versina

1 menos el coseno de un ángulo

El versino o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las primeras tablas trigonométricas ( sánscrito Aryabhatia , ^[1] Sección I) . El verseno de un ángulo es 1 menos su coseno .

Hay varias funciones relacionadas, entre las que destacan coversine y haversine . Este último, medio versino, es de particular importancia en la fórmula de navegación haversine .

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . ^[2]

Descripción general

El seno versado ^{[3] [4] [5] [6] [7]} o seno versado ^{[8] [9] [10] [11] [12]} es una función trigonométrica que ya aparece en algunas de las primeras tablas trigonométricas. Se simboliza en fórmulas utilizando las abreviaturas versin , sinver , ^{[13] [14]} vers , ver ^[15] o siv . ^{[16] [17]} En latín , se conoce como seno versus (seno invertido), versinus , versus o sagitta (flecha). ^[18]

Expresado en términos de funciones trigonométricas comunes seno, coseno y tangente, el verseno es igual a

$${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Hay varias funciones relacionadas correspondientes al versine:

• El coseno versado , ^{[19] [nb 1]} o vercoseno , abreviado vercosin , vercos , o vcs .
• El seno cubierto o coversine ^[20] (en latín, cosinus versus o coversinus ), abreviado coversin , ^[21] covers , ^{[22] [23] [24]} cosiv , o cvs ^[25]
• El coseno cubierto ^[26] o covercosine , abreviado covercosin , covercos o cvc.

En plena analogía con las cuatro funciones mencionadas anteriormente, también existe otro conjunto de cuatro funciones de "medio valor":

• El seno haversedo ^[27] o haversine (latín semiversus ), ^{[28] [29]} abreviado haversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , ^{[30] [31]} hvs , ^{[nb 2]} sem , o hv , ^[32] más famoso de la fórmula haversine utilizada históricamente en la navegación
• El coseno haversed ^[33] o havercosine , abreviado havercosin , havercos , hac o hvc
• El seno hacoversed , hacoversine , ^[21] o cohaversine , abreviado hacoversin , semicoversin , hacovers , hacov ^[34] o hcv
• El coseno hacoversed , ^[35] hacovercosine , o cohavercosine , abreviado hacovercosin , hacovercos o hcc

Historia y aplicaciones

Versine y coversine

Seno , coseno y verseno del ángulo θ en términos de un círculo unitario con radio 1, centrado en O. Esta figura también ilustra la razón por la que el versino a veces se llamaba sagitta , que en latín significa flecha . ^{[18] [36]} Si el arco ADB del doble ángulo Δ  = 2 θ se considera un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces el versino CD es claramente el "eje de la flecha".

Gráficas de funciones trigonométricas históricas comparadas con sen y cos: en el archivo SVG, coloque el cursor sobre una gráfica o haga clic en ella para resaltarla.

La función seno ordinaria ( ver nota sobre etimología ) a veces fue llamada históricamente sinus rectus ("seno recto"), para contrastarla con el seno versado ( seno versus ). ^[37] El significado de estos términos es evidente si uno mira las funciones en el contexto original para su definición, un círculo unitario :

Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otro lado, el seno de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda al centro del arco. Así, la suma de cos( θ ) (igual a la longitud de la línea OC ) y versin( θ ) (igual a la longitud de la línea CD ) es el radio OD (con longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical ( rectus , literalmente "recto") mientras que el versino es horizontal ( versine , literalmente "girado contra, fuera de lugar"); ambas son distancias de C al círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la que el versino a veces se llamaba sagitta , flecha en latín , ^{[18] [36]} del uso árabe sahem ^[38] del mismo significado. Esto en sí proviene de la palabra india 'sara' (flecha) ^{[ cita necesaria ]} que se usaba comúnmente para referirse a " utkrama-jya ". Si el arco ADB del doble ángulo Δ  = 2 θ se considera un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versión CD es claramente el "eje de la flecha".

Además, de acuerdo con la interpretación del seno como "vertical" y del seno versado como "horizontal", sagitta también es un sinónimo obsoleto de la abscisa (el eje horizontal de un gráfico). ^[36]

En 1821, Cauchy utilizó los términos seno versus ( siv ) para el versino y coseno versus ( cosiv ) para el coverseno. ^{[16] [17] [nota 1]}

Las funciones trigonométricas se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Históricamente, el seno verso se consideraba una de las funciones trigonométricas más importantes. ^{[12] [37] [38]}

Cuando θ llega a cero, versin( θ ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica solo para el coseno necesitaría una precisión muy alta para obtener el verseno a fin de evitar una cancelación catastrófica , haciendo tablas separadas. para este último conveniente. ^[12] Incluso con una calculadora o computadora, los errores de redondeo hacen aconsejable utilizar la fórmula sin ² para  θ pequeño .

Otra ventaja histórica del versino es que siempre es no negativo, por lo que su logaritmo se define en todas partes excepto en el ángulo único ( θ = 0, 2 π ,…) donde es cero; por lo tanto, se podrían usar tablas logarítmicas para las multiplicaciones. en fórmulas que involucran versinos.

De hecho, la tabla de valores de seno (media cuerda ) más antigua que se conserva (a diferencia de las cuerdas tabuladas por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que data del siglo III a. C., era una tabla de valores. para el seno y el seno inverso (en incrementos de 3,75° de 0 a 90°). ^[37]

El versino aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula del medio ángulo sin ² (θ/2) =1/2versin( θ ), derivada por Ptolomeo , que se utilizó para construir tales tablas.

Haversine

El haversine, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula haversine , que se utiliza para calcular distancias con razonable precisión en un esferoide astronómico (ver cuestiones con el radio de la Tierra versus la esfera ) dadas posiciones angulares (por ejemplo, longitud y latitud) . ). También se podría usar sin ² (θ/2) directamente, pero tener una tabla de haversine eliminó la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas. ^[12]

En 1801 está documentada una utilización temprana por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que luego se llamaría haversines. ^{[14] [39]}

El primer equivalente inglés conocido a una tabla de haversines fue publicado por James Andrew en 1805, bajo el nombre "Cuadrados de semicordones naturales". ^{[40] [41] [18]}

En 1835, el término haversine (anotado naturalmente como hav. o logarítmicamente en base 10 como log. haversine o log. havers. ) fue acuñado ^[42] por James Inman ^{[14] [43] [44]} en la tercera edición de su Trabajo Navegación y Astronomía Náutica: Para uso de marineros británicos para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos de la superficie de la Tierra utilizando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. ^{[3] [42]} Inman también utilizó los términos nat. versine y nat. vers. para versinos. ^[3]

Otras tablas de haversines de gran prestigio fueron las de Richard Farley en 1856 ^{[40] [45]} y John Caulfield Hannyngton en 1876. ^{[40] [46]}

La haversine sigue utilizándose en navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 ^{[47] [48]} o en un método más compacto para reducir la visión desde 2014. ^[32 ]

Usos modernos

Si bien el uso de versine, coversine y haversine, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen tener un origen mucho más reciente.

Un período (0 < θ < 2 π ) de una forma de onda versina o, más comúnmente, una forma de onda haversina (o havercosina) también se usa comúnmente en el procesamiento de señales y la teoría de control como la forma de un pulso o una función de ventana (incluido Hann , Hann –Ventanas de Poisson y Tukey ), porque suavemente ( continua en valor y pendiente ) "se enciende" de cero a uno (para haversine) y de nuevo a cero. ^{[nb 2]} En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado . Asimismo, el havercoseno se utiliza en distribuciones de coseno elevado en teoría de probabilidad y estadística .

En la forma de pecado ² ( θ ), el haversine del doble ángulo Δ describe la relación entre extensiones y ángulos en trigonometría racional , una reformulación propuesta de geometrías métricas planas y sólidas por Norman John Wildberger desde 2005. ^[49]

Identidades matemáticas

Definiciones

Rotaciones circulares

Las funciones son rotaciones circulares entre sí.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Derivadas e integrales

Funciones inversas

Funciones inversas como arcversine ^[34] (arcversin, arcvers, ^{[8] [34]} avers, ^{[51] [52]} aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine ^[34] (arccoversin, arccovers, ^{[ 8] [34]} acovers, ^{[51] [52]} acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin, archav, ^[34] haversin ⁻¹ , ^[53] invhav, ^{[34] [54 ] [55] [56]} ahav, ^{[34] [51] [52]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [57] [58]} ), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), archacoversina (archacoversin, ahcv) o archacovercosina (archacovercosin, archacovercos, ahcc) también existen:

Otras propiedades

Estas funciones se pueden extender al plano complejo . ^{[50] [20] [27]}

Serie Maclaurin : ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[8]

Aproximaciones

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a 2 π

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a π /2

Cuando el versino v es pequeño en comparación con el radio r , se puede aproximar a partir de la longitud de media cuerda L (la distancia AC que se muestra arriba) mediante la fórmula ^[59]

$${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

Alternativamente, si el versino es pequeño y se conocen el versino, el radio y la longitud de la media cuerda, se pueden usar para estimar la longitud del arco s ( AD en la figura anterior) mediante la fórmula

$${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing^[60]

Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería ^[61] es

$${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

Curvas y acordes arbitrarios.

El término versine también se utiliza a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la cual el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos en una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda a la curva (generalmente en el punto medio de la cuerda) se llama medida versina . Para una línea recta, el verseno de cualquier cuerda es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite cuando la longitud de la cuerda L llega a cero, la relación8v​/L ²va a la curvatura instantánea . Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario , donde describe mediciones de la rectitud de las vías del tren ^[62] y es la base del método Hallade para la topografía ferroviaria .

El término sagita (a menudo abreviado hundimiento ) se utiliza de manera similar en óptica , para describir las superficies de lentes y espejos .

Ver también

• Identidades trigonométricas
• Exsecante y excosecante
• Versiera ( Bruja de Agnesi )
• Exponencial menos 1
• Logaritmo natural más 1

Notas

1. Algunas fuentes inglesas confunden el coseno verso con el seno cubierto. Históricamente (fe en Cauchy, 1821), el seno versus (verseno) se definió como siv( θ ) = 1−cos( θ ), el coseno versus (lo que ahora también se conoce como coverseno) como cosiv( θ ) = 1− sin( θ ), y el vercoseno como vcs θ  = 1+cos( θ ). Sin embargo, en su traducción al inglés de 2009 del trabajo de Cauchy, Bradley y Sandifer asocian el coseno versus (y cosiv) con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercoseno) en lugar del seno cubierto . De manera similar, en su trabajo de 1968/2000, Korn y Korn asocian la función de cobertura ( θ ) con el coseno versado en lugar del seno cubierto .
2. La abreviatura hvs que a veces se usa para la función haversine en el procesamiento y filtrado de señales también se usa a veces para la función de paso de Heaviside no relacionada .

Referencias

1. El Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa
2. Haslett, Charles (septiembre de 1855). Hackley, Charles W. (ed.). Libro de referencia práctica para mecánicos, maquinistas e ingenieros: contiene tablas y fórmulas para usar en mediciones superficiales y sólidas; resistencia y peso de los materiales; mecánica; maquinaria; hidráulica, hidrodinámica; motores marinos, química; y recetas diversas. Adaptado a y para el uso de todas las clases de mecánica práctica. Junto con el Libro de campo del ingeniero: que contiene fórmulas para las diversas líneas de circulación y cambio, ubicación de vías laterales y desvíos, etc., etc. Tablas de radios y sus logaritmos, senos versados ​​naturales y logarítmicos y secantes externas, senos naturales y tangentes para cada grado y minuto del cuadrante, y logaritmos de los números naturales del 1 al 10.000. Nueva York, Estados Unidos: James G. Gregory, sucesor de WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Consultado el 13 de agosto de 2017 . […] Aún así, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externas y senos versados, que han sido empleadas recientemente con gran éxito por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi , y que, con la Las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los ingenieros de esa carretera, se dan ahora al público por primera vez. […] Al presentar esta obra al público, el Autor reivindica para ella la adaptación de un nuevo principio en el análisis trigonométrico de las fórmulas generalmente utilizadas en los cálculos de campo. La experiencia ha demostrado que en los cálculos de curvas entran tan frecuentemente los senos y las secantes externas como los senos y las tangentes; y mediante su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en este trabajo, se cree que muchas de las reglas de uso general se simplifican mucho, y muchos cálculos relacionados con curvas y líneas continuas se hacen menos complejos y los resultados se obtienen con mayor precisión y distancia. menos problemas que por cualquier método establecido en obras de este tipo. Todos los ejemplos dados han sido sugeridos por la práctica real y se explicarán por sí solos. […] Como libro para uso práctico en el trabajo de campo, se cree con confianza que es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier trabajo que se utilice actualmente. Además de las tablas que generalmente se encuentran en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran trabajo, una tabla de senos versados ​​naturales y logarítmicos y secantes externas, calculadas en grados, para cada minuto; además, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1° a 60°. […]edición de 1856
3. Inman, James (1835) [1821]. Navegación y astronomía náutica: para uso de marineros británicos (3 ed.). Londres, Reino Unido: W. Woodward, C. y J. Rivington . Consultado el 9 de noviembre de 2015 .(Cuarta edición: [1].)
4. Zucker, Ruth (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.147: Funciones trascendentales elementales - Funciones circulares". En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 78.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Tapson, Frank (2004). "Notas generales sobre medidas: ángulos". 1.4. Cleave Libros. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2007 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
6. Oldham, Keith B.; Myland, enero C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. "32.13. Las funciones coseno cos (x) y seno sin (x) - funciones afines". Un atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (2 ed.). Springer Science + Business Media, LLC . pag. 322. doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
7. Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 11.1. Propiedades del seno y coseno". Manual de computación de funciones matemáticas: programación utilizando la biblioteca de software portátil MathCW (1 ed.). Salt Lake City, UT, EE.UU.: Springer International Publishing AG . pag. 301.doi : 10.1007 /978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
8. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (enero de 1909). "Ejercicios de repaso [100] Funciones trigonométricas secundarias". Escrito en Ann Arbor, Michigan, EE.UU. Trigonometría. vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York, Estados Unidos: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, Estados Unidos. págs. 125-127 . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
9. Boyer, Carl Benjamin (1969) [1959]. "5: Comentario sobre el artículo de EJ Dijksterhuis (Los orígenes de la mecánica clásica desde Aristóteles hasta Newton)". En Clagett, Marshall (ed.). Problemas críticos en la historia de la ciencia (3 ed.). Madison, Milwaukee y Londres: University of Wisconsin Press, Ltd. págs. 185-190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740 . Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
10. Swanson, Todd; Andersen, Janet; Keeley, Robert (1999). «5 (Funciones trigonométricas)» (PDF) . Precálculo: un estudio de funciones y sus aplicaciones . Harcourt Brace & Compañía . pag. 344. Archivado (PDF) desde el original el 17 de junio de 2003 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
11. Korn, Grandino Arturo; Korn, Teresa M. (2000) [1961]. "Apéndice B: B9. Trigonometría plana y esférica: fórmulas expresadas en términos de la función Haversine". Manual de matemáticas para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión (3 ed.). Mineola, Nueva York, EE.UU.: Dover Publications, Inc. págs. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.(Ver erratas).
12. Calvert, James B. (14 de septiembre de 2007) [10 de enero de 2004]. "Trigonometría". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2007 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
13. Edler von Braunmühl, Anton (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie - Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart [ Conferencias sobre historia de la trigonometría - desde la invención de los logaritmos hasta el presente ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner . pag. 231 . Consultado el 9 de diciembre de 2015 .
14. Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. Una historia de las notaciones matemáticas. vol. 2 (2 (tercera impresión corregida del número de 1929) ed.). Chicago, Estados Unidos: editorial Open Court . pag. 172.ISBN​ 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Consultado el 11 de noviembre de 2015 . El haversine aparece por primera vez en las tablas de versinos logarítmicos de José de Mendoza y Ríos (Madrid, 1801, también 1805, 1809), y posteriormente en un tratado sobre navegación de James Inman (1821). Véase JD White en Nautical Magazine (febrero y julio de 1926).(NB. ISBN y enlace para la reimpresión de la segunda edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
15. Shaneyfelt, Ted V. "德博士的 Notas sobre círculos, ज्य y कोज्य: ¿Qué diablos es una hacovercosina?". Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
16. Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analizar Algébrique". Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique (en francés). vol. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi .fecha de acceso=2015-11-07--> (reeditado por Cambridge University Press , 2009; ISBN 978-1-108-00208-0 ) 
17. Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward (14 de enero de 2010) [2009]. Buchwald, JZ (ed.). El curso de análisis de Cauchy: una traducción comentada. Cauchy, Agustín-Louis . Springer Science + Business Media, LLC . págs.10, 285. doi :10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Consultado el 9 de noviembre de 2015 . {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda ) (Ver erratas).
18. van Brummelen, Glen Robert (2013). Matemáticas celestiales: el arte olvidado de la trigonometría esférica. Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
19. Weisstein, Eric Wolfgang . "Vercosina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
20. Weisstein, Eric Wolfgang . "Cubiertas". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 27 de noviembre de 2005 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
21. Weisstein, Eric Wolfgang . "Hacoversina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
22. Ludlow, Henry cazar; Bajo, Edgar Gales (1891). Elementos de trigonometría con tablas logarítmicas y otras (3 ed.). Boston, Estados Unidos: John Wiley & Sons . pag. 33 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
23. Wentworth, George Albert (1903) [1887]. Trigonometría plana (2 ed.). Boston, Estados Unidos: Ginn and Company . pag. 5.
24. Kenyon, Alfred Monroe; Ingold, Luis (1913). Trigonometría. Nueva York, Estados Unidos: The Macmillan Company . págs. 8–9 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
25. Anderegg, Federico; Huevas, Edward Drake (1896). Trigonometría: para escuelas y colegios. Boston, Estados Unidos: Ginn and Company . pag. 10 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
26. Weisstein, Eric Wolfgang . "Cubiertacosina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 28 de marzo de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
27. Weisstein, Eric Wolfgang . "Haversine". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 10 de marzo de 2005 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
28. Fulst, Otto (1972). "17, 18". En Lütjen, Johannes; Stein, Walter; Zwiebler, Gerhard (eds.). Nautische Tafeln (en alemán) (24 ed.). Bremen, Alemania: Arthur Geist Verlag.
29. Sauer, Frank (2015) [2004]. "Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe" (en alemán). Hotheim am Taunus, Alemania: Astrosail. Archivado desde el original el 17 de septiembre de 2013 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
30. Jinete, Paul Reece; Davis, Alfred (1923). Trigonometría plana. Nueva York, Estados Unidos: D. Van Nostrand Company . pag. 42 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
31. "Haversine". Wolfram Language & System: Centro de documentación . 7.0. 2008. Archivado desde el original el 1 de septiembre de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
32. Rudzinski, Greg (julio de 2015). Ix, Hanón. "Reducción de mira ultracompacta". Navegador oceánico . Portland, ME, EE. UU.: Navigator Publishing LLC (227): 42–43. ISSN  0886-0149 . Consultado el 7 de noviembre de 2015 .
33. Weisstein, Eric Wolfgang . "Havercosina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
34. van Vlijmen, Oscar (28 de diciembre de 2005) [2003]. "Goniología". Eenheden, constanten en conversaciones . Archivado desde el original el 28 de octubre de 2009 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
35. Weisstein, Eric Wolfgang . "Hacovercosina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014 . Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
36. "sagita" . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía de una institución participante).
37. Boyer, Carl Benjamín ; Merzbach, Uta C. (6 de marzo de 1991) [1968]. Una historia de las matemáticas (2 ed.). Nueva York, Estados Unidos: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978. 0471543977 . Consultado el 10 de agosto de 2019 .
38. Miller, Jeff (10 de septiembre de 2007). "Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas (V)". Nuevo Puerto Richey, Florida, Estados Unidos. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015 . Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
39. de Mendoza y Ríos, José (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicación de su teórica á la solución de otros problemas de navegación (en español). Madrid, España: Imprenta Real.
40. Archibald, Raymond Clare (1945). "Tablas matemáticas recientes: 197 [C, D]. — Haversinas naturales y logarítmicas ..." Tablas matemáticas y otras ayudas para la computación . 1 (11): 421–422. doi : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .
41. Andrés, James (1805). Tablas astronómicas y náuticas con preceptos para encontrar la latitud y longitud de los lugares . vol. T. XIII. Londres. págs. 29-148.(Una mesa haversine de 7 posiciones de 0° a 120° en intervalos de 10").
42. "haversina". Diccionario de inglés Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . 1989.
43. White, JD (febrero de 1926). "(título desconocido)". Revista Náutica .(NB. Según Cajori, 1929, esta revista tiene una discusión sobre el origen de los haversines.)
44. White, JD (julio de 1926). "(título desconocido)". Revista Náutica .(NB. Según Cajori, 1929, esta revista tiene una discusión sobre el origen de los haversines.)
45. Farley, Richard (1856). Senos Versados ​​Naturales de 0 a 125° y Senos Versados ​​Logarítmicos de 0 a 135° . Londres.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(Una mesa haversine de 0° a 125°/135°.)
46. Hannyngton, John Caulfield (1876). Haversines, naturales y logarítmicos, utilizados en el cálculo de distancias lunares para el almanaque náutico . Londres.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(Una mesa haversine de 7 posiciones de 0° a 180°, log. haversines a intervalos de 15", nat. haversines a intervalos de 10").
47. Stark, Bruce D. (1997) [1995]. Tablas Stark para despejar la distancia lunar y encontrar el tiempo universal mediante la observación con sextante, incluida una forma conveniente de mejorar las habilidades de navegación celeste en tierra (2 ed.). Publicaciones Starpath. ISBN 978-0914025214. 091402521X . Consultado el 2 de diciembre de 2015 .(NB. Contiene una tabla de logaritmos gaussianos lg (1+10 ^−x ).)
48. Kalivoda, enero (30 de julio de 2003). "Bruce Stark - Tablas para despejar la distancia lunar y encontrar GMT mediante observación sextante (1995, 1997)" (Revisión). Praga, República Checa. Archivado desde el original el 12 de enero de 2004 . Consultado el 2 de diciembre de 2015 .[2][3]
49. Wildberger, Norman John (2005). Proporciones divinas: trigonometría racional a geometría universal (1 ed.). Australia: Wild Egg Pty Ltd. ISBN 0-9757492-0-X. Consultado el 1 de diciembre de 2015 .
50. Weisstein, Eric Wolfgang . "Versina". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2010 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
51. Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" ( código fuente Fortran 90 ). Greenbelt, Maryland, EE.UU.: Centro de vuelos espaciales Goddard de la NASA . Archivado desde el original el 16 de junio de 2008 . Consultado el 26 de octubre de 2015 .
52. van den Doel, Kees (25 de enero de 2010). "matemáticas de clase jass.utils". JASS - Sistema de síntesis de audio Java . 1.25. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2007 . Consultado el 26 de octubre de 2015 .
53. mf344 (4 de julio de 2014). "Perdido pero encantador: El Haversine". Revista más . maths.org. Archivado desde el original el 18 de julio de 2014 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .{{cite news}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
54. Skvarc, Jure (1 de marzo de 1999). "identify.py: un cliente asteroid_server que identifica mediciones en formato MPC". Fitsblink ( código fuente de Python ). Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2008 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
55. Skvarc, Jure (27 de octubre de 2014). "astrotrig.py: funciones relacionadas con la trigonometría astronómica" ( código fuente de Python ). Liubliana, Eslovenia: Telescopio Vega, Universidad de Liubliana . Archivado desde el original el 28 de noviembre de 2015 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
56. Ballew, Pat (8 de febrero de 2007) [2003]. "Versina". Palabras matemáticas, página 4 . Versina. Archivado desde el original el 8 de febrero de 2007 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
57. Weisstein, Eric Wolfgang . "Haversine inversa". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 8 de junio de 2008 . Consultado el 5 de octubre de 2015 .
58. "InverseHaversine". Wolfram Language & System: Centro de documentación . 7.0. 2008 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
59. Woodward, Ernest (diciembre de 1978). Geometría: solucionador de problemas planos, sólidos y analíticos. Guías de solución para solucionadores de problemas. Asociación de Investigación y Educación (REA). pag. 359.ISBN​ 978-0-87891-510-1.
60. Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (1959). Ciencia y civilización en China: matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 39.ISBN​ 9780521058018.
61. Boardman, Harry (1930). Tabla para uso en computación de arcos, cuerdas y versinas . Compañía de Hierro y Puente de Chicago . pag. 32.
62. Nair, PN Bhaskaran (1972). "Sistemas de medición de vías: conceptos y técnicas". Ferrocarril Internacional . Asociación del Congreso Internacional de Ferrocarriles, Unión Internacional de Ferrocarriles . 3 (3): 159–166. ISSN  0020-8442. OCLC  751627806.

Otras lecturas

• Hawking, Stephen William , ed. (2002). A hombros de gigantes: las grandes obras de la física y la astronomía . Filadelfia, Estados Unidos: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Consultado el 31 de julio de 2017 .

enlaces externos

• Pegg, hijo, ed . "Sagita, Apotema y Acorde". El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Funciones trigonométricas en GeoGebra.org