Polinomio simétrico elemental

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , los polinomios simétricos elementales son un tipo de componente básico de los polinomios simétricos , en el sentido de que cualquier polinomio simétrico puede expresarse como un polinomio en polinomios simétricos elementales. Es decir, cualquier polinomio simétrico $P$ está dado por una expresión que involucra sólo sumas y multiplicaciones de constantes y polinomios simétricos elementales. Hay un polinomio simétrico elemental de grado $d$ en $n$ variables para cada entero positivo $d \leq n$ , y se forma sumando todos los productos distintos de $d$ variables distintas.

Definición

Los polinomios simétricos elementales en $n$ variables $X 1, ..., X n$ , escritos $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ , se definen por

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j} ,\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k} ,\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{ k}X_{l},\\\end{alineado}}

y así sucesivamente, terminando con

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

En general, para $k \geq 0$ definimos

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n} X_ {j_ {1}}\dotsm X_ {j_ {k}},

de modo que $e k (X 1, ..., X n) = 0$ si $k > n$ . (A veces, $1 = e 0 (X 1, ..., X n)$ se incluye entre los polinomios simétricos elementales, pero excluirlo permite una formulación generalmente más simple de resultados y propiedades).

Así, para cada entero positivo $k$ menor o igual que $n$ existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grado $k$ en $n$ variables. Para formar el que tiene grado $k$ , tomamos la suma de todos los productos de $k$ -subconjuntos de las $n$ variables. (Por el contrario, si se realiza la misma operación utilizando conjuntos múltiples de variables, es decir, tomando variables con repetición, se llega a polinomios simétricos homogéneos completos ).

Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de enteros positivos) $λ = (λ 1, ..., λ m)$ , se define el polinomio simétrico $e λ (X 1, ..., X n)$ , también llamado polinomio simétrico elemental, por

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{ \lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

A veces se utiliza la notación $σ k$ $en lugar de e k$ .

Ejemplos

A continuación se enumeran los $n$ polinomios simétricos elementales para los primeros cuatro valores positivos de $n$ .

Para $norte = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

Para $norte = 2$ :

{\begin{alineado}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{ 2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{alineado}}

Para $norte = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{ 2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_ {3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{alineado}}

Para $norte = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3} +X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{ 3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1} ,X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{ 3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_ {1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{alineado}}

Propiedades

Los polinomios simétricos elementales aparecen cuando desarrollamos una factorización lineal de un polinomio mónico : tenemos la identidad

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}) \lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n }(X_{1},\ldots,X_{n}).

Es decir, cuando sustituimos valores numéricos por las variables $X 1, X 2, ..., X n$ , obtenemos el polinomio mónico univariado (con variable $λ$ ) cuyas raíces son los valores sustituidos por $X 1, X 2, .. ., X n$ y cuyos coeficientes son –hasta el signo- los polinomios simétricos elementales. Estas relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio se denominan fórmulas de Vieta .

El polinomio característico de una matriz cuadrada es un ejemplo de aplicación de las fórmulas de Vieta. Las raíces de este polinomio son los valores propios de la matriz . Cuando sustituimos estos valores propios en los polinomios simétricos elementales, obtenemos, hasta su signo, los coeficientes del polinomio característico, que son invariantes de la matriz. En particular, la traza (la suma de los elementos de la diagonal) es el valor de $e 1$ y, por tanto, la suma de los valores propios. De manera similar, el determinante es – hasta el signo – el término constante del polinomio característico, es decir, el valor de $e n$ . Por tanto, el determinante de una matriz cuadrada es el producto de los valores propios.

El conjunto de polinomios simétricos elementales en $n$ variables genera el anillo de polinomios simétricos en $n$ variables. Más específicamente, el anillo de polinomios simétricos con coeficientes enteros es igual al anillo polinomial integral $[$ $e$ $1$ $($ $X$ $1$ $,...,$ $X$ $n$ $),...,$ $e$ $n$ $($ $X$ $1$ $,...,$ $X$ $n$ $)]$ . (Consulte a continuación una declaración y una prueba más generales ). Este hecho es uno de los fundamentos de la teoría invariante . Para otro sistema de polinomios simétricos con la misma propiedad, consulte Polinomios simétricos homogéneos completos , y para un sistema con una propiedad similar, pero ligeramente más débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias . $\mathbb {Z}$

Teorema fundamental de los polinomios simétricos.

Para cualquier anillo conmutativo $A$ , denota el anillo de polinomios simétricos en las variables $X 1, ..., X n$ con coeficientes en $A$ por $A [X 1, ..., X n] S n$ . Este es un anillo polinomial en los n polinomios simétricos elementales $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ .

Esto significa que cada polinomio simétrico $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ tiene una representación única

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n }(X_{1},\ldots,X_{n}){\big )}

para algún polinomio $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ . Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que envía $Y k$ a $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ define un isomorfismo entre $A [Y 1, . .., Y n]$ y $A [X 1, ..., X n] S n$ .

Bosquejo de prueba

El teorema puede demostrarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción con respecto al número de variables $n y, para$ $n$ fijo , con respecto al grado del polinomio homogéneo. Luego sigue el caso general dividiendo un polinomio simétrico arbitrario en sus componentes homogéneos (que nuevamente son simétricos).

En el caso $n = 1$ el resultado es trivial porque cada polinomio en una variable es automáticamente simétrico.

Supongamos ahora que el teorema ha sido demostrado para todos los polinomios para $m < n$ variables y todos los polinomios simétricos en $n$ variables con grado $< d$ . Todo polinomio simétrico homogéneo $P$ en $A [X 1, ..., X n] S n$ se puede descomponer como una suma de polinomios simétricos homogéneos

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{lacunario}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{ n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).

Aquí la "parte lagunaria" $P lacunaria$ se define como la suma de todos los monomios en $P$ que contienen sólo un subconjunto adecuado de las $n$ variables $X 1, ..., X n$ , es decir, donde falta al menos una variable $X j .$

Debido a que $P$ es simétrica, la parte lagunar está determinada por sus términos que contienen sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ , es decir, que no contienen $X n$ . Más precisamente: Si $A$ y $B$ son dos polinomios simétricos homogéneos en $X 1, ..., X n$ que tienen el mismo grado, y si el coeficiente de $A$ antes de cada monomio que contiene sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ es igual al coeficiente correspondiente de $B$ , entonces $A$ y $B$ tienen partes lagunares iguales. (Esto se debe a que todo monomio que puede aparecer en una parte lagunar debe carecer de al menos una variable y, por lo tanto, puede transformarse mediante una permutación de las variables en un monomio que contenga solo las variables $X 1, ..., X n - 1$ .)

Pero los términos de $P$ que contienen sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ son precisamente los términos que sobreviven a la operación de establecer $X n$ en 0, por lo que su suma es igual a $P (X 1, ..., X n - 1, 0)$ , que es un polinomio simétrico en las variables $X 1, ..., X n - 1$ que denotaremos por $P̃ (X 1, ..., X n - 1)$ . Por la hipótesis inductiva, este polinomio se puede escribir como

{\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})

para algunos $Q̃$ . Aquí los $σ j, n - 1$ doblemente indexados denotan los polinomios simétricos elementales en $n - 1$ variables.

Consideremos ahora el polinomio

R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).

Entonces $R (X 1, ..., X n)$ es un polinomio simétrico en $X 1, ..., X n$ , del mismo grado que $P lacunario$ , que satisface

R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)

(la primera igualdad se cumple porque establecer $X n$ en 0 en $σ j, n$ da $σ j, n - 1$ , para todo $j < n$ ). En otras palabras, el coeficiente de $R$ antes de cada monomio que contiene solo las variables $X 1, ..., X n - 1$ es igual al coeficiente correspondiente de $P$ . Como sabemos, esto demuestra que la parte lagunar de $R$ coincide con la del polinomio original $P$ . Por tanto la diferencia $P - R$ no tiene parte lagunar, y por tanto es divisible por el producto $X 1 \cdot\cdot\cdot X n$ de todas las variables, que es igual al polinomio simétrico elemental $σ n, n$ . Luego, escribiendo $P - R = σ n, n Q$ , el cociente $Q$ es un polinomio simétrico homogéneo de grado menor que $d$ (de hecho, grado como máximo $d - n$ ) que según la hipótesis inductiva se puede expresar como un polinomio en la simetría elemental. funciones. Combinando las representaciones de $P - R$ y $R$ se encuentra una representación polinómica de $P$ .

La unicidad de la representación puede demostrarse inductivamente de manera similar. (Es equivalente al hecho de que los $n$ polinomios $e 1, ..., e n$ son algebraicamente independientes sobre el anillo $A$ .) El hecho de que la representación polinómica sea única implica que $A [X 1, ..., X n] S n$ es isomorfo a $A [Y 1, ..., Y n]$ .

Prueba alternativa

La siguiente prueba también es inductiva, pero no involucra otros polinomios además de los simétricos en $X 1, ..., X n$ , y también conduce a un procedimiento bastante directo para escribir efectivamente un polinomio simétrico como un polinomio en los simétricos elementales. Supongamos que el polinomio simétrico es homogéneo de grado $d$ ; diferentes componentes homogéneos se pueden descomponer por separado. Ordene lexicográficamente los monomios en las variables $X i$ , donde las variables individuales están ordenadas $X$ $1$ $> ... >$ $X$ $n$ , en otras palabras el término dominante de un polinomio es aquel que tiene la potencia más alta de $X$ $1$ , y entre esos el uno con la mayor potencia de $X$ $2$ , etc. Además, parametrice todos los productos de polinomios simétricos elementales que tengan grado $d$ (de hecho son homogéneos) de la siguiente manera mediante particiones de $d$ . Ordene los polinomios simétricos elementales individuales $e$ $i$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ $)$ en el producto de modo que aquellos con índices $i$ más grandes vengan primero, luego construya para cada uno de esos factores una columna de $i$ cajas y organice esas columnas desde la izquierda a la derecha para formar un diagrama de Young que contiene $d$ cuadros en total. La forma de este diagrama es una partición de $d$ , y cada partición $λ$ de $d$ surge exactamente para un producto de polinomios simétricos elementales, que denotaremos por $e$ $λ$ $t$ $($ $X$ $1$ $, ...,$ $X$ $n$ ) (la $t$ es presente sólo porque tradicionalmente este producto está asociado a la partición transpuesta de $λ$ ). El ingrediente esencial de la demostración es la siguiente propiedad simple, que utiliza notación de índices múltiples para monomios en las variables $Xi$ $.$

Lema . El término principal de $e λ t (X 1, ..., X n)$ es $X λ$ .

Prueba . El término principal del producto es el producto de los términos principales de cada factor (esto es cierto siempre que se use un orden monomial , como el orden lexicográfico que se usa aquí), y el término principal del factor

e i (X 1, .. ., X n)

es claramente

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

. Para contar las apariciones de las variables individuales en el monomio resultante, complete la columna del diagrama de Young correspondiente al factor relacionado con los números

1, ..., i

de las variables, luego todos los cuadros de la primera fila contienen 1, esos en la segunda fila 2, y así sucesivamente, lo que significa que el término principal es

X λ

Ahora se demuestra por inducción sobre el monomio principal en orden lexicográfico, que cualquier polinomio simétrico homogéneo distinto de cero $P$ de grado $d$ puede escribirse como polinomio en los polinomios simétricos elementales. Dado que $P$ es simétrico, su monomio principal tiene exponentes débilmente decrecientes, por lo que es algo de $X λ$ con $λ$ una partición de $d$ . Sea $c$ el coeficiente de este término , entonces $P - ce λ t (X 1, ..., X n)$ es cero o un polinomio simétrico con un monomio principal estrictamente más pequeño. Al escribir esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales y agregarle $ce λ t (X 1, ..., X n)$ , se obtiene la expresión polinómica buscada para $P$ .

También se demuestra fácilmente el hecho de que esta expresión es única, o equivalentemente que todos los productos (monomios) $e λ t (X 1, ..., X n)$ de polinomios simétricos elementales son linealmente independientes. El lema muestra que todos estos productos tienen diferentes monomios principales, y esto es suficiente: si una combinación lineal no trivial de $e λ t (X 1, ..., X n)$ fuera cero, uno se centra en la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables $X i$ ) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que da una contradicción.

Ver también

Referencias

Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall (2ª ed.). Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa, vol. 2 . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-56069-1.

enlaces externos

Trifonov, Martin (5 de marzo de 2024). Preludio a la teoría de Galois: exploración de polinomios simétricos (vídeo). YouTube . Consultado el 26 de marzo de 2024 .