relación lineal

Tipo de ecuación matemática

En álgebra lineal , una relación lineal , o simplemente relación , entre elementos de un espacio vectorial o de un módulo es una ecuación lineal que tiene como solución estos elementos.

Más precisamente, si hay elementos de un módulo (izquierdo) M sobre un anillo R (el caso de un espacio vectorial sobre un campo es un caso especial), una relación entre es una secuencia de elementos de R tal que ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

Las relaciones entre forman un módulo. En general , uno está interesado en el caso en el que hay un conjunto generador de un módulo M finitamente generado , en cuyo caso el módulo de las relaciones a menudo se denomina módulo sicigio de M. El módulo syzygy depende de la elección del grupo electrógeno, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Es decir, si y son módulos sizigios correspondientes a dos conjuntos generadores del mismo módulo, entonces son isomórficos estables , lo que significa que existen dos módulos libres y tales que y son isomórficos . ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Los módulos de sizigia de orden superior se definen de forma recursiva: un primer módulo de sizigia de un módulo M es simplemente su módulo de sizigia. Para k > 1 , un k -ésimo módulo de sicigia de M es un módulo de sicigia de un ( k – 1) -ésimo módulo de sicigia. El teorema de sicigia de Hilbert establece que, si hay un anillo polinómico en n indeterminados sobre un campo, entonces cada n- ésimo módulo de sicigia es libre. El caso n = 0 es el hecho de que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, y el caso n = 1 es el hecho de que K [ x ] es un dominio ideal principal y que cada submódulo de un K [ x ] libre finitamente generado El módulo también es gratuito. ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

La construcción de módulos de sizigia de orden superior se generaliza como la definición de resoluciones libres , lo que permite reformular el teorema de sizigia de Hilbert como un anillo polinómico en n indeterminados sobre un campo que tiene dimensión homológica global n .

Si a y b son dos elementos del anillo conmutativo R , entonces ( b , – a ) es una relación que se dice trivial . El módulo de relaciones triviales de un ideal es el submódulo del primer módulo sicigio del ideal que se genera por las relaciones triviales entre los elementos de un conjunto generador de un ideal. El concepto de relaciones triviales se puede generalizar a módulos de sizigia de orden superior, y esto conduce al concepto de complejo de Koszul de un ideal, que proporciona información sobre las relaciones no triviales entre los generadores de un ideal.

Definiciones basicas

Sea R un anillo y M un módulo R izquierdo . Una relación lineal , o simplemente una relación entre k elementos de M , es una secuencia de elementos de R tal que ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

Si es un conjunto generador de M , la relación a menudo se llama sicigia de M. Tiene sentido llamarlo sizigia de independientemente porque, aunque el módulo de sizigia depende del grupo electrógeno elegido, la mayoría de sus propiedades son independientes; consulte § Propiedades estables, a continuación. ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$

Si el anillo R es noetheriano , o al menos coherente , y si M se genera de forma finita , entonces el módulo sizigia también se genera de forma finita. Un módulo sizigio de este módulo sizigio es un segundo módulo sicigio de M . Continuando de esta manera se puede definir un k- ésimo módulo sizigia para cada entero positivo k .

El teorema de sicigia de Hilbert afirma que, si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo polinómico sobre un campo , entonces cualquier n- ésimo módulo de sicigia es un módulo libre . ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Propiedades estables

En términos generales, en el lenguaje de la teoría K , una propiedad es estable si se vuelve verdadera al hacer una suma directa con un módulo libre suficientemente grande . Una propiedad fundamental de los módulos syzygies es que son "establemente independientes" en la elección de grupos electrógenos para los módulos involucrados. El siguiente resultado es la base de estas propiedades estables.

Proposición  :  Sea un conjunto generador de un módulo R M y otros elementos de M. El módulo de las relaciones entre es la suma directa del módulo de las relaciones entre y un módulo libre de rango n . ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$

Prueba. Como es un conjunto generador, cada uno puede escribirse. Esto proporciona una relación entre Ahora, si hay alguna relación, entonces es una relación entre los únicos. En otras palabras, cada relación entre es una suma de una relación entre y una combinación lineal de s. Es sencillo demostrar que esta descomposición es única y esto prueba el resultado. ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$ ${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Esto demuestra que el primer módulo syzygy es "establemente único". Más precisamente, dados dos conjuntos generadores y de un módulo M , si y son los módulos correspondientes de relaciones, entonces existen dos módulos libres y tales que y son isomórficos. Para demostrarlo basta aplicar dos veces la proposición anterior para obtener dos descomposiciones del módulo de las relaciones entre la unión de los dos grupos electrógenos. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Para obtener un resultado similar para módulos de sizigia superiores, queda por demostrar que, si M es cualquier módulo y L es un módulo libre, entonces M y M ⊕ L tienen módulos de sizigia isomórficos. Basta considerar un grupo electrógeno de M ⊕ L que consta de un grupo electrógeno de M y una base de L . Para cada relación entre los elementos de este conjunto generador, los coeficientes de los elementos básicos de L son todos cero, y las sicigias de M ⊕ L son exactamente las sicigias de M extendidas con coeficientes cero. Esto completa la demostración del siguiente teorema.

Teorema  :  para cada entero positivo k , el késimo módulo sizigia de un módulo dado depende de la elección de los conjuntos generadores, pero es único hasta la suma directa con un módulo libre. Más precisamente, si y son k -ésimos módulos de sizigia que se obtienen mediante diferentes elecciones de conjuntos generadores, entonces hay módulos libres y tales que y son isomórficos. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Relación con resoluciones libres

Dado un conjunto generador de un módulo R , se puede considerar un módulo libre de L de base donde hay nuevos indeterminados. Esto define una secuencia exacta. ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde la flecha izquierda es el mapa lineal que asigna cada uno al correspondiente. El núcleo de esta flecha izquierda es un primer módulo sicigio de M. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}.}$

Se puede repetir esta construcción con este núcleo en lugar de M . Repitiendo una y otra vez esta construcción, se obtiene una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde todos son módulos gratuitos. Por definición, una secuencia exacta tan larga es una resolución libre de M. ${\displaystyle L_{i}}$

Para cada k ≥ 1 , el núcleo de la flecha que parte de es un késimo módulo sizigia de M. De ello se deduce que el estudio de resoluciones libres es lo mismo que el estudio de módulos sizigia. ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle L_{k-1}}$

Una resolución libre es finita de longitud ≤ n si es libre. En este caso, se puede tomar y (el módulo cero ) para cada k > n . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$ ${\displaystyle L_{k}=0}$

Esto permite reformular el teorema de la sizigia de Hilbert : si es un anillo polinómico en n indeterminados sobre un campo K , entonces toda resolución libre tiene una longitud finita como máximo n . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

La dimensión global de un anillo noetheriano conmutativo es infinita o la mínima n tal que cada resolución libre tiene una longitud finita como máximo n . Un anillo noetheriano conmutativo es regular si su dimensión global es finita. En este caso, la dimensión global es igual a su dimensión Krull . Así pues, el teorema de la sizigia de Hilbert puede reformularse en una frase muy corta que esconde muchas matemáticas: un anillo polinómico sobre un campo es un anillo regular.

Relaciones triviales

En un anillo conmutativo R , siempre se tiene ab – ba = 0 . Esto implica trivialmente que ( b , – a ) es una relación lineal entre a y b . Por lo tanto, dado un conjunto generador de un ideal I , se llama relación trivial o sizigia trivial a cada elemento del submódulo (el módulo sizigia que se genera por estas relaciones triviales entre dos elementos generadores). Más precisamente, el módulo de sicigias triviales se genera a partir de las relaciones ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

tal cual y de otra manera. ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$ ${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$ ${\displaystyle x_{h}=0}$

Historia

La palabra sizigia llegó a las matemáticas con el trabajo de Arthur Cayley . ^[1] En ese artículo, Cayley lo usó en la teoría de resultantes y discriminantes . ^[2] Como la palabra sizigia se usaba en astronomía para denotar una relación lineal entre planetas, Cayley la usó para denotar relaciones lineales entre menores de una matriz, como, en el caso de una matriz de 2×3:

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

Luego, la palabra sizigia fue popularizada (entre los matemáticos) por David Hilbert en su artículo de 1890, que contiene tres teoremas fundamentales sobre polinomios, el teorema de sizigia de Hilbert , el teorema de base de Hilbert y el Nullstellensatz de Hilbert .

En su artículo, Cayley hace uso, en un caso especial, de lo que más tarde ^se denominó complejo de Koszul , tras una construcción similar en geometría diferencial realizada por el matemático Jean-Louis Koszul .

Notas

1. 1847[Cayley 1847] A. Cayley, “Sobre la teoría de la involución en geometría”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. Véase también Collected Papers, vol. 1 (1889), 80–94, Universidad de Cambridge. Prensa, Cambridge.
2. [Gel'fand et al. 1994] IM Gel'fand, MM Kapranov y AV Zelevinsky, Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales, Matemáticas: teoría y aplicaciones, Birkhäuser, Boston, 1994.
3. Serre, local de Jean-Pierre Algèbre. Multiplicidades. (Francés) Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé par Pierre Gabriel. Segunda edición, 1965. Lecture Notes in Mathematics, 11 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York 1965 vii+188 págs.; ésta es la forma publicada de notas mimeografiadas de las conferencias de Serre en el College de France en 1958.

Referencias

• Cox, David; Pequeño John; O'Shea, Donal (2007). "Ideales, variedades y algoritmos". Textos de Pregrado en Matemáticas . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. doi :10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN  0172-6056.
• Cox, David; Pequeño John; O'Shea, Donal (2005). "Uso de la geometría algebraica". Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• David Eisenbud, La geometría de las sicigias, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 229, Springer, 2005.