Logaritmo gaussiano

En matemáticas, los logaritmos de suma y resta o logaritmos gaussianos se pueden utilizar para encontrar los logaritmos de la suma y la diferencia de un par de valores cuyos logaritmos se conocen, sin conocer los valores en sí. ^[1]

Sus fundamentos matemáticos se remontan a Zecchini Leonelli ^{[2] [3]} y Carl Friedrich Gauss ^{[4] [1] [5]} a principios del siglo XIX. ^{[2] [3] [4] [1] [5]}

Las funciones y para . ${\displaystyle s_{b}(z)}$ ${\displaystyle d_{b}(z)}$ ${\displaystyle b=e}$

Las operaciones de suma y resta se pueden calcular mediante la fórmula:

${\displaystyle \log _{b}{\big (}|X|+|Y|{\big )}=x+s_{b}(y-x),}$

${\displaystyle \log _{b}{\big (}{\big |}|X|-|Y|{\big |}{\big )}=x+d_{b}(y-x),}$

donde , , la función "suma" se define por , y la función "diferencia" por . Las funciones y también se conocen como logaritmos gaussianos . ${\displaystyle x=\log _{b}\!|X|}$ ${\displaystyle y=\log _{b}\!|Y|}$ ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$ ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}\!|1-b^{z}|}$ ${\displaystyle s_{b}(z)}$ ${\displaystyle d_{b}(z)}$

Para los logaritmos naturales existen las siguientes identidades con funciones hiperbólicas : ${\displaystyle b=e}$

${\displaystyle s_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left(\cosh {\frac {z}{2}}\right)}$

${\displaystyle d_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left|\,\sinh {\frac {z}{2}}\right|}$

Esto demuestra que tiene una expansión de Taylor donde todos los términos excepto el primero son racionales y todos los términos impares excepto el término lineal son cero. ${\displaystyle s_{e}}$

La simplificación de la multiplicación, división, raíces y potencias se ve contrarrestada por el costo de evaluar estas funciones para la suma y la resta.

Véase también

• Funcionamiento de Softplus en redes neuronales
• Logaritmo de Zech
• Tabla de logaritmos
• Sistema de numeración logarítmica (LNS)

Referencias

1. «Logaritmo: suma y resta, o logaritmos gaussianos». Encyclopædia Britannica undécima edición .
2. Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Suplemento logarítmico. Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs (en francés). Burdeos: Brossier.(NB. 1802/1803 es el año XI en el Calendario Republicano Francés .)
3. Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (en alemán). Dresde: Walther'sche Hofbuchhandlung.(NB. Una traducción ampliada del Supplément logarithmique de Zecchini Leonelli . Théorie des logarithmes adicionalmente et diductifs .)
4. Gauß, Johann Carl Friedrich (12 de febrero de 1808). "LEONELLI, Suplemento logarítmico". Allgemeine Literaturzeitung (en alemán) (45). Halle-Leipzig: 353–356.
5. Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss - Titán de la ciencia. Serie Spectrum (edición revisada). Asociación Matemática de Estados Unidos (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8. ISBN 0-88385-547-X . 

Lectura adicional

• Stark, Bruce D. (1997) [1995]. Tablas de Stark para calcular la distancia lunar y hallar la hora universal mediante la observación con sextante, incluida una forma práctica de perfeccionar las habilidades de navegación celestial desde tierra (2.ª ed.). Starpath Publications. ISBN 978-0914025214. 091402521X . Consultado el 2 de diciembre de 2015 .(NB. Contiene una tabla de logaritmos gaussianos lg (1+10 ^−x ).)
• Kalivoda, Jan (30 de julio de 2003). "Bruce Stark - Tablas para despejar la distancia lunar y encontrar GMT mediante la observación con sextante (1995, 1997)" (Reseña). Praga, República Checa. Archivado desde el original el 12 de enero de 2004. Consultado el 2 de diciembre de 2015. … ] Bruce Stark […] utiliza los logaritmos gaussianos que hacen posible permanecer en el mundo de los logaritmos todo el tiempo del cálculo y transformar una adición de números naturales en la adición y resta de sus valores logarítmicos comunes y especiales mediante el uso de una tabla especial. Es mucho más fácil que convertir logaritmos a sus valores naturales, sumarlos y convertirlos nuevamente a logaritmos. Además, los logaritmos gaussianos producen una mayor precisión de resultado que el método de cálculo tradicional y ayudan a que los valores logarítmicos de 5 dígitos sean lo suficientemente precisos para este método. […] El uso de las "gaussianas" por parte de Bruce es original en el campo de la navegación. No conozco otro ejemplo de su uso por parte de marineros o aviadores, con la excepción de los navegantes soviéticos, que tenían gaussianas en sus tablas estándar hasta aproximadamente 1960. […] Haversine que no estaba permitido en la práctica de navegación soviética. […] Las gaussianas cooperan pacíficamente con las haversinas para racionalizar el procedimiento LD […][1][2]
• Kremer, Hermann (29 de agosto de 2002). "Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag". de.sci.mathematik (en alemán). Archivado desde el original el 7 de julio de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2018 .
• Kühn, Klaus (2008). "CF Gauß und die Logarithmen" (PDF) (en alemán). Alling-Biburg, Alemania. Archivado (PDF) desde el original el 14 de julio de 2018 . Consultado el 14 de julio de 2018 .