Tabla de acordes de Ptolomeo

La tabla de cuerdas , creada por el astrónomo, geómetra y geógrafo griego Ptolomeo en Egipto durante el siglo II d. C., es una tabla trigonométrica del Libro I, capítulo 11 del Almagesto de Ptolomeo , ^[1] un tratado sobre astronomía matemática . Es esencialmente equivalente a una tabla de valores de la función seno . Fue la primera tabla trigonométrica lo suficientemente extensa para muchos propósitos prácticos, incluidos los de la astronomía (una tabla de cuerdas anterior de Hiparco proporcionó cuerdas solo para arcos que eran múltiplos de ⁠7+1/2° = $π$ /24⁠ radianes ).^[2] Desde los siglos VIII y IX, el seno y otras funciones trigonométricas se han utilizado en las matemáticas y la astronomía islámicas, reformando la producción de tablas de senos.^[3] Khwarizmi y Habash al-Hasib produjeron posteriormente un conjunto de tablas trigonométricas.

La función acorde y la tabla

Una cuerda de un círculo es un segmento de línea cuyos puntos finales están en el círculo. Ptolomeo utilizó un círculo cuyo diámetro es de 120 partes. Tabuló la longitud de una cuerda cuyos puntos finales están separados por un arco de n grados, para n que van desde ⁠1/2⁠ hasta 180 en incrementos de ⁠1/2⁠ . En notación moderna, la longitud de la cuerda correspondiente a un arco de θ grados es

{\begin{aligned}&\operatorname {acorde} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radianes}}\right)\right).\end{aligned}}

A medida que θ va de 0 a 180, la cuerda de un arco de θ ° va de 0 a 120. Para arcos pequeños, la cuerda es al ángulo del arco en grados lo que $π$ es a 3, o más precisamente, la relación se puede hacer tan cercana como se desee a ⁠ $π$ /3⁠ ≈ 1.047 197 55 haciendo que θ sea lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, para el arco de ⁠1/2⁠ ° , la longitud de la cuerda es ligeramente mayor que el ángulo del arco en grados. A medida que el arco aumenta, la relación entre la cuerda y el arco disminuye. Cuando el arco alcanza los 60° , la longitud de la cuerda es exactamente igual al número de grados del arco, es decir, cuerda 60° = 60. Para arcos de más de 60°, la cuerda es menor que el arco, hasta que se alcanza un arco de 180°, cuando la cuerda es solo de 120.

Las partes fraccionarias de las longitudes de las cuerdas se expresaban en números sexagesimales (base 60). Por ejemplo, cuando se informa que la longitud de una cuerda subtendida por un arco de 112° es 99,29,5, tiene una longitud de

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},

redondeado al ⁠ más cercano1/60 ²⁠ . ^[1]

Después de las columnas del arco y la cuerda, hay una tercera columna denominada "sesentavos". Para un arco de θ °, la entrada en la columna "sesentavos" es

{\frac {\operatorname {acorde} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {acorde} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.

Este es el número promedio de sexagésimos de una unidad que se debe agregar a la cuerda ( θ °) cada vez que el ángulo aumenta en un minuto de arco, entre la entrada para θ ° y la de ( θ + ⁠1/2⁠ )°. Por lo tanto, se utiliza para la interpolación lineal . Glowatzki y Göttsche demostraron que Ptolomeo debió haber calculado cuerdas con cinco cifras sexigésimas para lograr el grado de precisión que se encuentra en la columna de los "sesentaavos". ^[4]^[5]

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arco}}^{\circ }&{\text{acorde}}&&&{\text{sesentavos}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos \\109&97&41&38&0\cuadrado 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\cuadrado 0&36&9\\110&98&17&54&0\cuadrado 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\cuadrado 0&35&42\\111&98&53&43&0\cuadrado 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\cuadrado 0&35&15\\112&99&29&5&0\cuadrado 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\cuadrado 0&34&48\\113&100&3&59&0\cuadrado 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos \\179&119&59&44&0\cuadrado 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\cuadrado 0&0&9\\180&120&0&0&0\cuadrado 0&0&0\\\hline \end{array}}

Cómo Ptolomeo calculó los acordes

El capítulo 10 del Libro I del Almagesto presenta teoremas geométricos utilizados para calcular cuerdas. Ptolomeo utilizó el razonamiento geométrico basado en la Proposición 10 del Libro XIII de los Elementos de Euclides para hallar las cuerdas de 72° y 36°. Esa Proposición establece que si un pentágono equilátero está inscrito en un círculo, entonces el área del cuadrado del lado del pentágono es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscrito en el mismo círculo.

Utilizó el teorema de Ptolomeo sobre cuadriláteros inscritos en un círculo para derivar fórmulas para la cuerda de un semiarco, la cuerda de la suma de dos arcos y la cuerda de una diferencia de dos arcos. El teorema establece que para un cuadrilátero inscrito en un círculo , el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los productos de los dos pares de longitudes de lados opuestos. Las derivaciones de identidades trigonométricas se basan en un cuadrilátero cíclico en el que un lado es un diámetro del círculo.

Para hallar las cuerdas de los arcos de 1° y ⁠1/2⁠ ° utilizó aproximaciones basadas en la desigualdad de Aristarco . La desigualdad establece que para los arcos α y β , si 0 < β < α < 90°, entonces

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.

Ptolomeo demostró que para arcos de 1° y ⁠1/2⁠ °, las aproximaciones dan correctamente los dos primeros lugares sexagesimales después de la parte entera.

Exactitud

Gerald J. Toomer, en su traducción del Almagesto, da siete entradas en las que algunos manuscritos tienen errores de copista, cambiando un "dígito" (una letra, véase más abajo). Glenn Elert ha hecho una comparación entre los valores de Ptolomeo y los valores verdaderos (120 veces el seno de la mitad del ángulo) y ha descubierto que el error cuadrático medio es de 0,000136. Pero gran parte de esto se debe simplemente al redondeo al 1/3600 más cercano, ya que esto equivale a 0,0002777... Sin embargo, hay muchas entradas en las que el último "dígito" tiene una diferencia de 1 (demasiado alto o demasiado bajo) con respecto al mejor valor redondeado. Los valores de Ptolomeo suelen ser demasiado altos en 1 en el último lugar, y más hacia los ángulos más altos. Los errores más grandes son de alrededor de 0,0004, lo que todavía corresponde a un error de solo 1 en el último dígito sexagesimal . ^[6]

El sistema de numeración y la apariencia de la tabla no traducida

Las longitudes de los arcos del círculo, en grados, y las partes enteras de las longitudes de las cuerdas, se expresaron en un sistema numérico de base 10 que utilizaba 21 de las letras del alfabeto griego con los significados que se dan en la siguiente tabla, y un símbolo, "∠′ " , que significa ⁠1/2⁠ y un círculo en relieve "○" que llena un espacio en blanco (que representa efectivamente el cero). Tres de las letras, etiquetadas como "arcaicas" en la tabla a continuación, no se habían utilizado en el idioma griego durante algunos siglos antes de que se escribiera el Almagesto , pero todavía se usaban como números y notas musicales .

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}

Así, por ejemplo, un arco de ⁠143+1/2⁠ ° se expresa como ρμγ ∠′. (Como la tabla solo llega a 180°, no se utilizan los números griegos para 200 y más).

Las partes fraccionarias de las longitudes de las cuerdas requerían una gran precisión y se daban en notación sexagesimal en dos columnas de la tabla: La primera columna da un múltiplo entero de ⁠1/60⁠ , en el rango 0–59, siendo el segundo un múltiplo entero de ⁠1/60 ²⁠ = ⁠1/3600⁠ , también en el rango 0–59.

Así, en la edición de Heiberg del Almagesto con la tabla de acordes en las páginas 48-63, el comienzo de la tabla, correspondiente a los arcos de ⁠1/2° a 7+1/2° , se ve así:

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

Más adelante en la tabla, se puede ver la naturaleza de base 10 de los numerales que expresan las partes enteras del arco y la longitud de la cuerda. Por lo tanto, un arco de 85° se escribe como πε ( π para 80 y ε para 5) y no se descompone en 60 + 25. La longitud de cuerda correspondiente es 81 más una parte fraccionaria. La parte entera comienza con πα , igualmente no se descompone en 60 + 21. Pero la parte fraccionaria, ⁠4/60⁠ + ⁠15/60 ²⁠ , se escribe como δ , para 4, en el ⁠1/60⁠ columna, seguida de ιε , para 15, en la ⁠1/60 ²⁠ columna.

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

La tabla tiene 45 líneas en cada una de las ocho páginas, para un total de 360 líneas.

Véase también

Tabla de senos de Aryabhata
Exsecante
Fundamentum Astronomiae , un libro que establece un algoritmo para el cálculo preciso de senos, publicado a fines del siglo XVI.
Matemáticas griegas
Tabla de senos de Madhava
Ptolomeo
Escala de acordes
Versina

Referencias

^ ab Toomer, GJ (1998), Almagesto de Ptolomeo , Princeton University Press , ISBN 0-691-00260-6
^ Thurston, págs. 235-236.
^ Berggren, JL (2016). Episodios en las matemáticas del Islam medieval. doi :10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.
^ Traducción de Toomer del Almaagest, 1984, nota al pie 68, páginas 57-59.
^ Ernst Glowatzki y Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet. , Múnich, 1976.
^ Glenn Elert. "La tabla de acordes de Ptolomeo: trigonometría en el siglo II: ¿Qué tan precisa es la tabla de acordes?". E-World . Hypertextbook.com.Elert afirma que "la tabla es precisa hasta tres decimales, no los cinco o seis que mencioné en el cuerpo principal del documento", pero de hecho los "cinco o seis" decimales (después del punto decimal) eran 120 veces más pequeños. $\sin(\theta /2)$

Aaboe, Asger (1997), Episodios de la historia temprana de las matemáticas , Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-613-0
Clagett, Marshall (2002), La ciencia griega en la antigüedad , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-8369-2150-2
Neugebauer, Otto (1975), Una historia de la astronomía matemática antigua , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
Olaf Pedersen (1974) Un estudio del Almagest , Prensa de la Universidad de Odense ISBN 87-7492-087-1
Thurston, Hugh (1996), Astronomía temprana , Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

Enlaces externos

JL Heiberg Almagest, Tabla de acordes en las páginas 48–63.
Glenn Elert Tabla de acordes de Ptolomeo: trigonometría en el siglo II
Almagesto en griego y francés, en el archivo de Internet.