función de hann

Función matemática utilizada en el procesamiento de señales.

Función de Hann (izquierda) y su respuesta en frecuencia (derecha)

La función Hann lleva el nombre del meteorólogo austriaco Julius von Hann . Es una función de ventana que se utiliza para realizar el suavizado de Hann . ^[1] La función, con longitud y amplitud, viene dada por : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1/L,}$

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$   ^[a]

Para el procesamiento de señales digitales , la función se muestrea simétricamente (con espaciado y amplitud ) : ${\displaystyle L/N}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

que es una secuencia de muestras y puede ser par o impar. (ver § Ventanas de Hann y Hamming ) También se la conoce como ventana de coseno elevado , filtro de Hann , ventana de von Hann , etc. ^{[2] [3]} ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

Transformada de Fourier

Arriba: 16 muestras de ventana DFT par de Hann. Abajo: Su transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y los 3 valores distintos de cero de su transformada de Fourier discreta (DFT).

La transformada de Fourier viene dada por: ${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$   ^[b]

Derivación

Usando la fórmula de Euler para expandir el término coseno podemos escribir : ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}$

que es una combinación lineal de ventanas rectangulares moduladas :

${\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}$

Transformando cada término :

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}$

Transformaciones discretas

La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia de longitud desplazada en el tiempo se define mediante una serie de Fourier, que también tiene un equivalente de 3 términos que se deriva de manera similar a la derivación de la transformada de Fourier : ${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

La secuencia truncada es una ventana de Hann DFT par (también conocida como periódica ). Dado que la muestra truncada tiene valor cero, de la definición de la serie de Fourier se desprende claramente que las DTFT son equivalentes. Sin embargo, el enfoque seguido anteriormente da como resultado una expresión de tres términos de aspecto significativamente diferente, pero equivalente : ${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

Una DFT de longitud N de la función de ventana muestra la DTFT en frecuencias para valores enteros de A partir de la expresión inmediatamente anterior, es fácil ver que solo 3 de los coeficientes N DFT son distintos de cero. Y de la otra expresión se desprende que todos tienen un valor real. Estas propiedades son atractivas para aplicaciones en tiempo real que requieren transformaciones con ventana y sin ventana (con ventana rectangular), porque las transformaciones con ventana se pueden derivar eficientemente de las transformaciones sin ventana mediante convolución . ^{[4] [c] [d]} ${\displaystyle f=k/N,}$ ${\displaystyle k.}$

Nombre

La función lleva el nombre de von Hann, quien utilizó la técnica de suavizado promedio ponderado de tres términos en datos meteorológicos. ^{[5] [2]} Sin embargo, el término función de Hanning también se usa convencionalmente, ^[6] derivado del artículo en el que el término "hanning" se usó para significar aplicarle la ventana de Hann. ^{[7] [8]} La confusión surgió de la función similar de Hamming , que lleva el nombre de Richard Hamming .

Ver también

• Función de ventana
• apodización
• Distribución de coseno elevado
• Filtro de coseno elevado

Citas de página

1. Nuttall 1981, pág.84 (3)
2. Nuttall 1981, pág.86 (17)
3. Nuttall 1981, pág.85
4. Harris 1978, pág.62

Referencias

1. Essenwanger, OM (Oskar M.) (1986). Elementos del análisis estadístico . Elsevier. ISBN 0444424261. OCLC  152410575.
2. Kahlig, Peter (1993), "Algunos aspectos de la contribución de Julius von Hann a la climatología moderna", en McBean, GA; Hantel, M. (eds.), Interacciones entre subsistemas climáticos globales: el legado de Hann , Serie de monografías geofísicas, vol. 75, Unión Geofísica Estadounidense, págs. 1 a 7, doi :10.1029/gm075p0001, ISBN 9780875904665, recuperado el 1 de julio de 2019 , Hann parece ser el inventor de un determinado procedimiento de suavizado de datos, ahora llamado "hanning"... o "suavizado de Hann"... Esencialmente, es un promedio móvil de tres términos (media móvil ) con pesos desiguales (1/4, 1/2, 1/4).
3. Smith, Julius O. (Julius Orion) (2011). Procesamiento de señales de audio espectrales. Universidad Stanford. Centro de Investigación Informática en Música y Acústica., Universidad de Stanford. Departamento de Música. [¿Stanford, California?]: W3K. ISBN 9780974560731. OCLC  776892709.
4. Patente estadounidense 6898235, Carlin, Joe; Collins, Terry & Hays, Peter et al., "Dispositivo de búsqueda de dirección y interceptación de comunicación de banda ancha mediante hipercanalización", publicado el 10 de diciembre de 1999, publicado el 24 de mayo de 2005 , también disponible en https://patentimages.storage.googleapis. com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf 
5. von Hann, Julio (1903). Manual de climatología. Macmillan. pag. 199. Las cifras bajo b se determinan teniendo en cuenta los paralelos a 5° de distancia a cada lado. Así, por ejemplo, para una latitud de 60° tenemos ½[60 + (65 + 55)÷2].
6. Harris, Fredric J. (enero de 1978). «Sobre el uso de Windows para Análisis Armónicos con la Transformada Discreta de Fourier» (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. El nombre correcto de esta ventana es 'Hann'. El término 'Hanning' se utiliza en este informe para reflejar el uso convencional. El término derivado 'Hann'd' también se utiliza ampliamente. 
7. Blackman, RB ; Tukey, JW (1958). "La medición de los espectros de potencia desde el punto de vista de la ingeniería de comunicaciones - Parte I". La revista técnica de Bell System . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN  0005-8580.
8. Blackman, RB (Ralph Beebe) ; Tukey, John W. (John Wilder) (1959). La medida de espectros de potencia desde el punto de vista de la ingeniería de comunicaciones. Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.98. LCCN  59-10185.

9. Nuttall, Albert H. (febrero de 1981). "Algunas ventanas con muy buen comportamiento de los lóbulos laterales". Transacciones IEEE sobre acústica, voz y procesamiento de señales . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.

enlaces externos

• Función de Hann en MathWorld