Proporciones divinas: trigonometría racional a la geometría universal es un libro de 2005 del matemático Norman J. Wildberger sobre un enfoque alternativo propuesto a lay la trigonometría euclidianas , llamado trigonometría racional . El libro aboga por reemplazar las cantidades básicas habituales de trigonometría, la distancia euclidiana y la medida del ángulo , por la distancia al cuadrado y el cuadrado del seno del ángulo, respectivamente. Esto es lógicamente equivalente al desarrollo estándar (ya que las cantidades de reposición se pueden expresar en términos de las estándar y viceversa). El autor afirma que su enfoque tiene algunas ventajas, como evitar la necesidad de números irracionales .
El libro fue "esencialmente autoeditado" [1] por Wildberger a través de su editorial Wild Egg. Las fórmulas y teoremas del libro se consideran matemáticas correctas, pero las afirmaciones sobre superioridad práctica o pedagógica son promovidas principalmente por el propio Wildberger y han recibido críticas mixtas.
La idea principal de Divinas Proporciones es reemplazar las distancias por la distancia euclidiana al cuadrado , que Wildberger llama cuadrancia , y reemplazar las medidas de los ángulos por los cuadrados de sus senos, que Wildberger llama la extensión entre dos líneas. Divine Proportions define ambos conceptos directamente a partir de las coordenadas cartesianas de puntos que determinan un segmento de línea o un par de líneas que se cruzan. Definidas de esta manera, son funciones racionales de esas coordenadas y se pueden calcular directamente sin la necesidad de tomar las raíces cuadradas o funciones trigonométricas inversas necesarias al calcular distancias o medidas de ángulos. [1]
Para Wildberger, un finitista , este reemplazo tiene la supuesta ventaja de evitar los conceptos de límite e infinito real utilizados en la definición de los números reales , que Wildberger afirma que son infundados. [2] [1] También permite que conceptos análogos se extiendan directamente desde los números racionales a otros sistemas numéricos, como campos finitos, utilizando las mismas fórmulas para cuadrancia y dispersión. [1] Además, este método evita la ambigüedad de los dos ángulos suplementarios formados por un par de rectas, ya que ambos ángulos tienen la misma extensión. Se afirma que este sistema es más intuitivo y se extiende más fácilmente de dos a tres dimensiones. [3] Sin embargo, a cambio de estos beneficios, se pierde la aditividad de las distancias y los ángulos: por ejemplo, si un segmento de recta se divide en dos, su longitud es la suma de las longitudes de los dos trozos, pero combinando las cuadrancias de las piezas es más complicada y requiere raíces cuadradas. [1]
Divinas Proporciones se divide en cuatro partes. La Parte I presenta una descripción general del uso de la cuadrancia y la extensión para reemplazar la distancia y el ángulo, y argumenta sus ventajas. La parte II formaliza las afirmaciones hechas en la parte I y las prueba rigurosamente. [1] En lugar de definir las líneas como conjuntos infinitos de puntos, se definen por sus coordenadas homogéneas , que pueden usarse en fórmulas para probar la incidencia de puntos y líneas. Al igual que el seno, el coseno y la tangente se reemplazan con equivalentes racionales, llamados "cruz" y "giro", y Divine Proportions desarrolla varios análogos de identidades trigonométricas que involucran estas cantidades, [3] incluidas versiones del teorema de Pitágoras , ley de los senos. y ley de los cosenos . [4]
La Parte III desarrolla la geometría de triángulos y secciones cónicas utilizando las herramientas desarrolladas en las dos partes anteriores. [1] Resultados bien conocidos, como la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados, o el teorema de los ángulos inscritos en la forma de que los ángulos subtendidos por una cuerda de un círculo desde otros puntos del círculo son iguales, son reformulado en términos de cuadrancia y dispersión, y por lo tanto generalizado a campos arbitrarios de números. [3] [5] Finalmente, la Parte IV considera aplicaciones prácticas en física y topografía, y desarrolla extensiones al espacio euclidiano de dimensiones superiores y a las coordenadas polares . [1]
Divine Proportions no supone mucho en cuanto a conocimientos matemáticos para sus lectores, pero sus numerosas fórmulas largas, su frecuente consideración de campos finitos y (después de la parte I) su énfasis en el rigor matemático probablemente sean obstáculos para una audiencia matemática popular . En cambio, está escrito principalmente para profesores e investigadores de matemáticas. Sin embargo, también puede ser legible por estudiantes de matemáticas y contiene ejercicios que permiten utilizarlo como base para un curso de matemáticas. [dieciséis ]
La característica del libro que fue recibida más positivamente por los críticos fue su trabajo que extiende los resultados en geometría de distancias y ángulos a campos finitos. La crítica Laura Wiswell encontró este trabajo impresionante y quedó encantada con el resultado de que el campo finito más pequeño que contiene un pentágono regular es . [1] Michael Henle llama a la extensión de la geometría de triángulos y secciones cónicas a campos finitos, en la parte III del libro, "una teoría elegante de gran generalidad", [4] y William Barker también escribe con aprobación sobre este aspecto del libro, calificándolo de "particularmente novedoso" y posiblemente abriendo nuevas direcciones de investigación. [6]
Wiswell plantea la cuestión de cuántos de los resultados detallados presentados sin atribución en este trabajo son realmente novedosos. [1] En este sentido, Michael Henle señala que el uso de la distancia euclidiana al cuadrado "a menudo se ha considerado conveniente en otros lugares"; [4] por ejemplo, se utiliza en geometría de distancias , estadística de mínimos cuadrados y optimización convexa . James Franklin señala que para espacios de tres o más dimensiones, modelados convencionalmente usando álgebra lineal , el uso de la dispersión por Divinas Proporciones no es muy diferente de los métodos estándar que involucran productos escalares en lugar de funciones trigonométricas. [5]
Una ventaja de los métodos de Wildberger señalada por Henle es que, debido a que implican sólo álgebra simple, las demostraciones son fáciles de seguir y fáciles de verificar para una computadora. Sin embargo, sugiere que las afirmaciones del libro de una mayor simplicidad en su teoría general se basan en una comparación falsa en la que la cuadrancia y la extensión no se comparan con los correspondientes conceptos clásicos de distancias, ángulos y senos, sino con el conjunto mucho más amplio de herramientas de la teoría clásica. trigonometría. También señala que, para un estudiante con una calculadora científica, las fórmulas que evitan raíces cuadradas y funciones trigonométricas no son un problema, [4] y Barker agrega que las nuevas fórmulas a menudo implican un mayor número de pasos de cálculo individuales. [6] Aunque varios revisores sintieron que una reducción en la cantidad de tiempo necesaria para enseñar trigonometría a los estudiantes sería muy bienvenida, [3] [5] [7] Paul Campbell se muestra escéptico de que estos métodos realmente aceleren el aprendizaje. [7] Gerry Leversha mantiene la mente abierta y escribe que "será interesante ver algunos de los libros de texto dirigidos a escolares [que Wildberger] ha prometido producir, y... experimentos controlados con estudiantes conejillos de indias". [3] Sin embargo , hasta 2020 [update], estos libros de texto y experimentos no se han publicado.
A Wiswell no le convence la afirmación de que la geometría convencional tenga defectos fundamentales que estos métodos evitan. [1] Si bien está de acuerdo con Wiswell, Barker señala que puede haber otros matemáticos que comparten las sospechas filosóficas de Wildberger sobre el infinito, y que este trabajo debería ser de gran interés para ellos. [6]
Una última cuestión planteada por múltiples revisores es la inercia: suponiendo, en aras del argumento, que estos métodos son mejores, ¿son lo suficientemente mejores como para que valga la pena el gran esfuerzo individual de volver a aprender geometría y trigonometría en estos términos, y el esfuerzo institucional de volver a aprender la geometría y la trigonometría en estos términos? -¿Trabajar en el plan de estudios escolar para utilizarlos en lugar de la geometría y la trigonometría clásicas? Henle, Barker y Leversha concluyen que el libro no ha defendido esto, [3] [4] [6] pero Sandra Arlinghaus ve este trabajo como una oportunidad para campos como su geografía matemática "que han invertido relativamente poco en rigidez institucional tradicional" para demostrar la promesa de tal reemplazo. [8]
