Filtro de coseno elevado

Filtro formador de pulsos en modulación digital.

El filtro de coseno elevado es un filtro que se utiliza frecuentemente para la conformación de pulsos en modulación digital debido a su capacidad para minimizar la interferencia entre símbolos (ISI). Su nombre surge del hecho de que la porción distinta de cero del espectro de frecuencias en su forma más simple ( ) es una función coseno , "elevada" para situarse por encima del eje (horizontal). ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle f}$

Descripción matemática

Respuesta de frecuencia del filtro de coseno elevado con varios factores de atenuación

Respuesta al impulso del filtro de coseno elevado con varios factores de atenuación

El filtro de coseno elevado es una implementación de un filtro Nyquist de paso bajo , es decir, uno que tiene la propiedad de simetría vestigial. Esto significa que su espectro presenta una simetría extraña respecto a , donde está el período del símbolo del sistema de comunicaciones. ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ ${\displaystyle T}$

Su descripción en el dominio de la frecuencia es una función definida por partes , dada por:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

o en términos de havercosenos :

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

para

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

y caracterizado por dos valores; , el factor de caída , y , el recíproco de la tasa de símbolo. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T}$

La respuesta al impulso de dicho filtro ^[1] viene dada por:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

en términos de la función sinc normalizada . Aquí, se trata de "comunicaciones sinc" más que de matemáticas. ${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$

factor de caída

El factor de caída , es una medida del exceso de ancho de banda del filtro, es decir, el ancho de banda ocupado más allá del ancho de banda de Nyquist de . Algunos autores utilizan . ^[2] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Si denotamos el exceso de ancho de banda como , entonces: ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

¿ Dónde está la tasa de símbolo? ${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$

El gráfico muestra la respuesta de amplitud que varía entre 0 y 1, y el efecto correspondiente sobre la respuesta al impulso . Como puede verse, el nivel de ondulación en el dominio del tiempo aumenta a medida que disminuye. Esto muestra que el exceso de ancho de banda del filtro se puede reducir, pero sólo a expensas de una respuesta de impulso alargada. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

b = 0

A medida que se acerca a 0, la zona de caída se vuelve infinitamente estrecha, por lo tanto: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

¿Dónde está la función rectangular , por lo que la respuesta al impulso se aproxima ? Por lo tanto, en este caso converge hacia un filtro ideal o de pared de ladrillos . ${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$ ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

b = 1

Cuando , la porción distinta de cero del espectro es un coseno elevado puro, lo que lleva a la simplificación: ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

o

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Banda ancha

El ancho de banda de un filtro de coseno elevado se define más comúnmente como el ancho de la porción de su espectro de frecuencia positiva distinta de cero, es decir:

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Medido utilizando un analizador de espectro, el ancho de banda de radio B en Hz de la señal modulada es el doble del ancho de banda de banda base BW (como se explica en [1]), es decir:

${\displaystyle B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Función de autocorrelación

La función de autocorrelación de la función coseno elevado es la siguiente:

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

El resultado de la autocorrelación se puede utilizar para analizar varios resultados de compensación de muestreo cuando se analiza con autocorrelación.

Solicitud

Impulsos consecutivos de coseno elevado, que demuestran la propiedad ISI cero

Cuando se utiliza para filtrar un flujo de símbolos, un filtro de Nyquist tiene la propiedad de eliminar ISI, ya que su respuesta de impulso es cero (donde es un número entero), excepto . ${\displaystyle nT}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$

Por lo tanto, si la forma de onda transmitida se muestrea correctamente en el receptor, los valores de los símbolos originales se pueden recuperar por completo.

Sin embargo, en muchos sistemas de comunicaciones prácticos, se utiliza un filtro adaptado en el receptor debido a los efectos del ruido blanco . Para ISI cero, la respuesta neta de los filtros de transmisión y recepción debe ser igual a : ${\displaystyle H(f)}$

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

Y por lo tanto :

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Estos filtros se denominan filtros de raíz de coseno elevado .

El coseno elevado es un filtro de apodización comúnmente utilizado para rejillas de Bragg de fibra .

Referencias

1. Michael Zoltowski - Ecuaciones para las formas de coseno elevado y coseno elevado de raíz cuadrada
2. de: Raised-Cosine-Filter versión alemana de Raised-Cosine-Filter

• Glover, I.; Subvención, P. (2004). Comunicaciones digitales (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN  0-13-089399-4 .
• Proakis, J. (1995). Comunicaciones digitales (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 . 
• Tavares, LM; Tavares GN (1998) Comentarios sobre "Rendimiento de sistemas DS/SSMA asíncronos de banda limitada" . IEICE Trans. Comunitario, vol. E81-B, nº 9

enlaces externos

• Artículo técnico titulado "El cuidado y alimentación de filtros digitales de configuración de pulsos" publicado originalmente en RF Design , escrito por Ken Gentile.