Triangulación (topología)

Un toro triangulado

Otra triangulación del toro

Una forma de delfín triangulado

En matemáticas, la triangulación describe la sustitución de espacios topológicos por espacios lineales por partes , es decir, la elección de un homeomorfismo en un complejo simplicial adecuado . Los espacios que son homeomorfos a un complejo simplicial se denominan triangulables. La triangulación tiene diversos usos en diferentes ramas de las matemáticas, por ejemplo, en topología algebraica, en análisis complejo o en modelado.

Motivación

Por un lado, a veces es útil olvidarse de la información superflua de los espacios topológicos: la sustitución de los espacios originales por complejos simples puede ayudar a reconocer propiedades cruciales y a obtener una mejor comprensión del objeto considerado.

Por otra parte, los complejos simpliciales son objetos de carácter combinatorio y por tanto se les pueden asignar cantidades que surgen de su patrón combinatorio, por ejemplo, la característica de Euler . La triangulación permite ahora asignar tales cantidades a espacios topológicos.

Las investigaciones sobre la existencia y unicidad de las triangulaciones establecieron una nueva rama de la topología, denominada topología lineal por partes (PL-topology). Su objetivo principal son las propiedades topológicas de los complejos simpliciales y su generalización, los complejos celulares .

Complejos simpliciales

Complejos simpliciales abstractos

Un complejo simplicial abstracto sobre un conjunto es un sistema de subconjuntos no vacíos tales que: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(V)}$

• ${\displaystyle \{v_{0}\}\in {\mathcal {T}}}$para cada uno ; ${\displaystyle v_{0}\in V}$
• si y . ${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \emptyset \neq F\subset E}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {T}}}$

Los elementos de se llaman símplices, los elementos de se llaman vértices. Un símplice con vértices tiene dimensión por definición. La dimensión de un complejo simplicial abstracto se define como . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{dim}}({\mathcal {T}})={\text{sup}}\;\{{\text{dim}}(F):F\in {\mathcal {T}}\}\in \mathbb {N} \cup \infty }$

Los complejos simples abstractos también pueden considerarse objetos geométricos. Esto requiere el término de símplex geométrico.

Simples geométricos en dimensión 1, 2 y 3

Simples geométricos

Sean puntos afínmente independientes en , es decir, los vectores son linealmente independientes . Se dice que el conjunto es el símplex generado por . Tiene dimensión por definición. Los puntos se denominan vértices de , los símplex generados por de los vértices se denominan caras y el límite se define como la unión de sus caras. ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (p_{1}-p_{0}),(p_{2}-p_{0}),\dots (p_{n}-p_{0})}$ ${\textstyle \Delta ={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\Big |}\;x=\sum _{i=0}^{n}t_{i}p_{i}\;with\;0\leq t_{i}\leq 1\;and\;\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{0},...p_{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \partial \Delta }$

El simplex estándar -dimensional es el simplex abarcado por los vectores unitarios ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{0},...e_{n}}$

Complejos simpliciales geométricos

Un complejo simplicial geométrico es una colección de símplices geométricos tales que ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• Si es un símplex en , entonces todas sus caras están en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• Si son dos símplices distintos en , sus interiores son disjuntos. ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

La unión de todos los símplices en da el conjunto de puntos de , denotado Este conjunto está dotado de una topología al elegir los conjuntos cerrados como cerrados para todos . Nótese que, en general, esta topología no es la misma que la topología del subespacio que hereda de . Las topologías coinciden en el caso de que cada punto en el complejo se encuentre solo en un número finito de símplices. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle |{\mathcal {S}}|=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle \{A\subseteq |{\mathcal {S}}|\;\mid \;A\cap \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \in {\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cada complejo geométrico puede asociarse a un complejo abstracto eligiendo como conjunto base el conjunto de vértices que aparecen en cualquier símplex de y como sistema de subconjuntos cuyos subconjuntos corresponden a conjuntos de vértices de símplex en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Una pregunta natural es si, a la inversa, cualquier complejo simplicial abstracto corresponde a un complejo geométrico. En general, la construcción geométrica mencionada aquí no es lo suficientemente flexible: considérese, por ejemplo, un complejo simplicial abstracto de dimensión infinita. Sin embargo, la siguiente construcción más abstracta proporciona un espacio topológico para cualquier tipo de complejo simplicial abstracto:

Sea un complejo simplicial abstracto sobre un conjunto . Elija una unión de símplices , pero cada uno en de dimensión suficientemente grande, de modo que el símplice geométrico sea de dimensión si el símplice geométrico abstracto tiene dimensión . Si , puede identificarse con una cara de y el espacio topológico resultante es el pegado. Al efectuar el pegado para cada inclusión, se termina con el espacio topológico deseado. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\Delta _{F})_{F\in {\mathcal {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \Delta _{F}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\subset F}$ ${\displaystyle \Delta _{E}\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \Delta _{F}\subset \mathbb {R} ^{M}}$ ${\displaystyle \Delta _{E}\cup _{i}\Delta _{F}}$

Un complejo simplicial geométrico bidimensional con vértice V, enlace(V) y estrella(V) están resaltados en rojo y rosa.

Al igual que en la construcción anterior, por la topología inducida por el pegado, los conjuntos cerrados en este espacio son los subconjuntos que están cerrados en la topología del subespacio de cada símplex en el complejo. ${\displaystyle \Delta _{F}}$

El complejo simplicial que consta de todos los símplices de dimensión se llama -ésimo esqueleto de . ${\displaystyle {\mathcal {T_{n}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Se considera que un vecindario natural de un vértice en un complejo simplicial está dado por la estrella de un símplex, cuyo límite es el enlace . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {star} (v)=\{L\in {\mathcal {S}}\;\mid \;v\in L\}}$ ${\displaystyle \operatorname {link} (v)}$

Mapas simpliales

Las aplicaciones consideradas en esta categoría son aplicaciones simpliciales: Sean , complejos simpliciales abstractos sobre conjuntos , . Una aplicación simplicial es una función que aplica cada símplex en a un símplex en . Por extensión afín-lineal sobre los símplices, induce una aplicación entre las realizaciones geométricas de los complejos. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Sea y sea . El complejo geométrico asociado es una estrella con centro . ${\displaystyle W=\{a,b,c,d,e,f\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\Big \{}\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},\{f\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{a,f\}{\Big \}}}$ ${\displaystyle \{a\}}$
• Sea y sea . Su realización geométrica es un tetraedro . ${\displaystyle V=\{A,B,C,D\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {P}}(V)}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$
• Sea como se indica arriba y sea . El complejo simplicial geométrico es el límite de un tetraedro . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'=\;{\mathcal {P}}({\mathcal {V}})\setminus \{A,B,C,D\}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S'}}|=\partial |{\mathcal {S}}|}$

Definición

Una triangulación de un espacio topológico es un homeomorfismo donde es un complejo simplicial. Los espacios topológicos no necesariamente admiten una triangulación y, si la admiten, no es necesariamente única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Ejemplos

• Los complejos simpliciales se pueden triangular por identidad.
• Sea como en los ejemplos vistos anteriormente. La bola unitaria cerrada es homeomorfa a un tetraedro, por lo que admite una triangulación, es decir, el homeomorfismo . Restringiendo a se obtiene un homeomorfismo . ${\displaystyle {\mathcal {S}},{\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow \mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |{\mathcal {S}}'|}$ ${\displaystyle t':|{\mathcal {S}}'|\rightarrow \mathbb {S} ^{2}}$

La esfera bidimensional y una triangulación

• El toro admite una triangulación. Para comprobarlo, considere el toro como un cuadrado en el que las caras paralelas están pegadas. Este cuadrado se puede triangular como se muestra a continuación: ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

  

  Un toro bidimensional, representado como el pegado de un cuadrado a través del mapa g, identificando sus sitios opuestos.

• El plano proyectivo admite una triangulación (ver complejos CW) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$
• Se puede demostrar que las variedades diferenciables admiten triangulaciones. ^[3]

Invariantes

Las triangulaciones de espacios permiten asignar a los espacios invariantes combinatorios que surgen de sus complejos simpliciales dedicados. Se trata de características que son iguales para complejos que son isomorfos a través de una función simplicial y, por lo tanto, tienen el mismo patrón combinatorio.

Estos datos pueden ser útiles para clasificar espacios topológicos hasta el homeomorfismo, pero sólo si las características también son invariantes topológicas, es decir, no dependen de la triangulación elegida. Para los datos que se enumeran aquí, este es el caso. ^[4] Para obtener más detalles y el enlace a homología singular , consulte invariancia topológica.

Homología

Mediante la triangulación, se puede asignar un complejo de cadenas a espacios topológicos que surgen de su complejo simplicial y calcular su homología simplicial . Los espacios compactos siempre admiten triangulaciones finitas y, por lo tanto, sus grupos de homología se generan de manera finita y solo un número finito de ellos no se anulan. Otros datos como los números de Betti o la característica de Euler se pueden derivar de la homología.

Números de Betti y características de Euler

Sea un complejo simplicial finito. El -ésimo número de Betti se define como el rango del -ésimo grupo de homología simplicial de los espacios. Estos números codifican propiedades geométricas de los espacios: El número de Betti, por ejemplo, representa el número de componentes conectados . Para superficies orientables cerradas y trianguladas , se cumple donde denota el género de la superficie: Por lo tanto, su primer número de Betti representa el número duplicado de controladores de la superficie. ^[5] ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{n}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{0}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{1}(F)=2g}$ ${\displaystyle g}$

Con los comentarios anteriores, para espacios compactos todos los números de Betti son finitos y casi todos son cero. Por lo tanto, se puede formar su suma alternada.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}({\mathcal {S}})}$

lo que se llama la característica de Euler del complejo, un invariante topológico pegadizo.

Invariancia topológica

Para utilizar estos invariantes para la clasificación de espacios topológicos hasta el homeomorfismo se necesita invariancia de las características respecto al homeomorfismo.

Un enfoque famoso de la cuestión fue el intento de principios del siglo XX de demostrar que dos triangulaciones cualesquiera del mismo espacio topológico admiten una subdivisión común . Esta suposición se conoce como Hauptvermutung ( en alemán: Suposición principal). Sea un complejo simplicial. Se dice que un complejo es una subdivisión de si y solo si: ${\displaystyle |{\mathcal {L}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {L'}}|\subset \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Cada simplex de está contenido en un simplex de y ${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Cada símplex de es una unión finita de símplex en . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L'}}}$

Estas condiciones garantizan que las subdivisiones no cambien el complejo simplicial como conjunto o como espacio topológico. Se dice que una función entre complejos simpliciales es lineal por partes si hay un refinamiento de tal que es lineal por partes en cada símplex de . Se dice que dos complejos que corresponden a otro mediante biyección lineal por partes son isomorfos combinatorios. En particular, dos complejos que tienen un refinamiento común son combinatoriamente equivalentes. Los grupos de homología son invariantes a la equivalencia combinatoria y, por lo tanto, la Hauptvermutung daría la invariancia topológica de los grupos de homología simplicial. En 1918, Alexander introdujo el concepto de homología singular. A partir de entonces, la mayoría de los invariantes que surgen de la triangulación fueron reemplazados por invariantes que surgen de la homología singular. Para esos nuevos invariantes, se puede demostrar que eran invariantes con respecto al homeomorfismo e incluso con respecto a la equivalencia de homotopía . ^[6] Además, se demostró que los grupos de homología singular y simplicial coinciden. ^[6] Esta solución alternativa ha demostrado la invariancia de los datos al homeomorfismo. La topología lineal por partes perdió importancia, pero fue la base de una nueva rama de la topología: la topología lineal por partes (abreviada como PL). ^[7] ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Control de acceso principal

La Hauptvermutung ( conjetura principal en alemán ) establece que dos triangulaciones siempre admiten una subdivisión común. Originalmente, su propósito era probar la invariancia de invariantes combinatorios con respecto a los homeomorfismos. La suposición de que tales subdivisiones existen en general es intuitiva, ya que las subdivisiones son fáciles de construir para espacios simples, por ejemplo para variedades de baja dimensión. De hecho, la suposición fue probada para variedades de dimensión y para variedades diferenciables, pero fue refutada en general: ^[8] Una herramienta importante para mostrar que las triangulaciones no admiten una subdivisión común, es decir, sus complejos subyacentes no son combinatoriamente isomorfos, es el invariante combinatorio de la torsión de Reidemeister. ${\displaystyle \leq 3}$

Torsión de Reidemeister

Para refutar la Hauptvermutung es útil utilizar invariantes combinatorios que no sean invariantes topológicos. Un ejemplo famoso es la torsión de Reidemeister. Puede asignarse a una tupla de complejos CW: Si esta característica será un invariante topológico, pero si en general no. Un enfoque para la Hauptvermutung fue encontrar espacios homeomorfos con diferentes valores de la torsión de Reidemeister. Este invariante se utilizó inicialmente para clasificar los espacios de lentes y los primeros contraejemplos de la Hauptvermutung se construyeron basándose en espacios de lentes: ^[8] ${\displaystyle (K,L)}$ ${\displaystyle L=\emptyset }$ ${\displaystyle L\neq \emptyset }$

Clasificación de los espacios-lentes

En su formulación original, los espacios de lentes son 3-variedades, construidas como espacios cocientes de la 3-esfera: Sean números naturales, tales que sean coprimos. El espacio de lentes se define como el espacio de órbitas de la acción de grupo libre. ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle L(p,q)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times S^{3}\to S^{3}}$

${\displaystyle (k,(z_{1},z_{2}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ik/p},z_{2}\cdot e^{2\pi ikq/p})}$.

Para diferentes tuplas , los espacios de lentes serán homotópicamente equivalentes pero no homeomorfos. Por lo tanto, no se pueden distinguir con la ayuda de invariantes clásicos como el grupo fundamental, sino mediante el uso de la torsión de Reidemeister. ${\displaystyle (p,q)}$

Dos espacios de lentes son homeomorfos, si y solo si . ^[9] Este es el caso si y solo si dos espacios de lentes son equivalentes por homotopía simple . El hecho puede usarse para construir contraejemplos para la Hauptvermutung de la siguiente manera. Supóngase que hay espacios derivados de espacios de lentes no homeomorfos que tienen diferentes torsiones de Reidemeister. Supóngase además que la modificación en no afecta a la torsión de Reidemeister pero tal que después de la modificación y son homeomorfos. Los espacios resultantes refutarán la Hauptvermutung. ${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$ ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$ ${\displaystyle L(p,q_{1}),L(p,q_{2})}$ ${\displaystyle L'_{1},L'_{2}}$ ${\displaystyle L'_{1}}$ ${\displaystyle L'_{2}}$

Existencia de triangulación

Además de la cuestión de las triangulaciones concretas para cuestiones computacionales, hay afirmaciones sobre espacios que son más fáciles de demostrar dado que son complejos simpliciales. Especialmente las variedades son de interés. Las variedades topológicas de dimensión son siempre triangulables ^{[10] [11] [1]} pero hay variedades no triangulables para dimensión , para arbitrarias pero mayores que tres. ^{[12] [13]} Además, las variedades diferenciables siempre admiten triangulaciones. ^[3] ${\displaystyle \leq 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Estructuras lineales por partes

Las variedades son una clase importante de espacios. Es natural exigir que no sólo sean triangulables sino que además admitan un atlas lineal por partes, una estructura PL:

Sea un complejo simplicial tal que cada punto admite un entorno abierto tal que existe una triangulación de y un homeomorfismo lineal por partes . Entonces se dice que es una variedad lineal por partes (PL) de dimensión y la triangulación junto con el atlas PL se dice que es una estructura PL en . ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |X|}$

Un lema importante es el siguiente:

Sea un espacio topológico. Es equivalente ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es una variedad -dimensional y admite una estructura PL. ${\displaystyle n}$
2. Existe una triangulación tal que el vínculo de cada vértice es una esfera. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-1}$
3. Para cada triangulación del enlace de cada vértice hay una esfera. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n-1}$

La equivalencia de la segunda y la tercera afirmación se debe a que el vínculo de un vértice es independiente de la triangulación elegida hasta el isomorfismo combinatorio. ^[14] Se puede demostrar que las variedades diferenciables admiten una estructura PL, así como variedades de dimensión . ^[15] Los contraejemplos de la conjetura de triangulación son, por supuesto, contraejemplos de la conjetura de la existencia de una estructura PL. ${\displaystyle \leq 3}$

Además, hay ejemplos de espacios triangulados que no admiten una estructura PL. Consideremos una esfera de homología PL -dimensional . La doble suspensión es una -esfera topológica . Si se elige una triangulación obtenida mediante la operación de suspensión sobre triangulaciones, el complejo simplicial resultante no es una variedad PL, porque hay un vértice tal que no es una esfera. ^[16] ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{2}X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow S^{2}X}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle link(v)}$ ${\displaystyle n-1}$

Una pregunta que surge con la definición es si las estructuras PL son siempre únicas: dadas dos estructuras PL para el mismo espacio , ¿existe un homeomorfismo que sea lineal por partes con respecto a ambas estructuras PL? La suposición es similar a la Hauptvermutung y, de hecho, hay espacios que tienen diferentes estructuras PL que no son equivalentes. La triangulación de espacios equivalentes a PL se puede transformar entre sí mediante movimientos de Pachner: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:Y\rightarrow Y}$

Movimientos de Pachner

Un movimiento de Pachner reemplaza dos tetraedros por tres tetraedros

Los movimientos de Pachner son una forma de manipular triangulaciones: Sea un complejo simplicial. Para dos simplices, la unión ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K,L}$

${\displaystyle K*L={\Big \{}tk+(1-t)l\;|\;k\in K,l\in L\;t\in [0,1]{\Big \}}}$son los puntos que se encuentran en rectas entre los puntos en y en . Elija de modo que para cualquier punto que no se encuentre en . Se puede obtener un nuevo complejo , reemplazando por . Este reemplazo se llama movimiento de Pachner. El teorema de Pachner establece que siempre que dos variedades trianguladas sean PL-equivalentes, hay una serie de movimientos de Pachner que transforman a ambas en otra. ^[17] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle lk(S)=\partial K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle S*\partial K}$ ${\displaystyle \partial S*K}$

Complejos celulares

El plano proyectivo real como complejo simplicial y como complejo CW. Como complejo CW se puede obtener pegando primero y para obtener la 1-esfera y luego uniendo el disco por la función . ${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow \mathbb {S} ^{1},e^{ix}\mapsto e^{2ix}}$

Una construcción similar pero más flexible que los complejos simpliciales es la de los complejos celulares (o complejos CW). Su construcción es la siguiente:

Una celda es la bola unitaria de dimensión cerrada , una celda abierta es su interior . Sea un espacio topológico, sea una función continua. Se dice que el pegado se obtiene pegando sobre una celda. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}=[0,1]^{n}\setminus \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n-1}\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\cup _{f}B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Un complejo celular es una unión de espacios topológicos tales que ${\displaystyle X=\cup _{n\geq 0}X_{n}}$

• ${\displaystyle X_{0}}$es un conjunto discreto
• Cada uno se obtiene pegando una familia de células. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$

Cada complejo simplicial es un complejo CW, la inversa no es cierta. La construcción de complejos CW se puede utilizar para definir la homología celular y se puede demostrar que la homología celular y la homología simplicial coinciden. ^[18] Por cuestiones computacionales, a veces es más fácil suponer que los espacios son complejos CW y determinar su homología mediante la descomposición celular, un ejemplo es el plano proyectivo : su construcción como un complejo CW necesita tres celdas, mientras que su complejo simplicial consta de 54 símplices. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Otras aplicaciones

Clasificación de variedades

Triangulando variedades unidimensionales, se puede demostrar que siempre son homeomorfas a copias disjuntas de la línea real y la esfera unitaria . Además, las superficies, es decir, las 2-variedades, se pueden clasificar completamente: Sea una superficie compacta. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle S}$

• Si es orientable, es homeomorfo a una 2-esfera con toros de dimensión adjuntos, para algún . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
• Si no es orientable, es homeomorfo a una botella de Klein con toros de dimensión adjuntos, para algunos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Para demostrar este teorema se construye un polígono fundamental de la superficie: Esto se puede hacer utilizando la estructura simple obtenida por la triangulación. ^[19]

Mapas sobre complejos simpliciales

Dar a los espacios la estructura de una estructura simplicial puede ayudar a comprender los mapas definidos en los espacios. A menudo se puede suponer que los mapas son mapas simpliciales mediante el teorema de aproximación simplicial:

Aproximación simple

Sean , complejos simpliciales abstractos sobre conjuntos , . Una función simplicial es una función que aplica cada símplex en a un símplex en . Por extensión afín-lineal sobre los símplices, induce una función entre las realizaciones geométricas de los complejos. Cada punto en un complejo geométrico se encuentra en el interior de exactamente un símplex, su soporte. Consideremos ahora una función continua . Se dice que una función simplicial es una aproximación simplicial de si y solo si cada uno es aplicado por sobre el soporte de en . Si existe tal aproximación, se puede construir una homotopía que transforme en definiéndola sobre cada símplex; allí siempre existe, porque los símplices son contráctiles. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

El teorema de aproximación simplicial garantiza para cada función continua la existencia de una aproximación simplicial al menos después del refinamiento de , por ejemplo reemplazando por su subdivisión baricéntrica iterada. ^[2] El teorema juega un papel importante para ciertas afirmaciones en topología algebraica con el fin de reducir el comportamiento de los mapas continuos en aquellos de los mapas simpliciales, por ejemplo en el teorema de punto fijo de Lefschetz. ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Teorema del punto fijo de Lefschetz

El número de Lefschetz es una herramienta útil para averiguar si una función continua admite puntos fijos. Este dato se calcula de la siguiente manera: Supongamos que y son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas. Una función continua induce homomorfismos entre sus grupos de homología simpliciales con coeficientes en un cuerpo . Se trata de funciones lineales entre espacios vectoriales , por lo que se puede determinar su traza y su suma alternada. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

se llama número de Lefschetz de . Si , este número es la característica de Euler de . El teorema del punto fijo establece que siempre que , tiene un punto fijo. En la prueba, esto se muestra primero solo para funciones simpliciales y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación. El teorema del punto fijo de Brouwer trata el caso donde es un endomorfismo de la bola unitaria. Para todos sus grupos de homología se anula, y es siempre la identidad, por lo que , por lo que tiene un punto fijo. ^[20] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=id}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz permite determinar el género de una superficie de Riemann compacta y conexa sin utilizar triangulación explícita. La prueba necesita la existencia de triangulaciones para superficies en sentido abstracto: Sea una función holomorfa no constante sobre una superficie con género conocido. La relación entre el género de las superficies y es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 2g(X)-2=deg(F)(2g(Y)-2)\sum _{x\in X}(ord(F)-1)}$

donde denota el grado de la función. La suma está bien definida, ya que solo cuenta los puntos ramificados de la función. ${\displaystyle deg(F)}$

El fundamento de esta fórmula es que las funciones holomorfas en superficies de Riemann son recubrimientos ramificados. La fórmula se puede encontrar examinando la imagen de la estructura simple cerca de los puntos de ramificación. ^[21]

Citas

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Véase también

• Triangulación (geometría)
• Malla triangular

Literatura

• Allen Hatcher: Topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge/Nueva York/Melbourne 2006, ISBN 0-521-79160-X
• James R. Munkres: Banda 1984. Addison Wesley, Menlo Park, California 1984, ISBN 0-201-04586-9
• Marshall M. Cohen: Un curso sobre teoría de homotopía simple . En: Textos de posgrado en matemáticas . 1973, ISSN 0072-5285, doi :10.1007/978-1-4684-9372-6.