Espacio de configuración (matemáticas)

El espacio de configuración de todos los pares desordenados de puntos del círculo es la banda de Möbius .

En matemáticas , un espacio de configuración es una construcción estrechamente relacionada con los espacios de estados o espacios de fases en física. En física, estos se utilizan para describir el estado de un sistema completo como un único punto en un espacio de alta dimensión. En matemáticas, se utilizan para describir asignaciones de una colección de puntos a posiciones en un espacio topológico . Más específicamente, los espacios de configuración en matemáticas son ejemplos particulares de espacios de configuración en física en el caso particular de varias partículas que no colisionan.

Definición

Para un espacio topológico y un entero positivo , sea el producto cartesiano de copias de , dotado de la topología de producto . El espacio de configuración n- ^ésimo (ordenado) de es el conjunto de n - tuplas de puntos distintos por pares en : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{for some }}i\neq j\}.}$^[1]

Este espacio generalmente está dotado de la topología de subespacio de la inclusión de en . A veces también se denota como , , o . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle F(X,n)}$ ${\displaystyle F^{n}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$

Hay una acción natural del grupo simétrico sobre los puntos dados por ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

Esta acción da lugar al n- ^ésimo espacio de configuración desordenado de X ,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

que es el espacio de órbita de esa acción. La intuición es que esta acción "olvida los nombres de los puntos". El espacio de configuración desordenado a veces se denota como , ^[2] o . La colección de espacios de configuración desordenados en general es el espacio Ran y viene con una topología natural. ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$

Formulaciones alternativas

Para un espacio topológico y un conjunto finito , el espacio de configuración de X con partículas etiquetadas por S es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.}$

Para , defina . Entonces el n- ^ésimo espacio de configuración de X se denota simplemente . ^[3] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Ejemplos

• El espacio de configuración ordenada de dos puntos en es homeomorfo al producto del 3-espacio euclidiano con un círculo, es decir . ^[2] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$
• De manera más general, el espacio de configuración de dos puntos en es homotópicamente equivalente a la esfera . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• El espacio de configuración de puntos en es el espacio de clasificación del grupo trenzado n (ver más abajo). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Conexión a grupos de trenzas

El grupo trenzado de n hebras en un espacio topológico conexo X es

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

el grupo fundamental del espacio de configuración desordenado n ^{-ésimo de} X. El grupo trenzado puro de hebra n en X es ^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

Los primeros grupos trenzados estudiados fueron los grupos trenzados de Artin . Si bien la definición anterior no es la que dio Emil Artin , Adolf Hurwitz definió implícitamente los grupos trenzados de Artin como grupos fundamentales de espacios de configuración del plano complejo considerablemente antes de la definición de Artin (en 1891). ^[5] ${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$

De esta definición y del hecho de que y son espacios de Eilenberg-MacLane de tipo , se desprende que el espacio de configuración desordenada del plano es un espacio de clasificación para el grupo trenzado de Artin, y es un espacio de clasificación para el grupo trenzado de Artin puro, cuando ambos se consideran como grupos discretos . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$

Espacios de configuración de variedades

Si el espacio original es una variedad , sus espacios de configuración ordenados son subespacios abiertos de las potencias de y, por lo tanto, son ellos mismos variedades. El espacio de configuración de puntos no ordenados distintos también es una variedad, mientras que el espacio de configuración de puntos no ordenados no necesariamente distintos ^{[ aclaración necesaria ]} es, en cambio, un orbifold . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio de configuración es un tipo de espacio de clasificación o espacio de módulos (fino) . En particular, existe un fibrado universal que es un subfibrado del fibrado trivial y que tiene la propiedad de que la fibra sobre cada punto es el subconjunto de n elementos de clasificado por  p . ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$ ${\displaystyle p\in C_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Invariancia de homotopía

El tipo de homotopía de los espacios de configuración no es homotópicamente invariante . Por ejemplo, los espacios no son homotópicamente equivalentes para dos valores distintos de : está vacío para , no está conexo para , es un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo , y está simplemente conexo para . ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m\geq 3}$

Solía ​​ser una pregunta abierta si había ejemplos de variedades compactas que fueran homotópicamente equivalentes pero tuvieran espacios de configuración no homotópicamente equivalentes: tal ejemplo fue encontrado recién en 2005 por Riccardo Longoni y Paolo Salvatore. Su ejemplo son dos espacios de lentes tridimensionales , y los espacios de configuración de al menos dos puntos en ellos. Que estos espacios de configuración no son homotópicamente equivalentes fue detectado por los productos Massey en sus respectivas cubiertas universales. ^[7] La ​​invariancia de homotopía para espacios de configuración de variedades cerradas simplemente conexas permanece abierta en general, y se ha demostrado que se mantiene sobre el cuerpo base . ^{[8] [9]} También se demostró la invariancia de homotopía real de variedades compactas simplemente conexas con un límite simplemente conexo de dimensión al menos 4. ^[10] ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Espacios de configuración de gráficos

Algunos resultados son específicos de los espacios de configuración de grafos . Este problema puede relacionarse con la robótica y la planificación del movimiento: uno puede imaginar colocar varios robots en pistas e intentar navegarlos a diferentes posiciones sin colisionar. Las pistas corresponden a (los bordes de) un grafo, los robots corresponden a partículas y la navegación exitosa corresponde a una ruta en el espacio de configuración de ese grafo. ^[11]

Para cualquier gráfico , es un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo ^[11] y la deformación fuerte se retrae a un complejo CW de dimensión , donde es el número de vértices de grado al menos 3. ^{[11] [12]} Además, y la deformación se retrae a complejos cúbicos no positivamente curvados de dimensión como máximo . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$

Espacios de configuración de vínculos mecánicos

También se define el espacio de configuración de un enlace mecánico con el gráfico de su geometría subyacente. Se supone comúnmente que un gráfico de este tipo se construye como una concatenación de varillas rígidas y bisagras. El espacio de configuración de un enlace de este tipo se define como la totalidad de todas sus posiciones admisibles en el espacio euclidiano equipado con una métrica propia. El espacio de configuración de un enlace genérico es una variedad suave; por ejemplo, para el enlace plano trivial hecho de varillas rígidas conectadas con juntas giratorias, el espacio de configuración es el n-toro . ^{[15] [16]} El punto de singularidad más simple en tales espacios de configuración es un producto de un cono en una hipersuperficie cuadrática homogénea por un espacio euclidiano. Un punto de singularidad de este tipo surge para enlaces que se pueden dividir en dos subenlaces de modo que sus respectivos puntos finales (trayectorias) se intersecan de manera no transversal, por ejemplo, un enlace que se puede alinear (es decir, doblar completamente en una línea). ^[17] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$

Compactación

El espacio de configuración de puntos distintos no es compacto, ya que tiene extremos donde los puntos tienden a aproximarse entre sí (confluyen). Muchas aplicaciones geométricas requieren espacios compactos, por lo que sería conveniente compactificar , es decir, incrustarlo como un subconjunto abierto de un espacio compacto con propiedades adecuadas. Raoul Bott y Clifford Taubes ^[18] , así como William Fulton y Robert MacPherson ^[19] , han propuesto enfoques para este problema. ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Espacio de configuración (física)
• Espacio de estados (física)

Referencias

1. Farber, Michael; Grant, Mark (2009). "Complejidad topológica de espacios de configuración". Actas de la American Mathematical Society . 137 (5): 1841–1847. arXiv : 0806.4111 . doi :10.1090/S0002-9939-08-09808-0. MR  2470845. S2CID  16188638.
2. Ghrist, Robert (1 de diciembre de 2009). "Espacios de configuración, trenzas y robótica". En Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R.; Hanbury, Elizabeth; Wong, Yan-Loi; Wu, Jie (eds.). Trenzas . Serie de notas de clase, Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. Vol. 19. World Scientific. págs. 263–304. doi :10.1142/9789814291415_0004. ISBN . 9789814291408.
3. Chettih, Safia; Lütgehetmann, Daniel (2018). "La homología de espacios de configuración de árboles con bucles". Topología algebraica y geométrica . 18 (4): 2443–2469. arXiv : 1612.08290 . doi :10.2140/agt.2018.18.2443. S2CID  119168700.
4. Sinha, Dev (20 de febrero de 2010). "La homología de los pequeños discos operados". pág. 2. arXiv : math/0610236 .
5. Magnus, Wilhelm (1974). "Grupos de trenzas: una revisión". Actas de la Segunda Conferencia Internacional sobre la Teoría de Grupos . Apuntes de clase en Matemáticas . Vol. 372. Springer. pág. 465. doi :10.1007/BFb0065203. ISBN. 978-3-540-06845-7.
6. Arnold, Vladimir (1969). "El anillo de cohomología del grupo trenzado coloreado". Vladimir I. Arnold — Obras completas (en ruso). Vol. 5. Traducido por Victor Vassiliev . págs. 227–231. doi :10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0. ISSN  0025-567X. MR  0242196. S2CID  122699084.
7. Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son homotópicamente invariantes", Topología , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002, S2CID  15874513
8. Campos, Ricardo; Willwacher, Thomas (2023). "Un modelo para espacios de configuración de puntos". Topología algebraica y geométrica . 23 (5): 2029–2106. arXiv : 1604.02043 . doi :10.2140/agt.2023.23.2029.
9. Idrissi, Najib (29 de agosto de 2016). "El modelo Lambrechts-Stanley de espacios de configuración". Invenciones Mathematicae . 216 : 1–68. arXiv : 1608.08054 . Código Bib : 2016arXiv160808054I. doi :10.1007/s00222-018-0842-9. S2CID  102354039.
10. Campos, Ricardo; Idrissi, Najib; Lambrechts, Pascal; Willwacher, Thomas (2018-02-02). "Espacios de configuración de variedades con contorno". arXiv : 1802.00716 [math.AT].
11. Ghrist, Robert (2001), "Espacios de configuración y grupos de trenzas en gráficos en robótica", Nudos, trenzas y grupos de clases de mapeo: artículos dedicados a Joan S. Birman , AMS/IP Stud. Adv. Math., vol. 24, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 29–40, arXiv : math/9905023 , MR  1873106
12. Farley, Daniel; Sabalka, Lucas (2005). "Teoría de Morse discreta y grupos de grafos trenzados". Topología algebraica y geométrica . 5 (3): 1075–1109. arXiv : math/0410539 . doi :10.2140/agt.2005.5.1075. MR  2171804. S2CID  119715655.
13. Świątkowski, Jacek (2001). "Estimaciones para la dimensión homológica de espacios de configuración de grafos". Colloquium Mathematicum (en polaco). 89 (1): 69–79. doi : 10.4064/cm89-1-5 . MR  1853416.
14. Lütgehetmann, Daniel (2014). Espacios de configuración de grafos (tesis de maestría). Berlín: Universidad Libre de Berlín .
15. Shvalb, Nir; Shoham, Moshe; Blanc, David (2005). "El espacio de configuración de los mecanismos aracnoideos". Forum Mathematicum . 17 (6): 1033–1042. doi :10.1515/form.2005.17.6.1033. S2CID  121995780.
16. Farber, Michael (2007). Invitación a la Robótica Topológica . American Mathematical Society.
17. Shvalb, Nir; Blanc, David (2012). "Configuraciones singulares genéricas de enlaces". Topología y sus aplicaciones . 159 (3): 877–890. arXiv : 1112.2334 . doi : 10.1016/j.topol.2011.12.003 .
18. Bott, Raoul ; Taubes, Clifford (1994-10-01). "Sobre la autoconexión de nudos". Journal of Mathematical Physics . 35 (10): 5247–5287. doi :10.1063/1.530750. ISSN  0022-2488.
19. Fulton, William ; MacPherson, Robert (enero de 1994). "Una compactificación de espacios de configuración". Anales de Matemáticas . 139 (1): 183. doi :10.2307/2946631. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946631.