Transformación conforme especial

Clase especial de transformaciones fraccionarias lineales

Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación conforme especial

La misma cuadrícula después de una transformación conforme especial

En geometría proyectiva , una transformación conforme especial es una transformación fraccionaria lineal que no es una transformación afín . Por lo tanto, la generación de una transformación conforme especial implica el uso de la inversión multiplicativa , que es la generadora de transformaciones fraccionarias lineales que no son afines.

En física matemática , ciertos mapas conformes conocidos como transformaciones de ondas esféricas son transformaciones conformes especiales .

Presentación vectorial

Una transformación conforme especial se puede escribir ^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.}$

Es una composición de una inversión ( x ^μ  →  x ^μ /x ² = y ^μ ), una traslación ( y ^μ  →  y ^μ  −  b ^μ = z ^μ ) y otra inversión ( z ^μ  →  z ^μ /z ² = x ′ ^μ )

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

Su generador infinitesimal es

${\displaystyle K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.}$

Se han utilizado transformaciones conformes especiales para estudiar el campo de fuerza de una carga eléctrica en movimiento hiperbólico . ^[2]

Presentación proyectiva

La inversión también puede tomarse ^[3] como inversión multiplicativa de los bicuaterniones B . El álgebra compleja B puede extenderse a P( B ) a través de la línea proyectiva sobre un anillo . Las homografías en P( B ) incluyen traslaciones:

${\displaystyle U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).}$

El grupo de homografía G( B ) incluye traslaciones en el infinito con respecto a la incrustación q → U( q :1);

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

La matriz describe la acción de una transformación conforme especial. ^[4]

Propiedad del grupo

Las traslaciones forman un subgrupo del grupo fraccionario lineal que actúa sobre una línea proyectiva. Hay dos incrustaciones en la línea proyectiva de coordenadas homogéneas : z → [ z :1] y z → [1: z ]. Una operación de adición corresponde a una traslación en la primera incrustación. Las traslaciones a la segunda incrustación son transformaciones conformes especiales, que forman traslaciones en el infinito. La adición mediante estas transformaciones reciproca los términos antes de la adición y luego devuelve el resultado mediante otra reciprocidad. Esta operación se denomina operación paralela . En el caso del plano complejo, el operador paralelo forma una operación de adición en un cuerpo alternativo que utiliza el infinito pero excluye el cero. Las traslaciones en el infinito forman así otro subgrupo del grupo de homografía en la línea proyectiva.

Historia

El término transformación conforme especial ("speziellen konformen Transformationen" en alemán) fue utilizado por primera vez en 1962 por Hans Kastrup. ^{[5] [6]}

Referencias

1. Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Teoría de campos conformes . Textos de posgrado en física contemporánea. Springer. pp. 97–98. ISBN 978-0-387-94785-3.
2. Galeriu, Cǎlin (2019) "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la solución conforme especial", European Journal of Physics 40(6) doi :10.1088/1361-6404/ab3df6
3. Arthur Conway (1911) "Sobre la aplicación de los cuaterniones a algunos desarrollos recientes de la teoría eléctrica", Actas de la Real Academia Irlandesa 29:1–9, en particular la página 9
4. Álgebra de composición asociativa/Homografías en Wikilibros
5. Kastrup, HA (1962). "Zur physikalischen Deutung und darstellungstheoretischen Analyse der konformen Transformationen von Raum und Zeit". Annalen der Physik . 464 (7–8): 388–428. doi : 10.1002/andp.19624640706. ISSN  0003-3804.
6. Kastrup, HA (18 de septiembre de 2008). "Sobre los avances de las transformaciones conformes y sus simetrías asociadas en geometría y física teórica*". Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. doi :10.1002/andp.200852009-1005. ISSN  0003-3804.