Línea de rumbo

Arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo.

Imagen de un loxódromo, o línea de rumbo, en espiral hacia el Polo Norte.

En navegación , una línea de rumbo , rumbo ( / r ʌ m / ), o loxódromo es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo , es decir, una trayectoria con rumbo constante medido con respecto al norte verdadero .

Introducción

El efecto de seguir una línea de rumbo en la superficie de un globo fue discutido por primera vez por el matemático portugués Pedro Nunes en 1537, en su Tratado en defensa de la carta marítima , con un mayor desarrollo matemático por parte de Thomas Harriot en la década de 1590.

Una línea de rumbo se puede contrastar con un círculo máximo , que es el camino de menor distancia entre dos puntos en la superficie de una esfera. En un círculo máximo, el rumbo hacia el punto de destino no permanece constante. Si uno condujera un automóvil a lo largo de un círculo máximo, mantendría fijo el volante, pero para seguir una línea de rumbo habría que girar el volante, girándolo más bruscamente a medida que se acercara a los polos. En otras palabras, un círculo máximo es localmente "recto" con curvatura geodésica cero , mientras que una línea de rumbo tiene una curvatura geodésica distinta de cero.

Los meridianos de longitud y los paralelos de latitud constituyen casos especiales de la línea de rumbo, donde sus ángulos de intersección son respectivamente 0° y 90°. En un pasaje de norte a sur, el rumbo de la línea lomboidal coincide con un círculo máximo, como ocurre en un pasaje de este a oeste a lo largo del ecuador .

En un mapa de proyección de Mercator , cualquier línea de rumbo es una línea recta; Se puede trazar una línea de rumbo en dicho mapa entre dos puntos cualesquiera de la Tierra sin salirse del borde del mapa. Pero, en teoría, un loxódromo puede extenderse más allá del borde derecho del mapa, donde luego continúa en el borde izquierdo con la misma pendiente (suponiendo que el mapa cubra exactamente 360 ​​grados de longitud).

Las líneas de rumbo que cortan los meridianos en ángulos oblicuos son curvas loxodrómicas que giran en espiral hacia los polos. ^[1] En una proyección de Mercator, los polos norte y sur se encuentran en el infinito y, por lo tanto, nunca se muestran. Sin embargo, el loxódromo completo en un mapa infinitamente alto consistiría en una cantidad infinita de segmentos de línea entre los dos bordes. En un mapa de proyección estereográfica , un loxódromo es una espiral equiangular cuyo centro es el polo norte o sur.

Todos los loxódromos giran en espiral de un polo al otro. Cerca de los polos, están cerca de ser espirales logarítmicas (lo que son exactamente en una proyección estereográfica , ver más abajo), por lo que giran alrededor de cada polo un número infinito de veces pero llegan al polo en una distancia finita. La longitud de polo a polo de un loxódromo (suponiendo una esfera perfecta ) es la longitud del meridiano dividida por el coseno del rumbo alejado del norte verdadero. Los loxódromos no están definidos en los polos.

• Tres vistas de un loxódromo de polo a polo

Etimología y descripción histórica.

La palabra loxódromo proviene del griego antiguo λοξός loxós : "oblicuo" + δρόμος drómos : "correr" (de δραμεῖν drameîn : "correr"). La palabra rumbo puede provenir del español o portugués rumbo/rumo ("curso" o "dirección") y del griego ῥόμβος rhómbos , ^[2] de rhémbein .

La edición de 1878 de The Globe Encyclopaedia of Universal Information describe una línea de loxódromo como: ^[3]

La línea loxodrómica es una curva que corta en el mismo ángulo a todos los miembros de un sistema de líneas de curvatura de una superficie determinada. Un barco que navega hacia el mismo punto de la brújula describe una línea que corta todos los meridianos en el mismo ángulo. En la Proyección de Mercator (qv), las líneas loxodrómicas son evidentemente rectas. ^[3]

Podría surgir un malentendido porque el término "rumbo" no tenía un significado preciso cuando empezó a utilizarse. Se aplicaba igual de bien a las líneas de la rosa de los vientos que a los loxódromos porque el término sólo se aplicaba "localmente" y sólo significaba todo lo que hacía un marinero para navegar con rumbo constante , con toda la imprecisión que eso implica. Por lo tanto, el "rumbo" era aplicable a las líneas rectas de los portulanos cuando los portulanos estaban en uso, y siempre era aplicable a las líneas rectas en las cartas de Mercator. Para distancias cortas, los "rumbos" portulanos no difieren significativamente de los rumbos de Mercator, pero hoy en día "rumbo" es sinónimo del "loxódromo" matemáticamente preciso porque se ha convertido en sinónimo retrospectivamente.

Como afirma Leo Bagrow: ^[4] "la palabra ('Línea de rumbo') se aplica erróneamente a las cartas náuticas de este período, ya que un loxódromo da un rumbo preciso sólo cuando la carta se dibuja en una proyección adecuada. La investigación cartográfica ha revelado que no se utilizó ninguna proyección en los primeros mapas, por lo que conservamos el nombre 'portolan'."

Descripción matemática

Para una esfera de radio 1, el ángulo azimutal λ , el ángulo polar −π/2≤ φ ≤π/2(definido aquí para corresponder a la latitud), y los vectores unitarios cartesianos i , j y k se pueden usar para escribir el vector de radio r como

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

Los vectores unitarios ortogonales en las direcciones azimutal y polar de la esfera se pueden escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}$

que tienen los productos escalares

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

λ̂ para φ constantetraza un paralelo de latitud, mientras que φ̂ para λ constante traza un meridiano de longitud, y juntos generan un plano tangente a la esfera.

El vector unitario

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

tiene un ángulo constante β con el vector unitario φ̂ para cualquier λ y φ , ya que su producto escalar es

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

Un loxódromo se define como una curva sobre la esfera que tiene un ángulo constante β con todos los meridianos de longitud, y por tanto debe ser paralela al vector unitario β̂ . Como resultado, una longitud diferencial ds a lo largo del loxódromo producirá un desplazamiento diferencial

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}}$

donde y son la función gudermanniana y su inversa, y es el seno hiperbólico inverso . ${\displaystyle \operatorname {gd} }$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

Con esta relación entre λ y φ , el radio vector se convierte en una función paramétrica de una variable, trazando el loxódromo en la esfera:

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,}$

dónde

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$

es la latitud isométrica . ^[5]

En la línea de rumbo, cuando la latitud tiende a los polos, φ → ±π/2, sin φ → ±1 , la latitud isométrica arsinh(tan φ ) → ± ∞ , y la longitud λ aumenta sin límite, rodeando la esfera muy rápido en espiral hacia el polo, mientras tiende a una longitud de arco total finita Δ s dada por

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

Conexión a la proyección Mercator

Una línea de rumbo (azul) comparada con un arco de círculo máximo (rojo) entre Lisboa, Portugal y La Habana, Cuba. Arriba: proyección ortográfica. Abajo: proyección de Mercator.

Sea λ la longitud de un punto de la esfera y φ su latitud. Entonces, si definimos las coordenadas cartográficas de la proyección de Mercator como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}}$

un loxódromo con rumbo constante β desde el norte verdadero será una línea recta, ya que (usando la expresión del apartado anterior)

${\displaystyle y=mx}$

con pendiente

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

Encontrar los loxódromos entre dos puntos dados se puede hacer gráficamente en un mapa de Mercator, o resolviendo un sistema no lineal de dos ecuaciones con las dos incógnitas m = cot β y λ ₀ . Hay infinitas soluciones; el más corto es el que cubre la diferencia de longitud real, es decir, no da revoluciones adicionales y no va "en sentido contrario".

La distancia entre dos puntos Δ s , medida a lo largo de un loxódromo, es simplemente el valor absoluto de la secante del rumbo (azimut) multiplicada por la distancia norte-sur (excepto en los círculos de latitud para los cuales la distancia se vuelve infinita):

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

donde R es uno de los radios promedio de la Tierra .

Solicitud

Su uso en la navegación está directamente ligado al estilo o proyección de determinados mapas de navegación. Una línea de rumbo aparece como una línea recta en un mapa de proyección de Mercator . ^[1]

El nombre se deriva del francés antiguo o del español respectivamente: "rumb" o "rumbo", una línea en la carta que cruza todos los meridianos en el mismo ángulo. ^[1] En una superficie plana, esta sería la distancia más corta entre dos puntos. Sobre la superficie de la Tierra, en latitudes bajas o en distancias cortas, se puede utilizar para trazar el rumbo de un vehículo, avión o barco. ^[1] En distancias más largas y/o en latitudes más altas, la ruta del círculo máximo es significativamente más corta que la línea de rumbo entre los mismos dos puntos. Sin embargo, el inconveniente de tener que cambiar continuamente de rumbo mientras se recorre una ruta en círculo máximo hace que la navegación con línea de rumbo sea atractiva en ciertos casos. ^[1]

El punto se puede ilustrar con un paso de este a oeste a lo largo de 90 grados de longitud a lo largo del ecuador , para el cual las distancias del círculo máximo y de la línea de rumbo son las mismas, a 10.000 kilómetros (5.400 millas náuticas). A 20 grados al norte, la distancia del círculo máximo es de 9.254 km (4.997 millas náuticas), mientras que la distancia de la línea lombriz es de 9.397 km (5.074 millas náuticas), aproximadamente un 1,5% más. Pero a 60 grados al norte, la distancia del gran círculo es de 4.602 km (2.485 nmi), mientras que la línea lambda es de 5.000 km (2.700 nmi), una diferencia del 8,5%. Un caso más extremo es la ruta aérea entre la ciudad de Nueva York y Hong Kong , para la cual la línea de rumbo es de 18.000 km (9.700 millas náuticas). La ruta del gran círculo sobre el Polo Norte es de 13.000 km (7.000 millas náuticas), o 5+1 ⁄ 2 horas menos de vuelo a una velocidad de crucero típica .

Algunos mapas antiguos en la proyección de Mercator tienen cuadrículas compuestas de líneas de latitud y longitud , pero también muestran líneas de rumbo que están orientadas directamente hacia el norte, en un ángulo recto desde el norte, o en algún ángulo desde el norte, que es una simple fracción racional de un ángulo recto. Estas líneas de rumbo se dibujarían de manera que convergieran en ciertos puntos del mapa: las líneas que van en todas direcciones convergerían en cada uno de estos puntos. Véase rosa de los vientos . Dichos mapas necesariamente habrían estado en la proyección de Mercator, por lo que no todos los mapas antiguos habrían sido capaces de mostrar marcas de líneas de rumbo.

Las líneas radiales de una rosa de los vientos también se llaman rumbos . La expresión "navegar en rumbo" se utilizó en los siglos XVI al XIX para indicar un rumbo particular de la brújula. ^[1]

Los primeros navegantes de la época anterior a la invención del cronómetro marino usaban líneas de rumbo en largos pasajes oceánicos, porque la latitud del barco podía establecerse con precisión mediante avistamientos del Sol o las estrellas, pero no había una forma precisa de determinar la longitud. El barco navegaría hacia el norte o el sur hasta alcanzar la latitud del destino, y luego navegaría hacia el este o hacia el oeste a lo largo de la línea de rumbo (en realidad un paralelo , que es un caso especial de la línea de rumbo), manteniendo una latitud y registrando estimaciones periódicas de la distancia navegada hasta que se avistó evidencia de tierra. ^[6]

Generalizaciones

En la esfera de Riemann

La superficie de la Tierra puede entenderse matemáticamente como una esfera de Riemann , es decir, como una proyección de la esfera al plano complejo . En este caso, los loxódromos pueden entenderse como ciertas clases de transformaciones de Möbius .

Esferoide

La formulación anterior se puede extender fácilmente a un esferoide . ^{[7] [8] [9] [10] [11]} El curso de la línea de rumbo se encuentra simplemente utilizando la latitud isométrica elipsoidal . En las fórmulas anteriores en esta página, sustituya la latitud conforme en el elipsoide por la latitud en la esfera. De manera similar, las distancias se encuentran multiplicando la longitud del arco del meridiano elipsoidal por la secante del acimut.

Ver también

• Gran circulo
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Gran elipse
• isoazimutal
• Red de línea de rumbo
• La espiral de Seiffert
• pequeño círculo

Referencias

1. Línea de rumbo de Oxford University Press. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Obtenido de Encyclopedia.com el 18 de julio de 2009.
2. Rumbo en TheFreeDictionary
3. Ross, JM (editor) (1878). La enciclopedia mundial de información universal , vol. IV, Edimburgo-Escocia, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, obtenido de Google Books el 18 de marzo de 2009;
4. Leo Bagrow (2010). Historia de la Cartografía. Editores de transacciones. pag. 65.ISBN​ 978-1-4128-2518-4.
5. James Alexander, Loxodromes: un camino sencillo a seguir, "Revista de Matemáticas", vol. 77. No. 5, diciembre de 2004. [1]
6. Una breve historia del poder marítimo británico, David Howarth, pub. Constable & Robinson, Londres, 2003, capítulo 8.
7. Inteligente, WM (1946). "Sobre un problema de navegación". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 106 (2): 124-127. Código bibliográfico : 1946MNRAS.106..124S. doi : 10.1093/mnras/106.2.124 .
8. Williams, JED (1950). "Distancias loxodrómicas en el esferoide terrestre". Revista de Navegación . 3 (2): 133–140. doi :10.1017/S0373463300045549. S2CID  128651304.
9. Carlton-Wippern, KC (1992). "Sobre la navegación loxodrómica". Revista de Navegación . 45 (2): 292–297. doi :10.1017/S0373463300010791. S2CID  140735736.
10. Bennett, GG (1996). "Cálculos prácticos de la línea de rumbo en el esferoide". Revista de Navegación . 49 (1): 112-119. Código Bib : 1996JNav...49..112B. doi :10.1017/S0373463300013151. S2CID  128764133.
11. Botnev, VA; Ustinov, SM (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Métodos para la resolución de problemas geodésicos directos e inversos con alta precisión] (PDF) . Revista de la Universidad Politécnica Estatal de San Petersburgo (en ruso). 3 (198): 49–58.

Nota: este artículo incorpora texto de la edición de 1878 de The Globe Encyclopaedia of Universal Information , una obra de dominio público.

Otras lecturas

• Monmonier, Mark (2004). Líneas de rumbo y guerras de mapas. Una historia social de la proyección de Mercator . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 9780226534329.

enlaces externos

• Encabezados constantes y líneas de rumbo en MathPages.
• RhumbSolve(1), una utilidad para cálculos de líneas de rumbo elipsoidales (un componente de GeographicLib); documentación complementaria.
• Una versión en línea de RhumbSolve.
• Algoritmos de navegación Archivado el 16 de octubre de 2018 en el documento Wayback Machine : The Sailings.
• Chart Work - Algoritmos de navegación Software gratuito Chart Work: Línea de rumbo, Gran Círculo, Navegación compuesta, Partes meridionales. Líneas de posición Pilotaje - corrientes y fijación costera.
• Loxódromo de Mathworld.