas entre los puntos del modelo, donde ln es el logaritmo natural y se necesita el factor de la mitad para dar al modelo la curvatura estándar de −1.

Cuando uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r entonces la distancia hiperbólica es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,}$

donde artanh es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica .

El modelo de disco de Klein

Rectas en el modelo proyectivo del plano hiperbólico

En dos dimensiones, el modelo de Beltrami-Klein se denomina modelo de disco de Klein . Se trata de un disco y el interior del disco es un modelo de todo el plano hiperbólico . Las líneas en este modelo se representan mediante cuerdas del círculo límite (también llamado absoluto ). Los puntos del círculo límite se denominan puntos ideales ; aunque están bien definidos , no pertenecen al plano hiperbólico. Tampoco los puntos fuera del disco, que a veces se denominan puntos ultra ideales .

El modelo no es conforme , lo que significa que los ángulos están distorsionados y los círculos en el plano hiperbólico en general no son circulares en el modelo. Solo los círculos que tienen su centro en el centro del círculo límite no están distorsionados. Todos los demás círculos están distorsionados, al igual que los horociclos y los hiperciclos.

Propiedades

Las cuerdas que se encuentran en el círculo límite son líneas paralelas limitantes .

Dos cuerdas son perpendiculares si, al extenderse fuera del disco, cada una pasa por el polo de la otra. (El polo de una cuerda es un punto ultra ideal: el punto fuera del disco donde se encuentran las tangentes al disco en los puntos finales de la cuerda). Las cuerdas que pasan por el centro del disco tienen su polo en el infinito, ortogonal a la dirección de la cuerda (esto implica que los ángulos rectos en los diámetros no están distorsionados).

Construcciones con compás y regla

A continuación se muestra cómo se pueden utilizar construcciones con compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico .

• El polo de una línea . Si bien el polo no es un punto en el plano hiperbólico (es un punto ultraideal ), la mayoría de las construcciones utilizarán el polo de una línea de una o más maneras.

Para una línea: construya las tangentes al círculo límite a través de los puntos ideales (finales) de la línea. El punto donde se intersecan estas tangentes es el polo.

Para los diámetros del disco: el polo está en el infinito perpendicular al diámetro.

• Para construir una perpendicular a una línea dada a través de un punto dado, se traza el rayo desde el polo de la línea a través del punto dado. La parte del rayo que está dentro del disco es la perpendicular.

Cuando la línea es un diámetro del disco entonces la perpendicular es la cuerda que es (euclidiana) perpendicular a ese diámetro y que pasa por el punto dado.

• Para encontrar el punto medio de un segmento dado : Dibuje las líneas que pasan por A y B y que son perpendiculares a . (ver arriba) Dibuje las líneas que conectan los puntos ideales de estas líneas, dos de estas líneas intersectarán el segmento y lo harán en el mismo punto. Este punto es el punto medio (hiperbólico) de . ^[8] ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$
• Para bisecar un ángulo dado : dibuja los rayos AB y AC. Dibuja tangentes al círculo donde los rayos intersecan el círculo límite. Dibuja una línea desde A hasta el punto donde se intersecan las tangentes. La parte de esta línea entre A y el círculo límite es la bisectriz. ^[9] ${\displaystyle \angle BAC}$
• La perpendicular común de dos rectas es la cuerda que al extenderse pasa por ambos polos de las cuerdas.

Cuando una de las cuerdas es un diámetro del círculo límite entonces la perpendicular común es la cuerda que es perpendicular al diámetro y que al alargarse pasa por el polo de la otra cuerda.

• Para reflejar un punto P en una recta l : Desde un punto R sobre la recta l trazar el rayo a través de P. Sea X el punto ideal donde el rayo interseca al absoluto. Trazar el rayo desde el polo de la recta l a través de X, sea Y otro punto ideal que interseca al rayo. Trazar el segmento RY. La reflexión del punto P es el punto donde el rayo desde el polo de la recta l a través de P interseca a RY. ^[10]

Círculos, hiperciclos y horociclos

Círculos en el modelo de geometría hiperbólica de Klein-Beltrami.

Si bien las líneas en el plano hiperbólico son fáciles de dibujar en el modelo de disco de Klein, no es lo mismo con los círculos, hiperciclos y horociclos .

Los círculos (el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia dada de un punto dado, su centro) en el modelo se convierten en elipses cada vez más aplanadas a medida que se acercan al borde. También los ángulos en el modelo del disco de Klein se deforman.

Para construcciones en el plano hiperbólico que contienen círculos, hiperciclos , horociclos o ángulos no rectos es mejor utilizar el modelo de disco de Poincaré o el modelo de semiplano de Poincaré .

Relación con el modelo del disco de Poincaré

Proyecciones combinadas del modelo de disco de Klein (amarillo) al modelo de disco de Poincaré (rojo) pasando por el modelo de hemisferio (azul)

El modelo de Beltrami-Klein (K en la imagen) es una proyección ortográfica del modelo hemisférico y una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con el centro del hiperboloide (O) como su centro.

Tanto el modelo del disco de Poincaré como el del disco de Klein son modelos del plano hiperbólico. Una ventaja del modelo del disco de Poincaré es que es conforme (los círculos y los ángulos no se distorsionan); una desventaja es que las líneas de la geometría son arcos circulares ortogonales al círculo límite del disco.

Los dos modelos están relacionados a través de una proyección sobre o desde el modelo hemisférico . El modelo de Klein es una proyección ortográfica al modelo hemisférico mientras que el modelo de disco de Poincaré es una proyección estereográfica .

Al proyectar las mismas lineas en ambos modelos sobre un disco ambas lineas pasan por los mismos dos puntos ideales . (los puntos ideales permanecen en el mismo lugar) además el polo de la cuerda es el centro del círculo que contiene el arco .

Si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo de Beltrami-Klein, entonces el punto correspondiente en el modelo del disco de Poincaré está a una distancia de u en el mismo radio: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s^{2}}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}{s}}.}$

Por el contrario, si P es un punto a una distancia del centro del círculo unitario en el modelo del disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami-Klein está a una distancia de s en el mismo radio: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u^{2}}}.}$

Relación del modelo de disco con el modelo hiperboloide y la proyección gnomónica de la esfera

La proyección gnomónica de la esfera se proyecta desde el centro de la esfera sobre un plano tangente. Cada círculo máximo de la esfera se proyecta sobre una línea recta, pero no es conforme. Los ángulos no se representan fielmente y los círculos se convierten en elipses, cada vez más estirados a medida que se alejan del punto tangente.

De manera similar, el disco de Klein (K, en la imagen) es una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con el centro del hiperboloide (O) como centro y el plano de proyección tangente al hiperboloide. ^[11]

Distancia y tensor métrico

El panal dodecaédrico hiperbólico regular , {5,3,4}

Dados dos puntos distintos U y V en la esfera unitaria abierta del modelo en el espacio euclidiano , la única línea recta que los conecta interseca la esfera unitaria en dos puntos ideales A y B , etiquetados de modo que los puntos sean, en orden a lo largo de la línea, A , U , V , B. Tomando el centro de la esfera unitaria del modelo como origen y asignando vectores de posición u , v , a , b respectivamente a los puntos U , V , A , B , tenemos que ‖ a − v ‖ > ‖ a − u ‖ y ‖ u − b ‖ > ‖ v − b ‖ , donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana . Entonces, la distancia entre U y V en el espacio hiperbólico modelado se expresa como

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left\|\mathbf {v} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {u} \right\|}{\left\|\mathbf {u} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {v} \right\|}},}$

donde se necesita el factor de la mitad para hacer la curvatura  −1.

El tensor métrico asociado viene dado por ^{[12] [13]}

${\displaystyle ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}}{1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2})\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

Relación con el modelo hiperboloide

Teselación hiperbólica parcial {7,3} del hiperboloide como se ve en la perspectiva de Beltrami-Klein.

Animación del teselado hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide que gira en la perspectiva de Beltrami-Klein.

El modelo hiperboloide es un modelo de geometría hiperbólica dentro del espacio de Minkowski de ( n +1) dimensiones . El producto interno de Minkowski está dado por

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,}$

y la norma por . El plano hiperbólico está incrustado en este espacio como los vectores x con ‖ x ‖ = 1 y x ₀ (el "componente temporal") positivo. La distancia intrínseca (en la incrustación) entre los puntos u y v está dada entonces por ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).}$

Esto también puede escribirse en forma homogénea.

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} }{\left\|\mathbf {u} \right\|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {v} \right\|}}\right),}$

que permite reescalar los vectores para mayor comodidad.

El modelo de Beltrami-Klein se obtiene a partir del modelo hiperboloide reescalando todos los vectores de modo que el componente temporal sea 1, es decir, proyectando la incrustación hiperboloide a través del origen sobre el plano x ₀ = 1 . La función de distancia, en su forma homogénea, no cambia. Dado que las líneas intrínsecas (geodésicas) del modelo hiperboloide son la intersección de la incrustación con los planos a través del origen de Minkowski, las líneas intrínsecas del modelo de Beltrami-Klein son las cuerdas de la esfera.

Relación con el modelo de bola de Poincaré

Tanto el modelo de bola de Poincaré como el modelo de Beltrami–Klein son modelos del espacio hiperbólico n -dimensional en la bola unitaria n -dimensional en R ⁿ . Si es un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de disco de Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo de Beltrami–Klein está dado por ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$

Por el contrario, a partir de un vector de norma menor que uno que representa un punto del modelo de Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo de disco de Poincaré está dado por ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$

Dados dos puntos en el límite del disco unitario, que tradicionalmente se denominan puntos ideales , la línea recta que los conecta en el modelo de Beltrami-Klein es la cuerda entre ellos, mientras que en el modelo de Poincaré correspondiente la línea es un arco circular en el subespacio bidimensional generado por los dos vectores de puntos límite, que se encuentra con el límite de la bola en ángulos rectos. Los dos modelos están relacionados a través de una proyección desde el centro del disco; un rayo desde el centro que pasa por un punto de una línea modelo pasa por el punto correspondiente de la línea en el otro modelo.

Véase también

• Modelo de semiplano de Poincaré
• Modelo de disco de Poincaré
• Métrica de Poincaré
• Geometría inversa

Notas

1. Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche . VI : 285–315.
2. Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fundamentale degli spazii di curvatura costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata . Serie II. 2 : 232–255. doi :10.1007/BF02419615. S2CID  120773141.
3. Stillwell, John (1999). Fuentes de la geometría hiperbólica (2.ª edición impresa). Providence: American mathematics society. pp. 7–62. ISBN 0821809229.
4. Cayley, Arthur (1859). "Una sexta memoria sobre la cuántica". Philosophical Transactions of the Royal Society . 159 : 61–91. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
5. Klein, Félix (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Parte 1 . Saltador. pag. 152.
6. Klein, Félix (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Annalen Matemáticas . 4 (4): 573–625. doi :10.1007/BF02100583.
7. Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.
8. caja de herramientas hiperbólica
9. caja de herramientas hiperbólica
10. Greenberg, Marvin Jay (2003). Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (3.ª ed.). Nueva York: Freeman. pp. 272–273. ISBN 9780716724469.
11. Hwang, Andrew D. "Analogía de la proyección de geometría esférica e hiperbólica". Stack Exchange . Consultado el 1 de enero de 2017 .
12. J. W. Cannon; W. J. Floyd; R. Kenyon; WR Parry. "Geometría hiperbólica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 1 de noviembre de 2020.
13. respuesta de Stack Exchange

Referencias

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas , EUDEBA.
• Stahl, Saul (2007), Una puerta de entrada a la geometría moderna: el semiplano de Poincaré (2.ª ed.), Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5381-8
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009), "Diagramas de Voronoi hiperbólicos simplificados", 2010 International Conference on Computational Science and Its Applications , págs. 74–80, arXiv : 0903.3287 , doi :10.1109/ICCSA.2010.37, ISBN 978-1-4244-6461-6, Número de identificación del sujeto  14129082