Jyā , koṭi-jyā y utkrama-jyā son tres funciones trigonométricas introducidas por matemáticos y astrónomos indios . El tratado indio más antiguo conocido que contiene referencias a estas funciones es Surya Siddhanta . [1] Estas son funciones de arcos de círculo y no funciones de ángulos. Jyā y koti-jyā están estrechamente relacionados con las funciones trigonométricas modernas de seno y coseno . De hecho, los orígenes de los términos modernos "seno" y "coseno" se remontan a las palabras sánscritas jyā y koti-jyā. [1]
Sea 'arco AB' un arco cuyas dos extremidades son A y B de un círculo con centro O. Si se deja caer una perpendicular BM desde B a OA, entonces:
Si el radio del círculo es R y la longitud del arco AB es s , el ángulo subtendido por el arco AB en O medido en radianes es θ = s / R . Las tres funciones indias están relacionadas con las funciones trigonométricas modernas de la siguiente manera:
Un arco de círculo es como un arco y por eso se llama dhanu o chāpa , que en sánscrito significa "un arco". La línea recta que une los dos extremos de un arco de círculo es como la cuerda de un arco y esta línea es una cuerda del círculo. Este acorde se llama jyā , que en sánscrito significa "cuerda de arco", presumiblemente traduciendo el χορδή de Hiparco con el mismo significado [ cita requerida ] . La palabra jīvá también se utiliza como sinónimo de jyā en la literatura geométrica. [2] En algún momento, los astrónomos y matemáticos indios se dieron cuenta de que los cálculos serían más convenientes si se usaran las mitades de las cuerdas en lugar de las cuerdas completas y se asociaran las medias cuerdas con las mitades de los arcos. [1] [3] Los semicordes se llamaban ardha-jyā s o jyā-ardha s. Estos términos fueron nuevamente acortados a jyā omitiendo el calificativo ardha que significa "la mitad de".
La palabra sánscrita koṭi tiene el significado de "punta, cúspide", y específicamente "el extremo curvo de un arco ". En trigonometría, pasó a denotar "el complemento de un arco a 90°". Así, koṭi-jyā es "la jyā del arco complementario". En los tratados indios, especialmente en los comentarios, koṭi-jyā suele abreviarse como kojyā . El término koṭi también denota "el lado de un triángulo rectángulo". Así, koṭi-jyā también podría significar el otro cateto de un triángulo rectángulo, siendo el primer cateto el jyā . [ se necesita aclaración ] [1]
Utkrama significa "invertido", por lo que utkrama-jyā significa "acorde invertido". Los valores tabulares de utkrama-jyā se derivan de los valores tabulares de jyā restando los elementos del radio en orden inverso. [ se necesita aclaración ] Esta es realmente [ se necesita aclaración ] la flecha entre el arco y la cuerda del arco y por eso también se le ha llamado bāṇa , iṣu o śara , todos significando "flecha". [1]
Un arco de círculo que subtiende un ángulo de 90° en el centro se llama vritta-pāda (un cuadrado de círculo). Cada signo zodiacal define un arco de 30° y tres signos zodiacales consecutivos definen un vritta-pāda . El jyā de un vritta-pāda es el radio del círculo. Los astrónomos indios acuñaron el término tri-jyā para denotar el radio del círculo base, siendo el término tri-jyā indicativo de "el jyā de los tres signos". El radio también se llama vyāsārdha , viṣkambhārdha , vistarārdha , etc., todos significando "semidiámetro". [1]
Según una convención, las funciones jyā y koti-jyā se denotan respectivamente con "Rsin" y "Rcos" y se tratan como palabras únicas. [1] Otros denotan jyā y koti-jyā respectivamente por "Sin" y "Cos" (las primeras letras son mayúsculas a diferencia de las primeras letras minúsculas en funciones ordinarias de seno y coseno). [3]
Los orígenes del término moderno sine se remontan a la palabra sánscrita jyā , [4] [5] o más específicamente a su sinónimo jīvá . Este término fue adoptado en las matemáticas islámicas medievales , transliterado en árabe como jība (جيب). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, y como préstamo la vocal larga se denota aquí con yāʾ , esto se interpretó como el homógrafo jaib , jayb (جيب), que significa "seno". El traductor latino del texto del siglo XII utilizó el equivalente latino de "seno", sinus . [6] Cuando jyā se convirtió en sinusal , se ha sugerido que, por analogía, kojyā se convirtió en co-sinus . Sin embargo, en los textos medievales tempranos, el coseno se llama seno complementario "seno del complemento", lo que sugiere que la similitud con kojyā es una coincidencia. [7]