En matemáticas, y especialmente en geometría, un objeto tiene simetría icosaédrica si tiene las mismas simetrías que un icosaedro regular . Ejemplos de otros poliedros con simetría icosaédrica incluyen el dodecaedro regular (el dual del icosaedro) y el triacontaedro rómbico .
Todo poliedro con simetría icosaédrica tiene 60 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación) y 60 simetrías que invierten la orientación (que combinan una rotación y una reflexión ), para un orden de simetría total de 120. El grupo de simetría completo es el grupo de Coxeter de tipo H 3 . Puede representarse mediante la notación de Coxeter [5,3] y el diagrama de Coxeter. 
El conjunto de simetrías rotacionales forma un subgrupo que es isomorfo al grupo alterno A 5 en 5 letras.
La simetría icosaédrica es una propiedad matemática de los objetos que indica que un objeto tiene las mismas simetrías que un icosaedro regular .
Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antiprismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de los objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías puntuales discretas (o equivalentemente, simetrías en la esfera ) con los grupos de simetría más grandes .
La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional , por lo que no hay grupos puntuales ni grupos espaciales cristalográficos asociados .
Las presentaciones correspondientes a lo anterior son:
Estos corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los grupos de triángulos (2,3,5) .
La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano . [1]
Téngase en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como grupo alterno (para I ).
El grupo de simetría completo es el grupo de Coxeter de tipo H 3 . Puede representarse mediante la notación de Coxeter [5,3] y el diagrama de Coxeter El conjunto de simetrías rotacionales forma un subgrupo que es isomorfo al grupo alterno A 5 en 5 letras.
Cada poliedro con simetría icosaédrica tiene 60 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación) y 60 simetrías de inversión de la orientación (que combinan una rotación y una reflexión ), para un orden de simetría total de 120.
ElEl grupo de rotación icosaédrica I es de orden 60. El grupoIesisomorfoaA5, elgrupo alternantede permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo puede realizarse medianteIactuando sobre varios compuestos, en particular elcompuesto de cinco cubos(que se inscriben en eldodecaedro), elcompuesto de cinco octaedroso cualquiera de los doscompuestos de cinco tetraedros(que sonenantiomorfosy se inscriben en el dodecaedro). El grupo contiene 5 versiones deThcon 20 versiones deD 3 (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones deD 5 .
ElEl grupo icosaédrico completo I h tiene orden 120. Tienea Icomosubgrupo normaldeíndice2. El grupoI h es isomorfo aI×Z2, oA5×Z2, con lainversión en el centrocorrespondiente al elemento (identidad, -1), dondeZ2se escribe multiplicativamente.
I h actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros , pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son simétricos centralmente). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros : I actúa sobre las dos mitades quirales ( compuestos de cinco tetraedros ), y −1 intercambia las dos mitades. Cabe destacar que no actúa como S 5 , y estos grupos no son isomorfos; consulte a continuación para obtener más detalles.
El grupo contiene 10 versiones de D 3d y 6 versiones de D 5d (simetrías como antiprismas).
I también es isomorfo a PSL 2 (5), pero I h no es isomorfo a SL 2 (5).
Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A 5 . En la siguiente tabla, las permutaciones P i y Q i actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación M i son los elementos de I . Si P k es el producto de tomar la permutación P i y aplicarle P j , entonces para los mismos valores de i , j y k , también es cierto que Q k es el producto de tomar Q i y aplicarle Q j , y también que premultiplicar un vector por M k es lo mismo que premultiplicar ese vector por M i y luego premultiplicar ese resultado por M j , es decir M k = M j × M i . Dado que las permutaciones P i son todas las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, por lo tanto, también el isomorfismo.
Los siguientes grupos tienen orden 120, pero no son isomorfos:
Corresponden a las siguientes secuencias cortas exactas (la última de las cuales no se divide) y producto
En palabras,
Nótese que tiene una representación tridimensional irreducible excepcional (como el grupo de rotación icosaédrica), pero no tiene una representación tridimensional irreducible, lo que corresponde a que el grupo icosaédrico completo no sea el grupo simétrico.
Estos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el campo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y grupos de cobertura directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:
Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación.
Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) indica el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.
Explicación de los colores: verde = los grupos que se generan por reflexiones, rojo = los grupos quirales (que preservan la orientación), que contienen solo rotaciones.
Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro.
La abreviatura "hts(edge)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y lo mismo ocurre con "cara" y "vértice".
Los estabilizadores de un par opuesto de vértices pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.
Los estabilizadores de un par de aristas opuestas pueden interpretarse como estabilizadores del rectángulo que generan.
Los estabilizadores de un par opuesto de caras pueden interpretarse como estabilizadores del antiprisma que generan.
Para cada uno de éstos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da un mapa, de hecho un isomorfismo, .
El grupo de simetría icosaédrica completo [5,3] (
) de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión R 0 , R 1 , R 2 a continuación, con relaciones R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 = (R 0 ×R 1 ) 5 = (R 1 ×R 2 ) 3 = (R 0 ×R 2 ) 2 = Identidad. El grupo [5,3] + (
) de orden 60 se genera por dos rotaciones cualesquiera S 0,1 , S 1,2 , S 0,2 . Una rotorreflexión de orden 10 se genera por V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones. Aquí denota la proporción áurea .
Los dominios fundamentales para el grupo de rotación icosaédrica y el grupo icosaédrico completo están dados por:
En el triacontaedro de Disdyakis, una cara completa es un dominio fundamental; se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una cara, o reemplazando cada cara por múltiples caras o una superficie curva.
Ejemplos de otros poliedros con simetría icosaédrica incluyen el dodecaedro regular (el dual del icosaedro) y el triacontaedro rómbico .
Para la fase intermedia del material llamado cristal líquido, la existencia de simetría icosaédrica fue propuesta por H. Kleinert y K. Maki [2] y su estructura fue analizada en detalle por primera vez en ese artículo. Vea el artículo de revisión aquí. En el aluminio, la estructura icosaédrica fue descubierta experimentalmente tres años después por Dan Shechtman , lo que le valió el Premio Nobel en 2011.
La simetría icosaédrica es equivalentemente el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,5), y es el grupo de simetría de la curva modular X(5), y más generalmente PSL(2, p ) es el grupo de simetría de la curva modular X( p ). La curva modular X(5) es geométricamente un dodecaedro con una cúspide en el centro de cada cara poligonal, lo que demuestra el grupo de simetría.
Esta geometría, y el grupo de simetría asociado, fue estudiado por Felix Klein como los grupos de monodromía de una superficie de Belyi, una superficie de Riemann con una función holomorfa en la esfera de Riemann, ramificada solo en 0, 1 e infinito (una función de Belyi ): las cúspides son los puntos que se encuentran sobre el infinito, mientras que los vértices y los centros de cada arista se encuentran sobre 0 y 1; el grado de la cubierta (número de láminas) es igual a 5.
Esto surgió de sus esfuerzos por dar un marco geométrico para el porqué de la simetría icosaédrica en la solución de la ecuación quíntica , con la teoría dada en el famoso (Klein 1888); una exposición moderna se da en (Tóth 2002, Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, p. 66).
Las investigaciones de Klein continuaron con su descubrimiento de las simetrías de orden 7 y orden 11 en (Klein 1878) y (Klein 1879) (y recubrimientos asociados de grado 7 y 11) y dessins d'enfants , el primero produciendo el cuartico de Klein , cuya geometría asociada tiene un teselado de 24 heptágonos (con una cúspide en el centro de cada uno).
Se producen geometrías similares para PSL(2, n ) y grupos más generales para otras curvas modulares.
De manera más exótica, existen conexiones especiales entre los grupos PSL(2,5) (orden 60), PSL(2,7) (orden 168) y PSL(2,11) (orden 660), que también admiten interpretaciones geométricas: PSL(2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0), PSL(2,7) de la cuártica de Klein (género 3) y PSL(2,11) la superficie de buckyball (género 70). Estos grupos forman una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , que proporciona un marco para las diversas relaciones; consulte trinidades para obtener más detalles.
Existe una estrecha relación con otros sólidos platónicos .
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