Transformación de inversión

Tipos de transformaciones aplicables al espacio-tiempo de coordenadas

En física matemática , las transformaciones de inversión son una extensión natural de las transformaciones de Poincaré para incluir todas las transformaciones conformes , uno a uno, en el espacio-tiempo de coordenadas . ^{[1] [2]} Son menos estudiadas en física porque, a diferencia de las rotaciones y traslaciones de la simetría de Poincaré, un objeto no puede ser transformado físicamente por la simetría de inversión. Algunas teorías físicas son invariantes bajo esta simetría, en estos casos es lo que se conoce como una 'simetría oculta'. Otras simetrías ocultas de la física incluyen la simetría de calibre y la covarianza general .

Uso temprano

En 1831, el matemático Ludwig Immanuel Magnus comenzó a publicar sobre las transformaciones del plano generadas por la inversión en un círculo de radio R. Su trabajo inició un gran cuerpo de publicaciones, ahora llamado geometría inversa . El matemático más destacado fue August Ferdinand Möbius una vez que redujo las transformaciones planares a la aritmética de números complejos . En la compañía de los físicos que emplearon la transformación de inversión desde el principio se encontraba Lord Kelvin , y la asociación con él lleva a que se la llame transformada de Kelvin .

Transformación en coordenadas

En lo sucesivo utilizaremos el tiempo imaginario ( ) de forma que el espacio-tiempo sea euclidiano y las ecuaciones sean más sencillas. Las transformaciones de Poincaré vienen dadas por la transformación de coordenadas del espacio-tiempo parametrizada por los 4-vectores  V ${\displaystyle t'=it}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

donde es una matriz ortogonal y es un 4-vector. Al aplicar esta transformación dos veces a un 4-vector se obtiene una tercera transformación de la misma forma. El invariante básico bajo esta transformación es la longitud del espacio-tiempo dada por la distancia entre dos puntos del espacio-tiempo dados por los 4-vectores x e  y : ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle r=|x-y|.\,}$

Estas transformaciones son subgrupos de las transformaciones conformes 1-1 generales en el espacio-tiempo. Es posible extender estas transformaciones para incluir todas las transformaciones conformes 1-1 en el espacio-tiempo.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

También debemos tener una condición equivalente a la condición de ortogonalidad de las transformaciones de Poincaré:

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

Como se pueden dividir la parte superior e inferior de la transformación, no perdemos generalidad al establecer la matriz unitaria. Terminamos con ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

La aplicación de esta transformación dos veces sobre un vector de 4 vectores da como resultado una transformación de la misma forma. La nueva simetría de "inversión" está dada por el tensor de 3 vectores. Esta simetría se convierte en simetría de Poincaré si establecemos Cuando la segunda condición requiere que sea una matriz ortogonal. Esta transformación es 1-1, lo que significa que cada punto se asigna a un punto único solo si, en teoría, incluimos los puntos en el infinito. ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q=0.}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle O}$

Invariantes

Se desconocen los invariantes de esta simetría en 4 dimensiones, pero se sabe que el invariante requiere un mínimo de 4 puntos espacio-temporales. En una dimensión, el invariante es la conocida razón cruzada de las transformaciones de Möbius :

${\displaystyle {\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

Debido a que los únicos invariantes bajo esta simetría involucran un mínimo de 4 puntos, esta simetría no puede ser una simetría de la teoría de partículas puntuales. La teoría de partículas puntuales se basa en conocer las longitudes de las trayectorias de las partículas a través del espacio-tiempo (por ejemplo, de a ). La simetría puede ser una simetría de una teoría de cuerdas en la que las cuerdas están determinadas de manera única por sus puntos finales. El propagador de esta teoría para una cuerda que comienza en los puntos finales y termina en los puntos finales es una función conforme del invariante de 4 dimensiones. Un cuerpo de cuerdas en la teoría de cuerdas de puntos finales es una función sobre los puntos finales. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,X)}$ ${\displaystyle (y,Y)}$

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

Evidencia física

Aunque es natural generalizar las transformaciones de Poincaré para encontrar simetrías ocultas en la física y, por lo tanto, reducir el número de posibles teorías de la física de alta energía , es difícil examinar experimentalmente esta simetría, ya que no es posible transformar un objeto bajo esta simetría. La evidencia indirecta de esta simetría está dada por la precisión con la que las teorías fundamentales de la física que son invariantes bajo esta simetría hacen predicciones. Otra evidencia indirecta es si las teorías que son invariantes bajo esta simetría conducen a contradicciones como dar probabilidades mayores que 1. Hasta ahora no ha habido evidencia directa de que los constituyentes fundamentales del Universo sean cuerdas. La simetría también podría ser una simetría rota, lo que significa que, aunque es una simetría de la física, el Universo se ha "congelado" en una dirección particular, por lo que esta simetría ya no es evidente.

Véase también

• Grupo de rotación SO(3)
• Rotaciones y reflexiones de coordenadas
• Simetrías del espacio-tiempo
• Simetría CPT
• Campo (física)
• supercuerdas

Referencias

1. "Capítulo 5 Inversión" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2021.
2. "EL MODELO DE DISCO DE POINCARÉ DE GEOMETRÍA HIPERBÓLICA" (PDF) .