Teorema del punto fijo de Lefschetz

Cuenta los puntos fijos de un mapeo continuo desde un espacio topológico compacto hacia sí mismo.

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lefschetz es una fórmula que cuenta los puntos fijos de un mapeo continuo desde un espacio topológico compacto hacia sí mismo mediante rastros de los mapeos inducidos en los grupos de homología de . Lleva el nombre de Solomon Lefschetz , quien lo mencionó por primera vez en 1926. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El conteo está sujeto a una multiplicidad imputada en un punto fijo llamado índice de punto fijo . Una versión débil del teorema es suficiente para demostrar que una aplicación sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas bastante especiales (como la rotación de un círculo).

Declaración formal

Para un enunciado formal del teorema, sea

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

ser un mapa continuo desde un espacio compacto triangular hacia sí mismo. Defina el número de Lefschetz de por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (f_{*}|H_{k}(X,\mathbb {Q} )),}$

la suma alterna (finita) de las trazas matriciales de los mapas lineales inducida por on , los grupos de homología singulares de con coeficientes racionales . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle X}$

Una versión simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece: si

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

entonces tiene al menos un punto fijo, es decir, existe al menos uno tal que . De hecho, dado que el número de Lefschetz se ha definido a nivel de homología, la conclusión se puede ampliar para decir que cualquier mapa homotópico de también tiene un punto fijo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle f}$

Sin embargo, tenga en cuenta que lo contrario no es cierto en general: puede ser cero incluso si tiene puntos fijos, como es el caso del mapa de identidad en esferas de dimensiones impares. ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f}$

Bosquejo de una prueba

Primero, aplicando el teorema de aproximación simplicial , se muestra que si no tiene puntos fijos, entonces (posiblemente después de subdividir ) es homotópico a un mapa simplicial sin puntos fijos (es decir, envía cada simplex a un simplex diferente). Esto significa que los valores diagonales de las matrices de los mapas lineales inducidos en el complejo de cadenas simplicial de deben ser todos cero. Luego se observa que, en general, el número de Lefschetz también se puede calcular usando la suma alterna de las trazas matriciales de los mapas lineales antes mencionados (esto es cierto casi exactamente por la misma razón por la que la característica de Euler tiene una definición en términos de grupos de homología ; ver más abajo la relación con la característica de Euler). En el caso particular de un mapa simplicial sin puntos fijos, todos los valores de la diagonal son cero y, por tanto, todas las trazas son cero. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Lefschetz-Hopf

Una forma más fuerte del teorema, también conocida como teorema de Lefschetz-Hopf , establece que, si solo tiene un número finito de puntos fijos, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

donde es el conjunto de puntos fijos de y denota el índice del punto fijo . ^[1] De este teorema se deduce el teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales. ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$ ${\displaystyle x}$

Relación con la característica de Euler

El número de Lefschetz del mapa de identidad en un complejo CW finito se puede calcular fácilmente al darse cuenta de que cada uno puede considerarse como una matriz de identidad y, por lo tanto, cada término de traza es simplemente la dimensión del grupo de homología apropiado. Así, el número de Lefschetz del mapa de identidad es igual a la suma alterna de los números de Betti del espacio, que a su vez es igual a la característica de Euler . Así tenemos ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle \chi (X)}$

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

Relación con el teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Lefschetz generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer , que establece que cada aplicación continua desde el disco unitario cerrado de dimensiones debe tener al menos un punto fijo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Esto se puede ver de la siguiente manera: es compacto y triangular, todos sus grupos de homología excepto son cero, y todo mapa continuo induce el mapa de identidad , cuya traza es una; todo esto en conjunto implica que es distinto de cero para cualquier mapa continuo . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda _{f}}$ ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$

Contexto histórico

Lefschetz presentó su teorema del punto fijo en (Lefschetz 1926). La atención de Lefschetz no estaba en los puntos fijos de los mapas, sino más bien en lo que ahora se llaman puntos de coincidencia de los mapas.

Dados dos mapas y de una variedad orientable a una variedad orientable de la misma dimensión, el número de coincidencia de Lefschetz de y se define como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

donde es como arriba, es el homomorfismo inducido por en los grupos de cohomología con coeficientes racionales, y y son los isomorfismos de dualidad de Poincaré para y , respectivamente. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle D_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Lefschetz demostró que si el número de coincidencia es distinto de cero, entonces y tiene un punto de coincidencia. Señaló en su artículo que dejar y dejar ser el mapa de identidad da un resultado más simple, que ahora conocemos como teorema del punto fijo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle g}$

Frobenius

Sea una variedad definida sobre el cuerpo finito con elementos y sea el cambio de base de a la clausura algebraica de . El endomorfismo de Frobenius de (a menudo el Frobenius geométrico , o simplemente el Frobenius ), denotado por , asigna un punto con coordenadas al punto con coordenadas . Así los puntos fijos de son exactamente los puntos de con coordenadas en ; el conjunto de dichos puntos se denota por . La fórmula de seguimiento de Lefschetz es válida en este contexto y dice: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica la traza de Frobenius sobre la cohomología étale, con soportes compactos, de con valores en el campo de los números -ádicos, donde es un primo coprimo a . ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle q}$

Si es suave y equidimensional , esta fórmula se puede reescribir en términos de la aritmética de Frobenius , que actúa como la inversa de la cohomología: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{q}}$ ${\displaystyle F_{q}}$

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

Esta fórmula implica cohomología habitual, en lugar de cohomología con soportes compactos.

La fórmula de traza de Lefschetz también se puede generalizar a pilas algebraicas sobre campos finitos.

Ver también

• Teoremas del punto fijo
• Función zeta de Lefschetz
• Fórmula holomorfa de punto fijo de Lefschetz

Notas

1. Dold, Albrecht (1980). Conferencias sobre topología algebraica . vol. 200 (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10369-1. SEÑOR  0606196., Proposición VII.6.6.

Referencias

• Lefschetz, Salomón (1926). "Intersecciones y transformaciones de complejos y variedades". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 28 (1): 1–49. doi : 10.2307/1989171 . JSTOR  1989171. SEÑOR  1501331.
• Lefschetz, Salomón (1937). "Sobre la fórmula del punto fijo". Anales de Matemáticas . 38 (4): 819–822. doi :10.2307/1968838. JSTOR  1968838. SEÑOR  1503373.

enlaces externos

• "Fórmula de Lefschetz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]