Ecuación de Pell

Tipo de ecuación diofántica

Ecuación de Pell para n  = 2 y seis de sus soluciones enteras

La ecuación de Pell , también llamada ecuación de Pell-Fermat , es cualquier ecuación diofántica de la forma donde n es un entero positivo no cuadrado dado y se buscan soluciones enteras para x e y . En coordenadas cartesianas , la ecuación se representa mediante una hipérbola ; las soluciones se dan dondequiera que la curva pase por un punto cuyas coordenadas x e y sean ambas enteras, como la solución trivial con x  = 1 e y  = 0. Joseph Louis Lagrange demostró que, siempre que n no sea un cuadrado perfecto , la ecuación de Pell tiene infinitas soluciones enteras distintas. Estas soluciones se pueden utilizar para aproximar con precisión la raíz cuadrada de  n mediante números racionales de la forma  x / y . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}$

Esta ecuación fue estudiada extensivamente por primera vez en la India a partir de Brahmagupta , ^[1] quien encontró una solución entera en su Brāhmasphuṭasiddhānta alrededor del año 628. ^[2] Bhaskara II en el siglo XII y Narayana Pandit en el siglo XIV encontraron soluciones generales a la ecuación de Pell y otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas. A Bhaskara II generalmente se le atribuye el desarrollo del método chakravala , basándose en el trabajo de Jayadeva y Brahmagupta. Las soluciones a ejemplos específicos de la ecuación de Pell, como los números de Pell que surgen de la ecuación con n  = 2, se conocían desde hace mucho más tiempo, desde la época de Pitágoras en Grecia y una fecha similar en la India. William Brouncker fue el primer europeo en resolver la ecuación de Pell. El nombre de ecuación de Pell surgió de Leonhard Euler atribuyó erróneamente la solución de Brouncker de la ecuación a John Pell . ^{[3] [4] [nota 1]} ${\displaystyle 92x^{2}+1=y^{2}}$

Historia

Ya en el año 400 a. C., en la India y Grecia , los matemáticos estudiaron los números que surgían del caso n  = 2 de la ecuación de Pell,

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

y de la ecuación estrechamente relacionada

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

debido a la conexión de estas ecuaciones con la raíz cuadrada de 2. [ ^5] De hecho, si x e y son números enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x / y es una aproximación de √ 2. Los números x e y que aparecen en estas aproximaciones, llamados números de lado y diámetro , eran conocidos por los pitagóricos , y Proclo observó que en la dirección opuesta estos números obedecían a una de estas dos ecuaciones. ^[5] De manera similar, Baudhayana descubrió que x = 17, y = 12 y x = 577, y = 408 son dos soluciones a la ecuación de Pell, y que 17/12 y 577/408 son aproximaciones muy cercanas a la raíz cuadrada de 2. ^[6]

Más tarde, Arquímedes aproximó la raíz cuadrada de 3 mediante el número racional 1351/780. Aunque no explicó sus métodos, esta aproximación puede obtenerse de la misma manera, como una solución a la ecuación de Pell. ^[5] De la misma manera, el problema del ganado de Arquímedes —un antiguo problema verbal sobre encontrar el número de ganado perteneciente al dios del sol Helios— puede resolverse reformulándolo como una ecuación de Pell. El manuscrito que contiene el problema afirma que fue ideado por Arquímedes y registrado en una carta a Eratóstenes , ^[7] y la atribución a Arquímedes es generalmente aceptada hoy en día. ^{[8] [9]}

Alrededor del año 250 d. C., Diofanto consideró la ecuación

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$

donde a y c son números fijos, y x e y son las variables que se deben resolver. Esta ecuación es diferente en forma de la ecuación de Pell, pero equivalente a ella. Diofanto resolvió la ecuación para ( a ,  c ) igual a (1, 1), (1, −1), (1, 12) y (3, 9). Al-Karaji , un matemático persa del siglo X, trabajó en problemas similares a los de Diofanto. ^[10]

En matemáticas indias, Brahmagupta descubrió que

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

una forma de lo que ahora se conoce como la identidad de Brahmagupta . Con esto, pudo "componer" triples y que eran soluciones de , para generar los nuevos triples ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$y ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

Esto no sólo proporcionó una manera de generar infinitas soluciones a partir de una solución, sino que también, al dividir dicha composición por , a menudo se podían obtener soluciones enteras o "casi enteras". Por ejemplo, para , Brahmagupta compuso la tripleta (10, 1, 8) (ya que ) consigo misma para obtener la nueva tripleta (192, 20, 64). Dividiendo por 64 ("8" para y ) se obtuvo la tripleta (24, 5/2, 1), que al componerse consigo misma dio la solución entera deseada (1151, 120, 1). Brahmagupta resolvió muchas ecuaciones de Pell con este método, demostrando que da soluciones a partir de una solución entera de para k = ±1, ±2 o ±4. ^[11] ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle N=92}$ ${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

El primer método general para resolver la ecuación de Pell (para todo N ) fue dado por Bhāskara II en 1150, ampliando los métodos de Brahmagupta. Llamado método chakravala (cíclico) , comienza eligiendo dos números enteros relativamente primos y , luego componiendo el triple (es decir, uno que satisface ) con el triple trivial para obtener el triple , que puede reducirse a ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,k)}$ ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ${\displaystyle {\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}}$

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$

Cuando se elige de modo que sea un entero, también lo son los otros dos números de la terna. Entre ellos , el método elige uno que minimice y repite el proceso. Este método siempre termina con una solución. Bhaskara lo utilizó para dar la solución x  =  ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$1 766 319 049 , y  = 226 153 980 al caso N  = 61. ^[11]

Varios matemáticos europeos redescubrieron cómo resolver la ecuación de Pell en el siglo XVII. Pierre de Fermat descubrió cómo resolver la ecuación y en una carta de 1657 la publicó como un desafío a los matemáticos ingleses. ^[12] En una carta a Kenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessy dijo que Fermat encontró la solución más pequeña para N hasta 150 y desafió a John Wallis a resolver los casos N = 151 o 313. Tanto Wallis como William Brouncker dieron soluciones a estos problemas, aunque Wallis sugiere en una carta que la solución se debió a Brouncker. ^[13]

La relación de John Pell con la ecuación es que revisó la traducción de Thomas Branker ^[14] del libro Teutsche Algebra ^{[nota 2]} de Johann Rahn al inglés, con un análisis de la solución de Brouncker de la ecuación. Leonhard Euler pensó erróneamente que esta solución se debía a Pell, por lo que nombró la ecuación en honor a Pell. ^[4]

La teoría general de la ecuación de Pell, basada en fracciones continuas y manipulaciones algebraicas con números de la forma, fue desarrollada por Lagrange entre 1766 y 1769. ^[15] En particular, Lagrange dio una prueba de que el algoritmo de Brouncker-Wallis siempre termina. ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$

Soluciones

Solución fundamental mediante fracciones continuas

Sea la sucesión de convergentes a la fracción continua regular para . Esta sucesión es única. Entonces el par de enteros positivos que resuelven la ecuación de Pell y minimizan x satisface x ₁ = h _i e y 1 ₌ k i _para algún i . Este par se llama solución fundamental . La sucesión de enteros en la fracción continua regular de es siempre eventualmente periódica. Puede escribirse en la forma , donde es la parte periódica que se repite indefinidamente. Además, la tupla es palindrómica . Se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ^[16] La solución fundamental es entonces ${\displaystyle h_{i}/k_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p-1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{p-1},k_{p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ even}}\\(h_{2p-1},k_{2p-1}),&{\text{ for }}p{\text{ odd}}\end{cases}}}$

El tiempo necesario para encontrar la solución fundamental utilizando el método de fracción continua, con la ayuda del algoritmo de Schönhage–Strassen para la multiplicación rápida de números enteros, está dentro de un factor logarítmico del tamaño de la solución, el número de dígitos en el par . Sin embargo, este no es un algoritmo de tiempo polinomial porque el número de dígitos en la solución puede ser tan grande como √ n , mucho más grande que un polinomio en el número de dígitos en el valor de entrada n . ^[17] ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

Soluciones adicionales a la solución fundamental

Una vez encontrada la solución fundamental, todas las soluciones restantes se pueden calcular algebraicamente a partir de ^[17]

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$

expandiendo el lado derecho, igualando los coeficientes de en ambos lados e igualando los otros términos en ambos lados. Esto produce las relaciones de recurrencia ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Representación concisa y algoritmos más rápidos

Aunque escribir la solución fundamental ( x ₁ , y ₁ ) como un par de números binarios puede requerir una gran cantidad de bits, en muchos casos se puede representar de manera más compacta en la forma

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

utilizando números enteros mucho más pequeños a _i , b _i y c _i .

Por ejemplo, el problema del ganado de Arquímedes es equivalente a la ecuación de Pell , cuya solución fundamental es ${\displaystyle x^{2}-410\,286\,423\,278\,424y^{2}=1}$206 545 dígitos si se escribe explícitamente. Sin embargo, la solución también es igual a

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$

dónde

${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}})^{2}}$

y sólo tienen 45 y 41 dígitos decimales respectivamente. [ ^17] ${\displaystyle x'_{1}}$ ${\displaystyle y'_{1}}$

Se pueden utilizar métodos relacionados con el enfoque de la criba cuadrática para la factorización de números enteros para recopilar relaciones entre números primos en el cuerpo numérico generado por √ n y combinar estas relaciones para encontrar una representación de producto de este tipo. El algoritmo resultante para resolver la ecuación de Pell es más eficiente que el método de fracción continua, aunque todavía requiere más tiempo que el polinomial. Bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann , se puede demostrar que lleva tiempo

${\displaystyle \exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),}$

donde N  = log  n es el tamaño de entrada, de manera similar al tamiz cuadrático. ^[17]

Algoritmos cuánticos

Hallgren demostró que una computadora cuántica puede encontrar una representación del producto, como se describió anteriormente, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinomial. ^[18] El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un campo de números cuadráticos reales , fue extendido a campos más generales por Schmidt y Völlmer. ^[19]

Ejemplo

Como ejemplo, considere el caso de la ecuación de Pell para n = 7; es decir,

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

La fracción continua de tiene la forma . Como el período tiene una longitud , que es un número par, la convergente que produce la solución fundamental se obtiene truncando la fracción continua justo antes del final de la primera aparición del período: . ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle [2;{\overline {1,1,1,4}}]}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle [2,1,1,1]={\frac {8}{3}}}$

La secuencia de convergentes para la raíz cuadrada de siete son

Aplicando la fórmula de recurrencia a esta solución se genera la secuencia infinita de soluciones.

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (secuencia A001081 ( x ) y A001080 ( y ) en OEIS )

Para la ecuación de Pell

${\displaystyle x^{2}-13y^{2}=1.}$

La fracción continua tiene un período de longitud impar. Para ello, la solución fundamental se obtiene truncando la fracción continua justo antes de la segunda aparición del período . Por lo tanto, la solución fundamental es . ${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;{\overline {1,1,1,1,6}}]}$ ${\displaystyle [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1]={\frac {649}{180}}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(649,180)}$

La solución más pequeña puede ser muy grande. Por ejemplo, la solución más pequeña para es ( ${\displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$32 188 120 829 134 849 , 1 819 380 158 564 160 ), y esta es la ecuación que Frenicle desafió a Wallis a resolver. ^[20] Los valores de n tales que la solución más pequeña de es mayor que la solución más pequeña para cualquier valor más pequeño de n son ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (secuencia A033316 en la OEIS ).

(Para estos registros, consulte OEIS : A033315 para x y OEIS : A033319 para y ).

Lista de soluciones fundamentales de las ecuaciones de Pell

La siguiente es una lista de la solución fundamental para con n ≤ 128. Cuando n es un cuadrado entero, no hay solución excepto la solución trivial (1, 0). Los valores de x son la secuencia A002350 y los de y son la secuencia A002349 en OEIS . ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Conexiones

La ecuación de Pell tiene conexiones con varios otros temas importantes en matemáticas.

Teoría algebraica de números

La ecuación de Pell está estrechamente relacionada con la teoría de números algebraicos , ya que la fórmula

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$

es la norma para el anillo y para el cuerpo cuadrático estrechamente relacionado . Por lo tanto, un par de números enteros resuelve la ecuación de Pell si y solo si es una unidad con norma 1 en . ^[21] El teorema de la unidad de Dirichlet , que establece que todas las unidades de pueden expresarse como potencias de una única unidad fundamental (y multiplicación por un signo), es una reformulación algebraica del hecho de que todas las soluciones de la ecuación de Pell pueden generarse a partir de la solución fundamental. ^[22] La unidad fundamental se puede encontrar en general resolviendo una ecuación similar a Pell, pero no siempre corresponde directamente a la solución fundamental de la propia ecuación de Pell, porque la unidad fundamental puede tener norma −1 en lugar de 1 y sus coeficientes pueden ser medios enteros en lugar de enteros. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$

Polinomios de Chebyshev

Demeyer menciona una conexión entre la ecuación de Pell y los polinomios de Chebyshev : Si y son los polinomios de Chebyshev del primer y segundo tipo respectivamente, entonces estos polinomios satisfacen una forma de la ecuación de Pell en cualquier anillo polinomial , con : ^[23] ${\displaystyle T_{i}(x)}$ ${\displaystyle U_{i}(x)}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle n=x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$

De esta forma, estos polinomios se pueden generar mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$

Se puede observar además que si son las soluciones de cualquier ecuación de Pell entera, entonces y . ^[24] ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$ ${\displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$

Fracciones continuas

Se puede presentar un desarrollo general de soluciones de la ecuación de Pell en términos de fracciones continuas de , ya que las soluciones x e y son aproximaciones a la raíz cuadrada de n y, por lo tanto, son un caso especial de aproximaciones de fracciones continuas para irracionales cuadráticos . ^[16] ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

La relación con las fracciones continuas implica que las soluciones de la ecuación de Pell forman un subconjunto semigrupo del grupo modular . Así, por ejemplo, si p y q satisfacen la ecuación de Pell, entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$

es una matriz de determinante unitario . Los productos de tales matrices toman exactamente la misma forma y, por lo tanto, todos esos productos dan soluciones a la ecuación de Pell. Esto se puede entender en parte como resultado del hecho de que los convergentes sucesivos de una fracción continua comparten la misma propiedad: si p _{k −1} / q _{k −1} y p _k / q _k son dos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$

tiene determinante (−1) ^k .

Números suaves

El teorema de Størmer aplica las ecuaciones de Pell para encontrar pares de números consecutivos lisos , números enteros positivos cuyos factores primos son todos menores que un valor dado. ^{[25] [26]} Como parte de esta teoría, Størmer también investigó las relaciones de divisibilidad entre soluciones de la ecuación de Pell; en particular, demostró que cada solución distinta de la solución fundamental tiene un factor primo que no divide  a n . ^[25]

La ecuación de Pell negativa

La ecuación de Pell negativa está dada por

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}$

y también ha sido ampliamente estudiada. Puede resolverse por el mismo método de fracciones continuas y tiene soluciones si y solo si el período de la fracción continua tiene una longitud impar. Sin embargo, no se sabe qué raíces tienen longitudes de período impares y, por lo tanto, no se sabe cuándo es solucionable la ecuación de Pell negativa. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la solubilidad es que n no sea divisible por 4 o por un primo de la forma 4 k  + 3. ^{[nota 3]} Así, por ejemplo, x ²  − 3 y ²  = −1 nunca es solucionable, pero x ²  − 5 y ²  = −1 puede serlo. ^[27]

Los primeros números n para los cuales x ²  −  ny ²  = −1 es solucionable son

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (secuencia A031396 en la OEIS ).

Sea . La proporción de n sin cuadrados divisibles por k primos de la forma 4 m  + 1 para los que la ecuación de Pell negativa es resoluble es al menos α . ^[28] Cuando el número de divisores primos no es fijo, la proporción viene dada por 1 -  α. ^{[29] [30]} ${\displaystyle \alpha =\Pi _{j{\text{ is odd}}}(1-2^{j})}$

Si la ecuación de Pell negativa tiene una solución para un n particular , su solución fundamental conduce a la fundamental para el caso positivo elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria:

${\displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}$

implica

${\displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}$

Como se indicó anteriormente, si la ecuación de Pell negativa es solucionable, se puede encontrar una solución utilizando el método de fracciones continuas como en la ecuación de Pell positiva. Sin embargo, la relación de recursión funciona de manera ligeramente diferente. Como , la siguiente solución se determina en términos de siempre que haya una coincidencia, es decir, cuando es impar. La relación de recursión resultante es (módulo a signo menos, que es irrelevante debido a la naturaleza cuadrática de la ecuación) ${\displaystyle (x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1}$ ${\displaystyle i(x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(i(x+{\sqrt {n}}y))^{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1},}$

${\displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1},}$

lo que da una torre infinita de soluciones a la ecuación de Pell negativa.

Ecuación de Pell generalizada

La ecuación

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

se llama ecuación de Pell generalizada ^{[31] [32]} (o general ^[16] ) . La ecuación es el resolvente de Pell correspondiente . ^[16] Lagrange propuso un algoritmo recursivo en 1768 para resolver la ecuación, reduciendo el problema al caso . ^{[33] [34]} Estas soluciones se pueden derivar utilizando el método de fracciones continuas como se describe anteriormente. ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$

Si es una solución de y es una solución de entonces tal que es una solución de , un principio llamado principio multiplicativo . ^[16] La solución se llama múltiplo de Pell de la solución . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N,}$ ${\displaystyle (u_{n},v_{n})}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1,}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}={\big (}x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}}{\big )}{\big (}u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Existe un conjunto finito de soluciones para tal que cada solución es un múltiplo de Pell de una solución de ese conjunto. En particular, si es la solución fundamental de , entonces cada solución de la ecuación es un múltiplo de Pell de una solución con y , donde . ^[35] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/2}$ ${\displaystyle |y|\leq {\sqrt {|N|}}\left({\sqrt {|U|}}+1\right)/{\big (}2{\sqrt {d}}{\big )}}$ ${\displaystyle U=u+v{\sqrt {d}}}$

Si x e y son soluciones enteras positivas de la ecuación de Pell con , entonces es convergente a la fracción continua de . ^[35] ${\displaystyle |N|<{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Las soluciones de la ecuación de Pell generalizada se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diofánticas y unidades de ciertos anillos , ^{[36] [37]} y surgen en el estudio de SIC-POVM en la teoría de la información cuántica . ^[38]

La ecuación

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$

es similar al resolvente en que si se puede encontrar una solución mínima para , entonces todas las soluciones de la ecuación se pueden generar de manera similar al caso . Para ciertos , las soluciones para se pueden generar a partir de aquellas con , en que si entonces cada tercera solución para tiene par, generando una solución para . ^[16] ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle d\equiv 5{\pmod {8}},}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$

Notas

1. Vollständige Anleitung zur Algebra de Euler (págs. 227 y siguientes), presenta una solución a la ecuación de Pell que fue tomada del Commercium epistolicum de John Wallis , específicamente, la Carta 17 ( Epistola XVII ) y la Carta 19 ( Epistola XIX ) de:
   • Wallis, John, ed. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper habitum [ Correspondencia sobre algunas investigaciones matemáticas realizadas recientemente ] (en inglés, latín y francés). Oxford, Inglaterra: A. Lichfield.Las cartas están en latín. La carta 17 aparece en las páginas 56 a 72. La carta 19 aparece en las páginas 81 a 91.
   • Traducciones francesas de las cartas de Wallis: Fermat, Pierre de (1896). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 3. París, Francia: Gauthier-Villars et fils.La carta 17 aparece en las páginas 457 a 480. La carta 19 aparece en las páginas 490 a 503.
   Las cartas de Wallis que muestran una solución a la ecuación de Pell también aparecen en el volumen 2 de Opera mathematica de Wallis (1693), que incluye artículos de John Pell:
   • Wallis, John (1693). Opera mathematica: de Algebra Tractatus; Historicus & Practicus [ Obras matemáticas: Tratado de álgebra; histórica y tal como se practica actualmente ] (en latín, inglés y francés). Vol. 2. Oxford, Inglaterra.La carta 17 se encuentra en las páginas 789-798; la carta 19 en las páginas 802-806. Véase también los artículos de Pell, donde Wallis menciona (páginas 235, 236, 244) que los métodos de Pell son aplicables a la solución de ecuaciones diofánticas:

   • De Álgebra D. Johannis Pellii; & speciatim de Problematis imperfecte determinatis (Sobre álgebra del Dr. John Pell y especialmente sobre un problema determinado de forma incompleta), págs.
   • Muestra de Methodi Pellianae (ejemplo del método de Pell), págs.
   • Specimen aliud Methodi Pellianae (Otro ejemplo del método de Pell), págs.

   Ver también:
   • Whitford, Edward Everett (1912) "La ecuación de Pell", tesis doctoral, Universidad de Columbia (Nueva York, Nueva York, EE.UU.), p. 52.
   • Heath, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio sobre la historia del álgebra griega. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pág. 286.
2. Teutsch es una forma obsoleta de Deutsch , que significa "alemán". Libro electrónico gratuito: Teutsche Algebra en Google Books.
3. Esto se debe a que la ecuación de Pell implica que −1 es un residuo cuadrático módulo n .

Referencias

1. O'Connor, JJ; Robertson, EF (febrero de 2002). "Ecuación de Pell". Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 13 de julio de 2020 .
2. Dunham, William. «Teoría de números – Teoría de números en Oriente». Enciclopedia Británica . Consultado el 4 de enero de 2020 .
3. Ya entre 1732 y 1733 Euler creía que John Pell había desarrollado un método para resolver la ecuación de Pell, aunque Euler sabía que Wallis había desarrollado un método para resolverla (aunque en realidad William Brouncker había hecho la mayor parte del trabajo):
   • Euler, Leonhard (1732-1733). "De solucione problematum Diophantaeorum per numeros integros" [Sobre la solución de problemas diofánticos mediante números enteros]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memorias de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo) (en latín). 6 : 175–188. De la pág. 182: "At si a huiusmodi fuerit numerus, qui nullo modo ad illas formulas potest reduci, peculiaris ad invenienda p et q adhibenda est Methodus, qua olim iam usi sunt Pellius et Fermatius ". (Pero si tal a es un número que no puede reducirse de ninguna manera a estas fórmulas, se aplica el método específico para encontrar p y q que Pell y Fermat han utilizado desde hace algún tiempo.) De la p. 183: "§. 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii , et hanc ob rem eam hic fusius non expono". (§ 19. Este método existe descrito en las obras de Wallis, y por esta razón no lo presento aquí con más detalle.)
   • Letra IX. Euler à Goldbach, fechado el 10 de agosto de 1750 en: Fuss, P. H., ed. (1843). Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle... [ Correspondencia matemática y física de algunos geómetras famosos del siglo XVIII... ] (en francés, latín y alemán). San Petersburgo, Rusia. pag. 37. De la página 37: "Pro hujusmodi quaestionibus solvendis excogitavit D. Pell Anglus peculiarem Methodum in Wallisii operibus expositam". (Para resolver estas cuestiones, el inglés Dr. Pell ideó un método singular [que se muestra] en las obras de Wallis).
   • Euler, Leonhard (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Theil [ Introducción completa al álgebra, parte 2 ] (en alemán). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Academia Imperial de Ciencias): San Petersburgo, Rusia. pag. 227.De la pág. 227: "§98. Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen". (§ 98 A este respecto, un erudito inglés llamado Pell ya había encontrado un método bastante ingenioso, que explicaremos aquí.)
   • Traducción al español: Euler, Leonhard (1810). Elementos de álgebra... vol. 2 (2.ª ed.). Londres, Inglaterra: J. Johnson. pág. 78.
   • Heath, Thomas L. (1910). Diofanto de Alejandría: un estudio sobre la historia del álgebra griega. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pág. 286.Véase especialmente la nota 4.
4. Tattersall, James (2000). Teoría elemental de números en nueve capítulos (PDF) . Cambridge. p. 274. doi :10.1017/CBO9780511756344. ISBN 9780521850148. S2CID  118948378. Archivado desde el original (PDF) el 15 de febrero de 2020.
5. Knorr, Wilbur R. (1976), "Arquímedes y la medida del círculo: una nueva interpretación", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 15 (2): 115–140, doi :10.1007/bf00348496, MR  0497462, S2CID  120954547.
6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Baudhayana", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
7. Vardi, I. (1998). "El problema del ganado de Arquímedes". American Mathematical Monthly . 105 (4). Asociación Matemática de América: 305–319. CiteSeerX 10.1.1.33.4288 . doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706. 
8. Fraser, Peter M. (1972). Alejandría ptolemaica . Oxford University Press.
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10. Izadi, Farzali (2015). "Números congruentes a través de la ecuación de Pell y su contraparte análoga" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 21 : 70–78.
11. John Stillwell (2002), Matemáticas y su historia (2.ª ed.), Springer, págs. 72-76, ISBN 978-0-387-95336-6.
12. En febrero de 1657, Pierre de Fermat escribió dos cartas sobre la ecuación de Pell. Una carta (en francés) estaba dirigida a Bernard Frénicle de Bessy y la otra (en latín) a Kenelm Digby, a quien llegó a través de Thomas White y luego de William Brouncker.
    • Fermat, Pierre de (1894). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 2do vol. París, Francia: Gauthier-Villars et fils. págs. 333–335.La carta a Frénicle aparece en las págs. 333-334; la carta a Digby, en las págs. 334-335.
    La carta en latín a Digby se traduce al francés en:
    • Fermat, Pierre de (1896). Curtiduría, Paul; Enrique, Carlos (eds.). Oeuvres de Fermat (en francés y latín). vol. 3er vol. París, Francia: Gauthier-Villars et fils. págs. 312–313.
    Ambas cartas están traducidas (en parte) al inglés en:
    • Struik, Dirk Jan, ed. (1986). Un libro de consulta en matemáticas, 1200–1800. Princeton, Nueva Jersey, Estados Unidos: Princeton University Press. págs. 29 y 30. ISBN 9781400858002.
13. En enero de 1658, al final de la Epístola XIX (carta 19), Wallis felicitó efusivamente a Brouncker por su victoria en una batalla de ingenio contra Fermat en relación con la solución de la ecuación de Pell. De la pág. 807 de (Wallis, 1693): "Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam peculiaria putaverit, & altis impervia, ( quippe non omnis fert omnia tellus ) ut ab Anglis haud speraverit solucionem;profiteatur tamen qu'il sera pourtant ravi d'estre destrompé par cet ingenieux & scavant Signieur ; cur & ipse tibi gratuletur. Me quod attinet, humillimas est quod rependam gratias, quod in Victoriae tuae partem advocare dignatus es,..." (Y de hecho, Muy Noble Señor [es decir, Vizconde Brouncker], él [es decir, Fermat] podría haber pensado [tener] para sí solo un [tema, es decir, la ecuación de Pell] tan esotérico con su impenetrable profundidades ( pues no todas las tierras soportan todas las cosas [es decir, no todas las naciones pueden sobresalir en todo]), de modo que difícilmente podría haber esperado una solución de los ingleses; sin embargo, confiesa que, sin embargo, estará emocionado de ser desengañado por este ingenioso y erudito Lord [es decir, Brouncker]; será por esa razón que él [es decir, Fermat] mismo lo felicitaría. En cuanto a mí, le retribuyo con humildes agradecimientos el haberse dignado llamarme para participar en su Victoria, ...) Nota: La fecha al final de la carta de Wallis es "20 de enero de 1657"; sin embargo, esa fecha era según el antiguo calendario juliano que Gran Bretaña finalmente descartó en 1752 : la mayor parte del resto de Europa habría considerado esa fecha como el 31 de enero de 1658. Ver fechas de estilo antiguo y nuevo estilo#Transposición de fechas de eventos históricos y posibles conflictos de fechas .
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Lectura adicional

• Edwards, Harold M. (1996) [1977]. El último teorema de Fermat: una introducción genética a la teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 50. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90230-9.Sr. 0616635  .
• Pinch, RGE (1988). "Ecuaciones de Pellian simultáneas". Math. Proc. Cambridge Philos. Soc . 103 (1): 35–46. Bibcode :1988MPCPS.103...35P. doi :10.1017/S0305004100064598. S2CID  123098216.
• Whitford, Edward Everett (1912). La ecuación de Pell (tesis doctoral) . Universidad de Columbia.
• Williams, HC (2002). "Resolución de la ecuación de Pell". En Bennett, MA; Berndt, BC ; Boston, N. ; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Encuestas sobre teoría de números: artículos de la conferencia del milenio sobre teoría de números . Natick, MA: AK Peters . págs. 325–363. ISBN 1-56881-162-4.Zbl 1043.11027  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Pell". MathWorld .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "La ecuación de Pell", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Solucionador de ecuaciones de Pell ( n no tiene límite superior)
• Solucionador de ecuaciones de Pell ( n < 10 ¹⁰ , también puede devolver la solución a x ²  −  ny ² = ±1, ±2, ±3 y ±4)