Rigidez (matemáticas)

En matemáticas , una colección rígida C de objetos matemáticos (por ejemplo, conjuntos o funciones) es aquella en la que cada c  ∈  C está determinado de forma única por menos información sobre c de la que cabría esperar. La declaración anterior no define una propiedad matemática ; en cambio, describe en qué sentido los matemáticos suelen utilizar el adjetivo "rígido" en matemáticas.

Ejemplos

Algunos ejemplos incluyen:

1. Las funciones armónicas en el disco unitario son rígidas en el sentido de que están determinadas únicamente por sus valores límite.
2. Las funciones holomorfas están determinadas por el conjunto de todas las derivadas en un solo punto. Una función suave desde la recta real al plano complejo no está, en general, determinada por todas sus derivadas en un solo punto, pero sí lo está si requerimos adicionalmente que sea posible extender la función a una en una vecindad del plano real. recta en el plano complejo. El lema de Schwarz es un ejemplo de tal teorema de rigidez.
3. Según el teorema fundamental del álgebra , los polinomios en C son rígidos en el sentido de que cualquier polinomio está completamente determinado por sus valores en cualquier conjunto infinito , digamos N , o el disco unitario . En el ejemplo anterior, un polinomio también está determinado dentro del conjunto de funciones holomorfas por el conjunto finito de sus derivadas distintas de cero en cualquier punto.
4. Los mapas lineales L ( X ,  Y ) entre espacios vectoriales X ,  Y son rígidos en el sentido de que cualquier L ∈ L ( X ,  Y ) está completamente determinado por sus valores en cualquier conjunto de vectores base de X.
5. Teorema de rigidez de Mostow , que establece que la estructura geométrica de variedades curvadas negativamente está determinada por su estructura topológica.
6. Un conjunto bien ordenado es rígido en el sentido de que el único automorfismo ( que preserva el orden ) en él es la función identidad. En consecuencia, un isomorfismo entre dos conjuntos bien ordenados será único.
7. El teorema de Cauchy sobre la geometría de politopos convexos establece que un politopo convexo está determinado únicamente por la geometría de sus caras y las reglas de adyacencia combinatoria.
8. El teorema de unicidad de Alexandrov establece que un poliedro convexo en tres dimensiones está determinado únicamente por el espacio métrico de las geodésicas en su superficie.
9. Los resultados de rigidez en la teoría K muestran isomorfismos entre varios grupos algebraicos de la teoría K.
10. Grupos rígidos en el problema inverso de Galois .

Uso combinatorio

En combinatoria , el término rígido también se utiliza para definir la noción de sobreyección rígida , que es una sobreyección para la cual se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] ${\displaystyle f:n\to m}$

1. Para cada , ; ${\displaystyle i,j\in m}$ ${\displaystyle i<j\implies \min f^{-1}(i)<\min f^{-1}(j)}$
2. Considerando una tupla , las primeras apariciones de los elementos en están en orden creciente; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\big (}f(0),f(1),\ldots ,f(n-1){\big )}}$ ${\displaystyle m}$
3. ${\displaystyle f}$asigna segmentos iniciales de a segmentos iniciales de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Esto se relaciona con la definición anterior de rígido, en el sentido de que cada sobreyección rígida define de manera única y está definida de manera única por una partición en piezas . Dada una sobreyección rígida , la partición está definida por . Por el contrario, dada una partición de , ordene dejando . Si ahora es la partición ordenada, la función definida por es una sobreyección rígida. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=f^{-1}(0)\sqcup \cdots \sqcup f^{-1}(m-1)}$ ${\displaystyle n=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{m-1}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\prec A_{j}\iff \min A_{i}<\min A_{j}}$ ${\displaystyle n=B_{0}\sqcup \cdots \sqcup B_{m-1}}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle f:n\to m}$ ${\displaystyle f(i)=j\iff i\in B_{j}}$

Ver también

• Teorema de unicidad
• Rigidez estructural , una teoría matemática que describe los grados de libertad de conjuntos de objetos físicos rígidos conectados entre sí mediante bisagras flexibles.
• Estructura de niveles (geometría algebraica)

Referencias

1. Prömel, Hans Jürgen; Voigt, Bernd (abril de 1986). "Atributos hereditarios de sobrejecciones y conjuntos de parámetros". Revista europea de combinatoria . 7 (2): 161-170. doi : 10.1016/s0195-6698(86)80042-7 . ISSN  0195-6698.

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