Teorema de la base de Hilbert

Los ideales polinomiales se generan finitamente

En matemáticas, el teorema de la base de Hilbert afirma que cada ideal de un anillo de polinomios sobre un campo tiene un conjunto generador finito (una base finita en la terminología de Hilbert).

En el álgebra moderna , los anillos cuyos ideales tienen esta propiedad se denominan anillos noetherianos . Todo cuerpo y el anillo de números enteros son anillos noetherianos. Por lo tanto, el teorema se puede generalizar y reformular como: todo anillo polinómico sobre un anillo noetheriano también es noetheriano .

El teorema fue enunciado y demostrado por David Hilbert en 1890 en su artículo fundamental sobre la teoría de invariantes ^[1] , donde resolvió varios problemas sobre invariantes. En este artículo, demostró también otros dos teoremas fundamentales sobre polinomios, el Nullstellensatz (teorema del lugar geométrico cero) y el teorema de sicigia (teorema sobre relaciones). Estos tres teoremas fueron el punto de partida de la interpretación de la geometría algebraica en términos del álgebra conmutativa . En particular, el teorema de la base implica que todo conjunto algebraico es la intersección de un número finito de hipersuperficies .

Otro aspecto de este artículo tuvo un gran impacto en las matemáticas del siglo XX; se trata del uso sistemático de métodos no constructivos . Por ejemplo, el teorema de la base afirma que todo ideal tiene un conjunto generador finito, pero la prueba original no proporciona ninguna manera de calcularlo para un ideal específico. Este planteamiento fue tan asombroso para los matemáticos de la época que la primera versión del artículo fue rechazada por Paul Gordan , el mayor especialista en invariantes de la época, con el comentario "Esto no es matemática. Esto es teología". ^[2] Más tarde, reconoció: "Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos". ^[3]

Declaración

Si es un anillo , sea el anillo de polinomios en el indeterminado sobre . Hilbert demostró que si "no es demasiado grande", en el sentido de que si es noetheriano, lo mismo debe ser cierto para . Formalmente, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Teorema de la base de Hilbert. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano. ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Corolario. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$

Hilbert demostró el teorema (para el caso especial de polinomios multivariados sobre un cuerpo ) en el curso de su prueba de generación finita de anillos de invariantes . ^[1] El teorema se interpreta en geometría algebraica de la siguiente manera: todo conjunto algebraico es el conjunto de los ceros comunes de un número finito de polinomios.

La prueba de Hilbert es altamente no constructiva : procede por inducción sobre el número de variables y, en cada paso de inducción, utiliza la prueba no constructiva para una variable menos. Introducidas más de ochenta años después, las bases de Gröbner permiten una prueba directa que es lo más constructiva posible: las bases de Gröbner producen un algoritmo para comprobar si un polinomio pertenece al ideal generado por otros polinomios. Así, dada una secuencia infinita de polinomios, se puede construir algorítmicamente la lista de aquellos polinomios que no pertenecen al ideal generado por los anteriores. La teoría de las bases de Gröbner implica que esta lista es necesariamente finita y, por lo tanto, es una base finita del ideal. Sin embargo, para decidir si la lista está completa, se deben considerar todos los elementos de la secuencia infinita, lo que no se puede hacer en el tiempo finito permitido a un algoritmo.

Prueba

Teorema. Si es un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) , entonces el anillo polinomial también es un anillo noetheriano izquierdo (o derecho). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Observación. Daremos dos pruebas, en ambas se considera únicamente el caso "izquierdo"; la prueba para el caso derecho es similar.

Primera prueba

Supóngase que es un ideal izquierdo generado de manera no finita. Entonces, por recursión (usando el axioma de elección dependiente ) hay una secuencia de polinomios tal que si es el ideal izquierdo generado por entonces es de grado mínimo . Por construcción, es una secuencia no decreciente de números naturales . Sea el coeficiente principal de y sea el ideal izquierdo en generado por . Dado que es noetheriano, la cadena de ideales ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$

debe terminar. Por lo tanto, para algún entero . En particular, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

Ahora consideremos

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

cuyo término principal es igual al de ; además, . Sin embargo, , lo que significa que tiene grado menor que , contradiciendo la minimalidad. ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}}$

Segunda prueba

Sea un ideal izquierdo. Sea el conjunto de coeficientes principales de los miembros de . Obviamente, este es un ideal izquierdo sobre , y por lo tanto se genera finitamente a partir de los coeficientes principales de un número finito de miembros de ; digamos . Sea el máximo del conjunto , y sea el conjunto de coeficientes principales de los miembros de , cuyo grado es . Como antes, los son ideales izquierdos sobre , y por lo tanto se generan finitamente a partir de los coeficientes principales de un número finito de miembros de , digamos ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

con grados . Ahora sea el ideal izquierdo generado por: ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$

Tenemos y afirmamos también . Supongamos, por razones de contradicción, que esto no es así. Entonces, sea de grado mínimo y denotemos su coeficiente principal por . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle a}$

Caso 1: . Independientemente de esta condición, tenemos , por lo que es una combinación lineal izquierda ${\displaystyle \deg(h)\geq d}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

de los coeficientes de la . Considérese ${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

que tiene el mismo término principal que ; además, mientras que . Por lo tanto y , lo que contradice la minimalidad. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$

Caso 2: . Entonces también lo es una combinación lineal izquierda ${\displaystyle \deg(h)=k<d}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

de los coeficientes principales de la . Considerando ${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$

Se produce una contradicción similar a la del caso 1.

Por lo tanto, nuestra afirmación es válida, y se genera de forma finita. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$

Tenga en cuenta que la única razón por la que tuvimos que dividir en dos casos fue para garantizar que las potencias de multiplicar los factores no fueran negativas en las construcciones. ${\displaystyle X}$

Aplicaciones

Sea un anillo conmutativo noetheriano . El teorema de la base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos . ${\displaystyle R}$

1. Por inducción vemos que también será noetheriano. ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. Dado que cualquier variedad afín (es decir, un conjunto de lugares de una colección de polinomios) puede escribirse como el lugar de un ideal y además como el lugar de sus generadores, se deduce que cada variedad afín es el lugar de un número finito de polinomios, es decir, la intersección de un número finito de hipersuperficies . ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. Si es un álgebra finitamente generada , entonces sabemos que , donde es un ideal. El teorema de la base implica que debe ser finitamente generada, es decir , es decir , se presenta finitamente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$ ${\displaystyle A}$

Pruebas formales

Las pruebas formales del teorema de la base de Hilbert se han verificado a través del proyecto Mizar (véase el archivo HILBASIS) y Lean (véase ring_theory.polynomial).

Referencias

1. Hilbert, David (1890). "Über die Theorie der algebraischen Formen". Annalen Matemáticas . 36 (4): 473–534. doi :10.1007/BF01208503. ISSN  0025-5831. S2CID  179177713.
2. Reid 1996, pág. 34.
3. Reid 1996, pág. 37.
4. Roman 2008, p. 136 §5 Teorema 5.9

Lectura adicional

• Cox, Little y O'Shea, Ideales, variedades y algoritmos , Springer-Verlag, 1997.
• Reid, Constance. (1996). Hilbert. Nueva York: Springer . ISBN. 0-387-94674-8.La biografía definitiva en inglés de Hilbert.
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5