Conexión Levi-Civita

Conexión afín en el haz tangente de una variedad.

En la geometría riemanniana o pseudoriemanniana (en particular, la geometría lorentziana de la relatividad general ), la conexión Levi-Civita es la única conexión afín en el haz tangente de una variedad (es decir, conexión afín ) que preserva la métrica ( pseudo ) riemanniana y está libre de torsión .

El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que existe una conexión única que satisface estas propiedades.

En la teoría de las variedades riemannianas y pseudoriemannianas, el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión Levi-Civita. Los componentes (coeficientes de estructura) de esta conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel .

Historia

La conexión Levi-Civita lleva el nombre de Tullio Levi-Civita , aunque originalmente "descubierta" por Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, ^[1] junto con Gregorio Ricci-Curbastro , utilizaron los símbolos de Christoffel ^[2] para definir la noción de transporte paralelo y explorar la relación del transporte paralelo con la curvatura , desarrollando así la noción moderna de holonomía . ^[3]

En 1869, Christoffel descubrió que las componentes de la derivada intrínseca de un campo vectorial, al cambiar el sistema de coordenadas, se transforman en las componentes de un vector contravariante. Este descubrimiento fue el verdadero comienzo del análisis tensorial.

En 1906, LEJ Brouwer fue el primer matemático en considerar el transporte paralelo de un vector para el caso de un espacio de curvatura constante . ^{[4] [5]}

En 1917, Levi-Civita señaló su importancia para el caso de una hipersuperficie inmersa en un espacio euclidiano , es decir, para el caso de una variedad de Riemann incrustada en un espacio ambiental "más grande". ^[1] Interpretó la derivada intrínseca en el caso de una superficie incrustada como el componente tangencial de la derivada habitual en el espacio afín ambiental. Las nociones de Levi-Civita de derivada intrínseca y desplazamiento paralelo de un vector a lo largo de una curva tienen sentido en una variedad riemanniana abstracta, aunque la motivación original se basaba en una incrustación específica. ${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

En 1918, independientemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtuvo resultados análogos. ^[6] En el mismo año, Hermann Weyl generalizó los resultados de Levi-Civita. ^{[7] [8]}

Notación

• ( M , g ) denota una variedad riemanniana o pseudoriemanniana .
• TM es el paquete tangente de M .
• g es la métrica riemanniana o pseudoriemanniana de M .
• X , Y , Z son campos vectoriales suaves en M , es decir, secciones suaves de TM .
• [ X , Y ] es el corchete de Lie de X e Y. De nuevo es un campo vectorial suave.

La métrica g puede tomar hasta dos vectores o campos vectoriales X , Y como argumentos. En el primer caso , la salida es un número, el (pseudo) producto interno de X e Y. En el último caso, el producto interno de X _p , Y _p se toma en todos los puntos p de la variedad de modo que g ( X , Y ) defina una función suave en M . Los campos vectoriales actúan (por definición) como operadores diferenciales en funciones suaves. En coordenadas locales , la acción dice ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Definicion formal

Una conexión afín se llama conexión Levi-Civita si ${\displaystyle \nabla }$

1. conserva la métrica , es decir ,. ${\displaystyle \nabla g=0}$
2. está libre de torsión , es decir, para cualquier campo vectorial y tenemos , ¿dónde está el corchete de Lie de los campos vectoriales y ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La condición 1 anterior a veces se denomina compatibilidad con la métrica , y la condición 2 a veces se denomina simetría, cf. Haz el texto de Carmo. ^[9]

Teorema fundamental de la geometría (pseudo) riemanniana

Teorema Cada variedad pseudo Riemanniana tiene una conexión única de Levi Civita . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$

prueba : si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única. Para ver esto, desentrañe la definición de la acción de una conexión sobre tensores para encontrar

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Por lo tanto podemos escribir la condición 1 como

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Por la simetría del tensor métrico encontramos entonces: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Por la condición 2, el lado derecho es, por lo tanto, igual a

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),}$

y encontramos la fórmula de Koszul

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}.}$

Por lo tanto, si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única, porque es arbitraria, no degenerada y el lado derecho no depende de . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla }$

Para probar la existencia, tenga en cuenta que para un campo vectorial dado y , el lado derecho de la expresión de Koszul es una función lineal en el campo vectorial , no solo lineal real. Por lo tanto, por la no degeneración de , el lado derecho define de forma única algún nuevo campo vectorial que denotamos sugerentemente como en el lado izquierdo. Al sustituir la fórmula de Koszul, ahora se verifica que para todos los campos vectoriales y todas las funciones ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Por lo tanto, la expresión Koszul define, de hecho, una conexión, y esta conexión es compatible con la métrica y está libre de torsión, es decir, es una (de ahí la) conexión Levi-Civita.

Tenga en cuenta que con pequeñas variaciones la misma prueba muestra que existe una conexión única que es compatible con la métrica y tiene torsión prescrita.

Símbolos de Christoffel

Sea una conexión afín en el paquete tangente. Elija coordenadas locales con campos vectoriales de base de coordenadas y escriba para . Los símbolos de Christoffel con respecto a estas coordenadas se definen como ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Los símbolos de Christoffel, por el contrario, definen la conexión en la vecindad de coordenadas porque ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

eso es,

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Una conexión afín es compatible con una métrica iff ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

es decir, si y sólo si

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Una conexión afín ∇ está libre de torsión si y solo

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

es decir, si y sólo si

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

es simétrico en sus dos índices inferiores.

Como se verifica tomando campos vectoriales de coordenadas (o calculando directamente), la expresión de Koszul de la conexión Levi-Civita derivada anteriormente es equivalente a una definición de los símbolos de Christoffel en términos de la métrica como ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

donde como es habitual están los coeficientes del tensor métrico dual, es decir, las entradas de la inversa de la matriz . ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{kl}}$

Derivada a lo largo de la curva

La conexión Levi-Civita (como cualquier conexión afín) también define una derivada a lo largo de curvas , a veces denotada por D.

Dada una curva suave γ en ( M , g ) y un campo vectorial V a lo largo de γ su derivada está definida por

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Formalmente, D es la conexión de retroceso γ *∇ en el paquete de retroceso γ * TM .

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la propia curva γ . Si desaparece, la curva se llama geodésica de la derivada covariante. Formalmente, la condición se puede reformular como la desaparición de la conexión de retroceso aplicada a : ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una determinada métrica, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente aquellas geodésicas de la métrica que están parametrizadas proporcionalmente a su longitud de arco.

Transporte paralelo

En general, el transporte paralelo a lo largo de una curva con respecto a una conexión define isomorfismos entre los espacios tangentes en los puntos de la curva. Si la conexión es una conexión de Levi-Civita, entonces estos isomorfismos son ortogonales , es decir, conservan los productos internos en los distintos espacios tangentes.

Las imágenes siguientes muestran el transporte paralelo de la conexión Levi-Civita asociado a dos métricas riemannianas diferentes en el plano, expresadas en coordenadas polares . La métrica de la imagen de la izquierda corresponde a la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha tiene forma estándar en coordenadas polares (cuando ), y por lo tanto conserva el vector tangente al círculo. Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, como se puede comprobar expresándola en coordenadas cartesianas: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial \theta }}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Transportes paralelos en las conexiones Levi-Civita

Ejemplo: la esfera unitaria en R 3

Sea ⟨, ⟩ el producto escalar habitual en R ³ . Sea S ² la esfera unitaria en R ³ . El espacio tangente a S ² en un punto m se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de R ³ que consta de todos los vectores ortogonales a m . De ello se deduce que un campo vectorial Y en S ² puede verse como un mapa Y  : S ² → R ³ , que satisface ${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Denotemos como d _m Y el diferencial del mapa Y en el punto m . Entonces nosotros tenemos:

Lema  -  La fórmula

$${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$$

define una conexión afín en S ² con torsión evanescente.

Prueba

Es sencillo demostrar que ∇ satisface la identidad de Leibniz y es C ^∞ ( S ² ) lineal en la primera variable. También es un cálculo sencillo demostrar que esta conexión está libre de torsión. Así que todo lo que hay que demostrar aquí es que la fórmula anterior produce un campo vectorial tangente a S ² . Es decir, necesitamos demostrar que para todo m en S ²

$${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$$

Considere el mapa f que envía cada m en S ² a ⟨ Y ( m ), m ⟩ , que siempre es 0. El mapa f es constante, por lo tanto su diferencial desaparece. En particular

$${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}$$

A continuación se presenta la ecuación (1) anterior. QED

De hecho, esta conexión es la conexión Levi-Civita para la métrica en S ² heredada de R ³ . De hecho, se puede comprobar que esta conexión preserva la métrica.

Comportamiento bajo reescalado conforme

Si la métrica en una clase conforme se reemplaza por la métrica reescalada conforme de la misma clase , entonces la conexión Levi-Civita se transforma de acuerdo con la regla ^[10] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$

${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d\gamma }$ ${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$ ${\displaystyle g(Y,Y)}$

$${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

Como aplicación, consideremos nuevamente la esfera unitaria, pero esta vez bajo proyección estereográfica , de modo que la métrica (en coordenadas complejas de Fubini-Estudio ) sea: ${\displaystyle z,{\bar {z}}}$

$${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$

${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$ ${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$

${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$

$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$

Ver también

• Conexión Weitzenböck

Notas

1. Levi-Civita, Tullio (1917). "Nozione di paralelosmo in una varietà qualunque" [La noción de paralelismo sobre cualquier variedad]. Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano). 42 : 173-205. doi :10.1007/BF03014898. JFM  46.1125.02. S2CID  122088291.
2. Christoffel, Elwin B. (1869). "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1869 (70): 46–70. doi :10.1515/crll.1869.70.46. S2CID  122999847.
3. Véase Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen II) . Publicar o morir Prensa. pag. 238.ISBN​ 0-914098-71-3.
4. Brouwer, LEJ (1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Verslagen . 15 : 75–94.
5. Brouwer, LEJ (1906). "El campo de fuerza de los espacios no euclidianos con curvatura negativa". Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Procedimientos . 9 : 116-133. Código bibliográfico : 1906KNAB....9..116B.
6. Schouten, Jan Arnoldus (1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie". Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . 12 (6): 95.
7. Weyl, Hermann (1918). "Gravitación y electricidad". Sitzungsberichte Berliner Akademie : 465–480.
8. Weyl, Hermann (1918). "Reina geometría infinitesimal". Mathematische Zeitschrift . 2 (3–4): 384–411. Código Bib : 1918MatZ....2..384W. doi :10.1007/bf01199420. S2CID  186232500.
9. Carmo, Manfredo Perdigão do (1992). Geometría riemanniana. Francisco J. Flaherty. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8. OCLC  24667701.
10. Arturo Besse (1987). Variedades de Einstein . Saltador. pag. 58.

Referencias

• Bootby, William M. (1986). "Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann ". Prensa académica. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial . John Wiley e hijos. ISBN 0-470-49647-9.Ver Tomo I pág. 158

enlaces externos

• "Conexión Levi-Civita", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: Conexión Levi-Civita
• PlanetMath: Conexión Levi-Civita
• Conexión Levi-Civita en el Manifold Atlas