En matemáticas , el teorema de Chevalley-Shephard-Todd en teoría invariante de grupos finitos establece que el anillo de invariantes de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un anillo polinomial si y sólo si el grupo se genera por pseudoreflexiones . En el caso de subgrupos del grupo lineal general complejo, el teorema fue demostrado por primera vez por GC Shephard y JA Todd (1954), quienes lo demostraron caso por caso. Poco después, Claude Chevalley (1955) presentó una prueba uniforme. Jean-Pierre Serre lo ha extendido a grupos lineales finitos sobre un campo arbitrario en el caso no modular .
Declaración del teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K y sea G un subgrupo finito del grupo lineal general GL ( V ). Un elemento s de GL ( V ) se llama pseudorreflexión si fija un subespacio de codimensión 1 de V y no es la transformación de identidad I , o de manera equivalente, si el núcleo Ker ( s − I ) tiene codimensión uno en V . Supongamos que el orden de G es relativamente primo con respecto a la característica de K (el llamado caso no modular). Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: [1]
En el caso de que el campo K sea el campo C de números complejos , la primera condición suele expresarse como " G es un grupo de reflexión complejo ". Shephard y Todd obtuvieron una clasificación completa de dichos grupos.
Ejemplos
- Sea V unidimensional. Entonces cualquier grupo finito que actúe fielmente sobre V es un subgrupo del grupo multiplicativo del campo K y, por tanto, un grupo cíclico . De ello se deduce que G consta de raíces de unidad de orden que dividen a n , donde n es su orden, por lo que G se genera por pseudoreflexiones. En este caso, K [ V ] = K [ x ] es el anillo polinomial en una variable y el álgebra de invariantes de G es la subálgebra generada por x n , por lo tanto es un álgebra polinomial.
- Sea V = K n el espacio vectorial estándar de n dimensiones y G el grupo simétrico S n que actúa mediante permutaciones de los elementos de la base estándar. El grupo simétrico se genera por transposiciones ( ij ), que actúan por reflexiones sobre V. Por otro lado, por el teorema principal de las funciones simétricas , el álgebra de invariantes es el álgebra polinomial generada por las funciones simétricas elementales e 1 ,... e n .
- Sean V = K 2 y G el grupo cíclico de orden 2 que actúa por ± I . En este caso, G no se genera por pseudoreflexiones, ya que el elemento no identidad s de G actúa sin puntos fijos, de modo que dim Ker ( s − I ) = 0. Por otro lado, el álgebra de invariantes es la subálgebra de K [ V ] = K [ x , y ] generado por los elementos homogéneos x 2 , xy e y 2 de grado 2. Esta subálgebra no es un álgebra polinomial debido a la relación x 2 y 2 = ( xy ) 2 .
Generalizaciones
Broer (2007) extendió el teorema de Chevalley-Shephard-Todd a la característica positiva.
Se ha trabajado mucho sobre la cuestión de cuándo un grupo algebraico reductivo que actúa sobre un espacio vectorial tiene un anillo polinómico de invariantes. En el caso de que el grupo algebraico sea simple, todos los casos en los que el anillo invariante es polinomio han sido clasificados por Schwarz (1978)
En general, el anillo de invariantes de un grupo finito que actúa linealmente sobre un espacio vectorial complejo es Cohen-Macaulay , por lo que es un módulo libre de rango finito sobre un subanillo polinómico.
Notas
- ^ Véase, por ejemplo: Bourbaki, Lie , cap. V, §5, nº5, teorema 4 para la equivalencia de (A), (B) y (C); página 26 de [1] para la equivalencia de (A) y (B ′ ); páginas 6 a 18 de [2] Archivado el 29 de julio de 2014 en Wayback Machine para conocer la equivalencia de (C) y (C ′ ) [3] para una prueba de (B ′ )⇒(A).
Referencias
- Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématiques: Groupes et algèbres de Lie(Traducción al inglés: Bourbaki, Nicolas, Elementos de matemáticas: grupos de mentiras y álgebras de mentiras)
- Broer, Abraham (2007), Sobre el teorema de Chevalley-Shephard-Todd en característica positiva , [], arXiv : 0709.0715 , Bibcode : 2007arXiv0709.0715B
- Chevalley, Claude (1955), "Invariantes de grupos finitos generados por reflexiones", Amer. J. Matemáticas. , 77 (4): 778–782, doi :10.2307/2372597, JSTOR 2372597, S2CID 14952813
- Neusel, María D.; Smith, Larry (2002), Teoría invariante de grupos finitos , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-2916-5
- Shephard, GC; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitarios finitos", Can. J. Matemáticas. , 6 : 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3
- Schwarz, G. (1978), "Representaciones de grupos de Lie simples con anillos regulares de invariantes", Invent. Matemáticas. , 49 (2): 167–191, Bibcode :1978InMat..49..167S, doi :10.1007/BF01403085
- Smith, Larry (1997), "Invariantes polinomiales de grupos finitos. Un estudio de los desarrollos recientes", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 34 (3): 211–250, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00724-6 , SEÑOR 1433171
- Springer, TA (1977), Teoría invariante , Springer, ISBN 978-0-387-08242-4
