En matemáticas , dado un espacio vectorial X con una forma cuadrática asociada q , escrita ( X , q ) , un vector nulo o vector isótropo es un elemento distinto de cero x de X para el cual q ( x ) = 0 .
En la teoría de formas bilineales reales , las formas cuadráticas definidas y las formas cuadráticas isótropas son distintas. Se distinguen en que sólo para estas últimas existe un vector nulo distinto de cero.
Un espacio cuadrático ( X , q ) que tiene un vector nulo se denomina espacio pseudoeuclidiano . El término vector isótropo v cuando q ( v ) = 0 se ha utilizado en espacios cuadráticos, [1] y espacio anisotrópico para un espacio cuadrático sin vectores nulos.
Un espacio vectorial pseudoeuclidiano se puede descomponer (de forma no unívoca) en subespacios ortogonales A y B , X = A + B , donde q es definida positiva en A y definida negativa en B. El cono nulo , o cono isótropo , de X consiste en la unión de esferas equilibradas: El cono nulo es también la unión de las líneas isótropas a través del origen.
Un álgebra de composición con un vector nulo es un álgebra dividida . [2]
En un álgebra de composición ( A , +, ×, *), la forma cuadrática es q( x ) = xx *. Cuando x es un vector nulo, entonces no hay inverso multiplicativo para x y, dado que x ≠ 0, A no es un álgebra de división .
En la construcción de Cayley–Dickson , las álgebras desdobladas surgen en las series de números bicomplejos , bicuaterniones y bioctoniones , que utilizan el cuerpo de números complejos como base de esta construcción de duplicación debido a LE Dickson (1919). En particular, estas álgebras tienen dos unidades imaginarias , que conmutan, de modo que su producto, cuando se eleva al cuadrado, da +1:
Las subálgebras reales, los números complejos divididos , los cuaterniones divididos y los octoniones divididos , con sus conos nulos que representan el seguimiento de la luz dentro y fuera de 0 ∈ A , sugieren una topología del espacio-tiempo .
Los vectores similares a la luz del espacio de Minkowski son vectores nulos.
Los cuatro biquaterniones linealmente independientes l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk y m ∗ = 1 – hk son vectores nulos y { l , n , m , m ∗ } puede servir como base para el subespacio utilizado para representar el espacio-tiempo . Los vectores nulos también se utilizan en el enfoque del formalismo de Newman-Penrose para las variedades del espacio-tiempo. [3]
En el módulo Verma de un álgebra de Lie hay vectores nulos.
