En matemáticas , el teorema de Liouville , demostrado por Joseph Liouville en 1850, [1] es un teorema de rigidez sobre aplicaciones conformes en el espacio euclidiano . Afirma que cada aplicación conforme suave en un dominio de R n , donde n > 2, puede expresarse como una composición de traslaciones , semejanzas , transformaciones ortogonales e inversiones : son transformaciones de Möbius (en n dimensiones). [2] [3] Este teorema limita severamente la variedad de posibles aplicaciones conformes en R 3 y espacios de dimensiones superiores. Por el contrario, las aplicaciones conformes en R 2 pueden ser mucho más complicadas; por ejemplo, todos los dominios planares simplemente conexos son conformemente equivalentes , por el teorema de aplicación de Riemann .
Las generalizaciones del teorema son válidas para transformaciones que son sólo débilmente diferenciables (Iwaniec y Martin 2001, Capítulo 5). El enfoque de dicho estudio es el sistema no lineal de Cauchy-Riemann que es una condición necesaria y suficiente para que una función suave f : Ω → R n sea conforme:
donde Df es la derivada jacobiana , T es la matriz transpuesta e I es la matriz identidad. Una solución débil de este sistema se define como un elemento f del espacio de Sobolev W1, n
loc(Ω, R n ) con determinante jacobiano no negativo casi en todas partes , de modo que el sistema de Cauchy-Riemann se cumple en casi todos los puntos de Ω. El teorema de Liouville es entonces que toda solución débil (en este sentido) es una transformación de Möbius, lo que significa que tiene la forma
donde a , b son vectores en R n , α es un escalar, A es una matriz de rotación, ε = 0 o 2, y la matriz entre paréntesis es I o una matriz de Householder (por lo tanto, ortogonal). En términos equivalentes, cualquier función cuasiconforme de un dominio en el espacio euclidiano que también sea conforme es una transformación de Möbius. Esta afirmación equivalente justifica el uso del espacio de Sobolev W 1, n , ya que f ∈ W1, n
loc( Ω , R n ) se deduce entonces de la condición geométrica de conformidad y de la caracterización ACL del espacio de Sobolev. Sin embargo, el resultado no es óptimo: en dimensiones pares n = 2 k , el teorema también se cumple para soluciones que solo se supone que están en el espacio W1, k
ubicación, y este resultado es preciso en el sentido de que existen soluciones débiles del sistema de Cauchy–Riemann en W 1, p para cualquier p < k que no sean transformaciones de Möbius. En dimensiones impares, se sabe que W 1, n no es óptimo, pero no se conoce un resultado preciso.
Resultados de rigidez similares (en el caso suave) se cumplen en cualquier variedad conforme . El grupo de isometrías conformes de una variedad riemanniana conforme n -dimensional siempre tiene una dimensión que no puede exceder la del grupo conforme completo SO( n + 1, 1). La igualdad de las dos dimensiones se cumple exactamente cuando la variedad conforme es isométrica con la n -esfera o el espacio proyectivo . Las versiones locales del resultado también se cumplen: El álgebra de Lie de los campos de Killing conformes en un conjunto abierto tiene una dimensión menor o igual que la del grupo conforme, y la igualdad se cumple si y solo si el conjunto abierto es localmente conformemente plano.
