gravedad conforme

Teorías de la gravedad que son invariantes bajo transformaciones de Weyl.

La gravedad conforme se refiere a teorías de la gravedad que son invariantes bajo transformaciones conformes en el sentido de la geometría de Riemann ; más precisamente, son invariantes bajo transformaciones de Weyl, donde es el tensor métrico y es una función en el espacio-tiempo . ${\displaystyle g_{ab}\rightarrow \Omega ^{2}(x)g_{ab}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \Omega (x)}$

Teorías del cuadrado de Weyl

La teoría más simple en esta categoría tiene el cuadrado del tensor de Weyl como el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g\;}}\,C_{abcd}\,C^{abcd}~,}$

¿Dónde está el tensor de Weyl? Esto debe contrastarse con la acción habitual de Einstein-Hilbert, donde el lagrangiano es simplemente el escalar de Ricci . La ecuación de movimiento al variar la métrica se llama tensor de Bach . ${\displaystyle \;C_{abcd}\;}$

${\displaystyle 2\,\partial _{a}\,\partial _{d}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~~+~~R_{ad}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~=~0~,}$

¿Dónde está el tensor de Ricci ? Las métricas conformemente planas son soluciones de esta ecuación. ${\displaystyle \;R_{ab}\;}$

Dado que estas teorías conducen a ecuaciones de cuarto orden para las fluctuaciones alrededor de un fondo fijo, no son manifiestamente unitarias. Por lo tanto, se ha creído en general que no se podían cuantificar de manera consistente. Esto ahora está en disputa. ^[1]

Teorías de las cuatro derivadas

La gravedad conforme es un ejemplo de teoría de 4 derivadas . Esto significa que cada término de la ecuación de onda puede contener hasta cuatro derivadas. Existen ventajas y desventajas de las teorías de 4 derivadas. Las ventajas son que la versión cuantificada de la teoría es más convergente y renormalizable . Las desventajas son que puede haber problemas de causalidad . Un ejemplo más simple de una ecuación de onda de 4 derivadas es la ecuación de onda escalar de 4 derivadas:

${\displaystyle \operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

La solución para esto en un campo de fuerza central es:

${\displaystyle \Phi (r)=1-{\frac {2m}{r}}+ar+br^{2}}$

Los dos primeros términos son iguales a los de una ecuación de onda normal. Debido a que esta ecuación es una aproximación más simple a la gravedad conforme, m corresponde a la masa de la fuente central. Los dos últimos términos son exclusivos de las ecuaciones de onda de 4 derivadas. Se ha sugerido que se les asignen valores pequeños para tener en cuenta la constante de aceleración galáctica (también conocida como materia oscura ) y la constante de energía oscura . ^[2] La solución equivalente a la solución de Schwarzschild en relatividad general para una fuente esférica para gravedad conforme tiene una métrica con:

${\displaystyle \varphi (r)=g^{00}=(1-6bc)^{\frac {1}{2}}-{\frac {2b}{r}}+cr+{\frac {d}{3}}r^{2}}$

para mostrar la diferencia entre la relatividad general. 6bc es muy pequeño y por eso puede ignorarse. El problema es que ahora c es la masa-energía total de la fuente, y b es la integral de la densidad, multiplicada por la distancia a la fuente, al cuadrado. Así que éste es un potencial completamente diferente de la relatividad general y no sólo una pequeña modificación.

El principal problema con las teorías de la gravedad conforme, así como con cualquier teoría con derivadas superiores, es la presencia típica de fantasmas , que apuntan a inestabilidades de la versión cuántica de la teoría, aunque podría haber una solución al problema de los fantasmas. ^[3]

Un enfoque alternativo es considerar la constante gravitacional como un campo escalar roto de simetría , en cuyo caso se consideraría una pequeña corrección a la gravedad newtoniana como esta (donde consideramos una pequeña corrección): ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \operatorname {\Box } \Phi +\varepsilon ^{2}\operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

en cuyo caso la solución general es la misma que el caso newtoniano excepto que puede haber un término adicional:

${\displaystyle \Phi =1-{\frac {2m}{r}}\left(1+\alpha \sin \left({\frac {r}{\varepsilon }}+\beta \right)\right)}$

donde hay un componente adicional que varía sinusoidalmente en el espacio. La longitud de onda de esta variación podría ser bastante grande, como por ejemplo un ancho atómico. Por tanto, en este modelo parece haber varios potenciales estables alrededor de una fuerza gravitacional.

Unificación conforme al Modelo Estándar

Al agregar un término gravitacional adecuado a la acción del Modelo Estándar en el espacio-tiempo curvo , la teoría desarrolla una invariancia conforme local (Weyl). El calibre conforme se fija eligiendo una escala de masa de referencia basada en la constante gravitacional. Este enfoque genera masas para los bosones vectoriales y campos de materia similares al mecanismo de Higgs sin la tradicional ruptura espontánea de la simetría. ^[4]

Ver también

• supergravedad conformal
• Teoría de la gravedad de Hoyle-Narlikar

Referencias

1. Mannheim, Philip D. (16 de julio de 2007). "La gravedad conforme desafía la teoría de cuerdas". En Rajantie, Arttu; Dauncey, Paul; Contaldi, Carlo; Estoica, Horacio (eds.). Partículas, cuerdas y cosmología . XIII Simposio Internacional sobre Partículas, Cuerdas y Cosmología, ·PA·S·COS· 2007. Vol. 13. 0707. Colegio Imperial de Londres. pag. 2283. arXiv : 0707.2283 . Código Bib : 2007arXiv0707.2283M.
2. Mannheim, Philip D. (2006). "Alternativas a la materia oscura y la energía oscura". Prog. Parte. Núcleo. Física . 56 (2): 340–445. arXiv : astro-ph/0505266 . Código Bib : 2006PrPNP..56..340M. doi :10.1016/j.ppnp.2005.08.001. S2CID  14024934.
3. Mannheim, Philip D. (2007). "Solución al problema de los fantasmas en teorías derivadas de cuarto orden". Encontró. Física . 37 (4–5): 532–571. arXiv : hep-th/0608154 . Código bibliográfico : 2007FoPh...37..532M. doi :10.1007/s10701-007-9119-7. S2CID  44031727.
4. Pawlowski, M.; Raczka, R. (1994), "Un modelo conforme unificado para interacciones fundamentales sin campo dinámico de Higgs", Fundamentos de la física , 24 (9): 1305–1327, arXiv : hep-th/9407137 , Bibcode : 1994FoPh...24.1305 P, doi :10.1007/BF02148570, S2CID  17358627

Otras lecturas

• ES Fradkin y AA Tseytlin (1985). "Supergravedad conformal". Física. Representante . 119 (4–5): 233–362. Código bibliográfico : 1985PhR...119..233F. doi :10.1016/0370-1573(85)90138-3.
• Falsificación de la gravedad conforme de Mannheim en el CERN
• La refutación de Mannheim de lo anterior en arXiv.