Proceso matemático
En matemáticas, el proceso Ω de Cayley , introducido por Arthur Cayley (1846), es un operador diferencial relativamente invariante en el grupo lineal general , que se utiliza para construir invariantes de una acción de grupo .
Como operador diferencial parcial que actúa sobre funciones de n 2 variables x ij , el operador omega viene dado por el determinante
Para las formas binarias f en x 1 , y 1 y g en x 2 , y 2 el operador Ω es . El proceso Ω de r pliegues Ω r ( f , g ) en dos formas f y g en las variables x e y es entonces
- Convierte f a una forma en x 1 , y 1 y g a una forma en x 2 , y 2
- Aplicar el operador Ω r veces a la función fg , es decir, f por g en estas cuatro variables
- Sustituya x por x 1 y x 2 , y por y 1 e y 2 en el resultado.
El resultado del proceso Ω de pliegue r Ω r ( f , g ) en las dos formas f y g también se denomina r -ésimo transvectante y comúnmente se escribe ( f , g ) r .
Aplicaciones
El proceso Ω de Cayley aparece en la identidad de Capelli , que Weyl (1946) utilizó para encontrar generadores para los invariantes de varios grupos clásicos que actúan sobre álgebras polinomiales naturales.
Hilbert (1890) utilizó el proceso Ω de Cayley en su demostración de la generación finita de anillos de invariantes del grupo lineal general. Su uso del proceso Ω proporciona una fórmula explícita para el operador de Reynolds del grupo lineal especial.
El proceso Ω de Cayley se utiliza para definir transvectantes .
Referencias
- Cayley, Arthur (1846), "Sobre transformaciones lineales", Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 1 : 104–122Reimpreso en Cayley (1889), The collected mathematics papers , vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press, págs. 95-112
- Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi :10.1007/BF01208503, ISSN 0025-5831, S2CID 179177713
- Howe, Roger (1989), "Observaciones sobre la teoría clásica de invariantes", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN 0002-9947, JSTOR 2001418, MR 0986027
- Olver, Peter J. (1999), Teoría invariante clásica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
- Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías sobre computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0, Sr. 1255980
- Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255 , consultado el 26 de marzo de 2007