En teoría de números , el teorema de Størmer , que lleva el nombre de Carl Størmer , da un límite finito al número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un grado dado de suavidad, y proporciona un método para encontrar todos esos pares usando ecuaciones de Pell . Del teorema de Thue-Siegel-Roth se deduce que sólo hay un número finito de pares de este tipo, pero Størmer dio un procedimiento para encontrarlos todos. [1]
Si se elige un conjunto finito de números primos , entonces los P -números suaves se definen como el conjunto de números enteros
que puede generarse mediante productos de números en P . Entonces, el teorema de Størmer establece que, para cada elección de P , sólo hay un número finito de pares de P -números lisos consecutivos. Además, proporciona un método para encontrarlos todos utilizando las ecuaciones de Pell.
El procedimiento original de Størmer implica resolver un conjunto de aproximadamente 3 k ecuaciones de Pell , encontrando cada una solo la solución más pequeña. A continuación se describe una versión simplificada del procedimiento, debida a DH Lehmer , [2] ; resuelve menos ecuaciones pero encuentra más soluciones en cada ecuación.
Sea P el conjunto dado de números primos y defina un número como P - suave si todos sus factores primos pertenecen a P. Supongamos p 1 = 2; de lo contrario no podría haber números P -suaves consecutivos, porque todos los números P -suaves serían impares. El método de Lehmer consiste en resolver la ecuación de Pell.
para cada P -número q libre de cuadrados lisos distinto de 2. Cada uno de esos números q se genera como producto de un subconjunto de P , por lo que hay 2 k − 1 ecuaciones de Pell para resolver. Para cada una de estas ecuaciones, sean x i , y i las soluciones generadas, para i en el rango de 1 a max(3, ( p k + 1)/2) (inclusive), donde p k es el mayor de los números primos. En p .
Entonces, como muestra Lehmer, todos los pares consecutivos de P -números suaves son de la forma ( x i − 1)/2, ( x i + 1)/2. Por lo tanto, se pueden encontrar todos esos pares probando la suavidad P de los números de esta forma .
Para encontrar los diez pares consecutivos de números suaves {2,3,5} (en teoría musical , dando las proporciones superparticulares solo para la afinación ), sea P = {2,3,5}. Hay siete P -números lisos libres de cuadrados q (omitiendo el octavo P -número liso libre de cuadrados, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, cada uno de los cuales conduce a una ecuación de Pell. El número de soluciones por ecuación de Pell requeridas por el método de Lehmer es max(3, (5 + 1)/2) = 3, por lo que este método genera tres soluciones para cada ecuación de Pell, de la siguiente manera.
El resultado original de Størmer se puede utilizar para demostrar que el número de pares consecutivos de números enteros que son suaves con respecto a un conjunto de k primos es como máximo 3 k − 2 k . El resultado de Lehmer produce una cota más estricta para conjuntos de números primos pequeños: (2 k − 1) × max(3,( p k +1)/2). [2]
El número de pares consecutivos de números enteros que son suaves con respecto a los primeros k primos es
El número entero más grande de todos estos pares, para cada k , es
OEIS también enumera el número de pares de este tipo donde el mayor de los dos enteros del par es cuadrado (secuencia A117582 en OEIS ) o triangular (secuencia A117583 en OEIS ), ya que ambos tipos de pares surgen con frecuencia.
Louis Mordell escribió sobre este resultado y dijo que "es muy bonito y tiene muchas aplicaciones". [3]
Chein (1976) utilizó el método de Størmer para demostrar la conjetura de Catalan sobre la inexistencia de potencias perfectas consecutivas (distintas de 8,9) en el caso de que una de las dos potencias sea un cuadrado .
Mabkhout (1993) demostró que todo número x 4 + 1, para x > 3, tiene un factor primo mayor o igual a 137. El teorema de Størmer es una parte importante de su demostración, en la que reduce el problema a la solución de 128 Ecuaciones de Pell.
Varios autores han ampliado el trabajo de Størmer proporcionando métodos para enumerar las soluciones de ecuaciones diofánticas más generales , o proporcionando criterios de divisibilidad más generales para las soluciones de las ecuaciones de Pell. [4]
Conrey, Holmstrom y McLaughlin (2013) describen un procedimiento computacional que, empíricamente, encuentra muchos, pero no todos, los pares consecutivos de números suaves descritos por el teorema de Størmer, y es mucho más rápido que usar la ecuación de Pell para encontrar todas las soluciones.
En la práctica musical de la entonación justa , los intervalos musicales pueden describirse como relaciones entre números enteros positivos. Más específicamente, pueden describirse como relaciones entre miembros de la serie armónica . Cualquier tono musical se puede dividir en su frecuencia fundamental y frecuencias armónicas, que son múltiplos enteros de la fundamental. Se conjetura que esta serie es la base de la armonía y la melodía naturales. Se dice que la complejidad tonal de las proporciones entre estos armónicos se vuelve más compleja con factores primos más altos. Para limitar esta complejidad tonal, se dice que un intervalo es n -límite cuando tanto su numerador como su denominador son n -suaves . [5] Además, las relaciones superparticulares son muy importantes en la teoría de la sintonización justa, ya que representan relaciones entre miembros adyacentes de la serie armónica. [6]
El teorema de Størmer permite encontrar todas las relaciones superparticulares posibles en un límite dado. Por ejemplo, en el límite 3 ( afinación pitagórica ), las únicas proporciones superparticulares posibles son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta justa ), 4/3 (la cuarta justa ) y 9/8 ( todo el paso ). Es decir, los únicos pares de números enteros consecutivos que solo tienen potencias de dos y tres en sus factorizaciones primas son (1,2), (2,3), (3,4) y (8,9). Si esto se extiende al límite de 5, hay seis proporciones superparticulares adicionales disponibles: 5/4 (la tercera mayor ), 6/5 (la tercera menor ), 10/9 (el tono menor ), 16/15 (la tercera menor ). segundo ), 25/24 (el semitono menor ) y 81/80 (la coma sintónica ). Todos son musicalmente significativos.
