transformación de weyl

Véase también Transformada de Wigner-Weyl , para obtener otra definición de la transformada de Weyl.

En física teórica , la transformación de Weyl , que lleva el nombre de Hermann Weyl , es un cambio de escala local del tensor métrico :

${\displaystyle g_{ab}\rightarrow e^{-2\omega (x)}g_{ab}}$

lo que produce otra métrica en la misma clase conforme . Una teoría o expresión invariante bajo esta transformación se llama conformemente invariante , o se dice que posee invariancia de Weyl o simetría de Weyl . La simetría de Weyl es una simetría importante en la teoría de campos conforme . Se trata, por ejemplo, de una simetría de la acción de Polyakov . Cuando los efectos de la mecánica cuántica rompen la invariancia conforme de una teoría, se dice que exhibe una anomalía conforme o anomalía de Weyl .

La conexión ordinaria de Levi-Civita y las conexiones de espín asociadas no son invariantes bajo las transformaciones de Weyl. Las conexiones de Weyl son una clase de conexiones afines que son invariantes, aunque ninguna conexión de Weyl es invariante individual bajo las transformaciones de Weyl.

peso conforme

Una cantidad tiene peso conforme si, bajo la transformación de Weyl, se transforma mediante ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{k\omega }.}$

Así, las cantidades ponderadas conformemente pertenecen a ciertos paquetes de densidad ; ver también dimensión conforme . Sea el enlace uniforme asociado al enlace Levi-Civita de . Introducir una conexión que dependa también de una forma única inicial a través de ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\omega }$

${\displaystyle B_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\omega .}$

Entonces es covariante y tiene peso conforme . ${\displaystyle D_{\mu }\varphi \equiv \partial _{\mu }\varphi +kB_{\mu }\varphi }$ ${\displaystyle k-1}$

Fórmulas

Para la transformación

${\displaystyle g_{ab}=f(\phi (x)){\bar {g}}_{ab}}$

Podemos derivar las siguientes fórmulas.

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{ab}&={\frac {1}{f(\phi (x))}}{\bar {g}}^{ab}\\{\sqrt {-g}}&={\sqrt {-{\bar {g}}}}f^{D/2}\\\Gamma _{ab}^{c}&={\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+{\frac {f'}{2f}}\left(\delta _{b}^{c}\partial _{a}\phi +\delta _{a}^{c}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \right)\equiv {\bar {\Gamma }}_{ab}^{c}+\gamma _{ab}^{c}\\R_{ab}&={\bar {R}}_{ab}+{\frac {f''f-f^{\prime 2}}{2f^{2}}}\left((2-D)\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi \right)+{\frac {f'}{2f}}\left((2-D){\bar {\nabla }}_{a}\partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\bar {g}}_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)\\R&={\frac {1}{f}}{\bar {R}}+{\frac {1-D}{f}}\left({\frac {f''f-f^{\prime 2}}{f^{2}}}\partial ^{c}\phi \partial _{c}\phi +{\frac {f'}{f}}{\bar {\Box }}\phi \right)+{\frac {1}{4f}}{\frac {f^{\prime 2}}{f^{2}}}(D-2)(1-D)\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el tensor de Weyl es invariante bajo un cambio de escala de Weyl.

Referencias

• Weyl, Hermann (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [ Espacio, Tiempo, Materia ]. Conferencias sobre relatividad general (en alemán). Berlín: Springer. ISBN 3-540-56978-2.