Función zeta de Lefschetz

En matemáticas , la función zeta de Lefschetz es una herramienta utilizada en teoría periódica topológica y de punto fijo , y en sistemas dinámicos . Dado un mapa continuo , la función zeta se define como la serie formal ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {t^{n}}{n}}\right),}$

donde es el número de Lefschetz del iterador -ésimo de . Esta función zeta es importante en la teoría de puntos periódicos topológicos porque es un invariante único que contiene información sobre todos los iteradores de . ${\displaystyle L(f^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

El mapa de identidad tiene la función zeta de Lefschetz ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},}$

donde es la característica de Euler de , es decir, el número de Lefschetz del mapa identidad. ${\displaystyle \chi (X)}$ ${\displaystyle X}$

Para dar un ejemplo menos trivial, sea el círculo unitario , y sea la reflexión en el eje x , es decir, . Entonces tiene número de Lefschetz 2, mientras que es la función identidad, que tiene número de Lefschetz 0. Asimismo, todas las iteraciones impares tienen número de Lefschetz 2, mientras que todas las iteraciones pares tienen número de Lefschetz 0. Por lo tanto, la función zeta de es ${\displaystyle X=S^{1}}$ ${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{2}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

Fórmula

Si f es una función continua en una variedad compacta X de dimensión n (o más generalmente cualquier poliedro compacto), la función zeta está dada por la fórmula

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.}$

Por lo tanto, se trata de una función racional. Los polinomios que aparecen en el numerador y en el denominador son esencialmente los polinomios característicos de la función inducida por f en los distintos espacios de homología.

Conexiones

Esta función generadora es esencialmente una forma algebraica de la función zeta de Artin-Mazur , que proporciona información geométrica sobre los puntos fijos y periódicos de f .

Véase también

• Teorema del punto fijo de Lefschetz
• Función zeta de Artin-Mazur
• Función zeta de Ruelle

Referencias

• Fel'shtyn, Alexander (2000), "Funciones zeta dinámicas, teoría de Nielsen y torsión de Reidemeister", Memorias de la American Mathematical Society , 147 (699), arXiv : chao-dyn/9603017 , MR  1697460