Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry es un libro de 2005 del matemático Norman J. Wildberger sobre un enfoque alternativo propuesto paray la trigonometría euclidianas , llamado trigonometría racional . El libro aboga por reemplazar las cantidades básicas habituales de la trigonometría, la distancia euclidiana y la medida del ángulo , por la distancia al cuadrado y el cuadrado del seno del ángulo, respectivamente. Esto es lógicamente equivalente al desarrollo estándar (ya que las cantidades de reemplazo se pueden expresar en términos de las estándar y viceversa). El autor afirma que su enfoque tiene algunas ventajas, como evitar la necesidad de números irracionales .
El libro fue "básicamente autoeditado" [1] por Wildberger a través de su editorial Wild Egg. Las fórmulas y teoremas del libro se consideran matemáticas correctas, pero las afirmaciones sobre la superioridad práctica o pedagógica las promueve principalmente el propio Wildberger y han recibido críticas mixtas.
La idea principal de las proporciones divinas es reemplazar las distancias por la distancia euclidiana al cuadrado , que Wildberger llama cuadratura , y reemplazar las medidas de los ángulos por los cuadrados de sus senos, que Wildberger llama la extensión entre dos líneas. Las proporciones divinas definen ambos conceptos directamente a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos que determinan un segmento de línea o un par de líneas que se cruzan. Definidas de esta manera, son funciones racionales de esas coordenadas, y se pueden calcular directamente sin la necesidad de tomar las raíces cuadradas o las funciones trigonométricas inversas requeridas al calcular distancias o medidas de ángulos. [1]
Para Wildberger, un finitista , este reemplazo tiene la supuesta ventaja de evitar los conceptos de límites e infinito real utilizados para definir los números reales , que Wildberger afirma que son infundados. [2] [1] También permite que conceptos análogos se extiendan directamente de los números racionales a otros sistemas numéricos como los cuerpos finitos utilizando las mismas fórmulas para la cuadrancia y la dispersión. [1] Además, este método evita la ambigüedad de los dos ángulos suplementarios formados por un par de líneas, ya que ambos ángulos tienen la misma dispersión. Se afirma que este sistema es más intuitivo y que se extiende más fácilmente de dos a tres dimensiones. [3] Sin embargo, a cambio de estos beneficios, se pierde la aditividad de las distancias y los ángulos: por ejemplo, si un segmento de línea se divide en dos, su longitud es la suma de las longitudes de las dos partes, pero combinar las cuadrancias de las partes es más complicado y requiere raíces cuadradas. [1]
Divine Proportions se divide en cuatro partes. La Parte I presenta una descripción general del uso de la cuadratura y la dispersión para reemplazar la distancia y el ángulo, y argumenta sus ventajas. La Parte II formaliza las afirmaciones realizadas en la Parte I y las prueba rigurosamente. [1] En lugar de definir las líneas como conjuntos infinitos de puntos, se definen por sus coordenadas homogéneas , que pueden usarse en fórmulas para probar la incidencia de puntos y líneas. Al igual que el seno, el coseno y la tangente se reemplazan con equivalentes racionales, llamados "cruz" y "giro", y Divine Proportions desarrolla varios análogos de identidades trigonométricas que involucran estas cantidades, [3] incluyendo versiones del teorema de Pitágoras , la ley de los senos y la ley de los cosenos . [4]
La Parte III desarrolla la geometría de triángulos y secciones cónicas utilizando las herramientas desarrolladas en las dos partes anteriores. [1] Resultados bien conocidos como la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados, o el teorema del ángulo inscrito en la forma de que los ángulos subtendidos por una cuerda de un círculo desde otros puntos del círculo son iguales, se reformulan en términos de cuadrancia y dispersión, y por lo tanto se generalizan a campos arbitrarios de números. [3] [5] Finalmente, la Parte IV considera aplicaciones prácticas en física y topografía, y desarrolla extensiones al espacio euclidiano de dimensiones superiores y a las coordenadas polares . [1]
Divine Proportions no da por sentado que sus lectores tengan una formación matemática muy sólida, pero sus numerosas y extensas fórmulas, la frecuente consideración de cuerpos finitos y (después de la primera parte) el énfasis en el rigor matemático probablemente sean obstáculos para un público matemático popular . En cambio, está escrito principalmente para profesores e investigadores de matemáticas. Sin embargo, también puede ser de fácil lectura para estudiantes de matemáticas y contiene ejercicios que permiten utilizarlo como base para un curso de matemáticas. [1] [6]
La característica del libro que fue recibida más positivamente por los críticos fue su trabajo que extiende los resultados en geometría de distancias y ángulos a cuerpos finitos. La crítica Laura Wiswell encontró este trabajo impresionante, y quedó encantada con el resultado de que el cuerpo finito más pequeño que contiene un pentágono regular es . [1] Michael Henle llama a la extensión de la geometría de triángulos y secciones cónicas a cuerpos finitos, en la parte III del libro, "una teoría elegante de gran generalidad", [4] y William Barker también escribe con aprobación sobre este aspecto del libro, llamándolo "particularmente novedoso" y posiblemente abriendo nuevas direcciones de investigación. [6]
Wiswell plantea la cuestión de cuántos de los resultados detallados presentados sin atribución en este trabajo son realmente novedosos. [1] En este sentido, Michael Henle señala que el uso de la distancia euclidiana al cuadrado "a menudo se ha considerado conveniente en otros lugares"; [4] por ejemplo, se utiliza en geometría de distancias , estadísticas de mínimos cuadrados y optimización convexa . James Franklin señala que para espacios de tres o más dimensiones, modelados convencionalmente utilizando álgebra lineal , el uso de la dispersión por proporciones divinas no es muy diferente de los métodos estándar que involucran productos puntuales en lugar de funciones trigonométricas. [5]
Una ventaja de los métodos de Wildberger que Henle señaló es que, debido a que involucran solo álgebra simple, las pruebas son fáciles de seguir y fáciles de verificar para una computadora. Sin embargo, sugiere que las afirmaciones del libro de una mayor simplicidad en su teoría general se basan en una comparación falsa en la que la cuadratura y la dispersión se ponderan no contra los conceptos clásicos correspondientes de distancias, ángulos y senos, sino contra el conjunto mucho más amplio de herramientas de la trigonometría clásica. También señala que, para un estudiante con una calculadora científica, las fórmulas que evitan las raíces cuadradas y las funciones trigonométricas no son un problema, [4] y Barker agrega que las nuevas fórmulas a menudo involucran un mayor número de pasos de cálculo individuales. [6] Aunque varios revisores sintieron que una reducción en la cantidad de tiempo necesario para enseñar trigonometría a los estudiantes sería muy bienvenida, [3] [5] [7] Paul Campbell es escéptico de que estos métodos realmente aceleren el aprendizaje. [7] Gerry Leversha mantiene una mente abierta y escribe que "será interesante ver algunos de los libros de texto dirigidos a los alumnos escolares [que Wildberger] ha prometido producir, y... experimentos controlados que involucran a estudiantes como conejillos de indias". [3] Sin embargo, estos libros de texto y experimentos no se han publicado.
Wiswell no está convencido de la afirmación de que la geometría convencional tiene defectos fundamentales que estos métodos evitan. [1] Aunque está de acuerdo con Wiswell, Barker señala que puede haber otros matemáticos que compartan las sospechas filosóficas de Wildberger sobre el infinito, y que este trabajo debería ser de gran interés para ellos. [6]
Una última cuestión planteada por varios revisores es la inercia: suponiendo, a modo de argumento, que estos métodos son mejores, ¿son lo suficientemente mejores como para que valga la pena el gran esfuerzo individual de volver a aprender geometría y trigonometría en estos términos, y el esfuerzo institucional de reestructurar el currículo escolar para utilizarlos en lugar de la geometría y trigonometría clásicas? Henle, Barker y Leversha concluyen que el libro no ha demostrado su valía en este sentido [3] [4] [6], pero Sandra Arlinghaus ve este trabajo como una oportunidad para que campos como su geografía matemática "que han invertido relativamente poco en la rigidez institucional tradicional" demuestren la promesa de tal reemplazo. [8]
