Johann Carl Friedrich Gauss (alemán: Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ;[2][3] Latín:Carolus Fridericus Gauss; (30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855) fue unmatemático,astrónomo,geodestayfísicoalemán que contribuyó a muchos campos de las matemáticas y las ciencias. Fue director delObservatorio de Gotingay profesor de astronomía desde 1807 hasta su muerte en 1855.
Mientras estudiaba en la Universidad de Göttingen , propuso varios teoremas matemáticos . Gauss completó sus obras maestras Disquisitiones Arithmeticae y Theoria motus corporum coelestium como erudito privado. Dio la segunda y tercera pruebas completas del teorema fundamental del álgebra , hizo contribuciones a la teoría de números y desarrolló las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias.
Gauss jugó un papel decisivo en la identificación de Ceres como un planeta enano. Su trabajo sobre el movimiento de los planetoides perturbados por grandes planetas condujo a la introducción de la constante gravitacional de Gauss y el método de mínimos cuadrados , que había descubierto antes de que Adrien-Marie Legendre lo publicara.
Gauss estuvo a cargo del extenso estudio geodésico del Reino de Hannover junto con un proyecto de medición de arcos de 1820 a 1844; fue uno de los fundadores de la geofísica y formuló los principios fundamentales del magnetismo . Frutos de su trabajo práctico fueron los inventos del heliotropo en 1821, el magnetómetro en 1833 y, junto con Wilhelm Eduard Weber , el primer telégrafo electromagnético en 1833.
Gauss se negó a publicar obras incompletas y dejó varias obras para editarlas póstumamente . Creía que el acto de aprender, no la posesión de conocimientos, proporcionaba el mayor disfrute. Gauss confesó que no le gustaba enseñar, pero algunos de sus alumnos se convirtieron en matemáticos influyentes.
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Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick (Braunschweig) en el ducado de Brunswick-Wolfenbüttel (ahora parte del estado federal alemán de Baja Sajonia ), en una familia de estatus social inferior. [4] Su padre Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808) trabajó en varios trabajos, como carnicero, albañil, jardinero y como tesorero de un fondo de prestaciones por fallecimiento. Gauss caracterizó a su padre como un hombre honorable y respetado pero rudo y dominante en casa. Tenía experiencia en escritura y cálculo, mientras que su segunda esposa, Dorothea (1743-1839), la madre de Carl Friedrich, era casi analfabeta. [5] Tenía un hermano mayor del primer matrimonio de su padre. [6]
Gauss fue un niño prodigio en el campo de las matemáticas. Cuando los maestros de primaria notaron sus habilidades intelectuales, llamaron la atención del duque de Brunswick , quien lo envió al Collegium Carolinum local , [a] al que asistió de 1792 a 1795 con Eberhard August Wilhelm von Zimmermann como uno de sus maestros. . [8] [9] [10] A partir de entonces, el duque le concedió recursos para estudios de matemáticas, ciencias y lenguas clásicas en la Universidad Hannoveriana de Göttingen hasta 1798. [11] Su profesor de matemáticas fue Abraham Gotthelf Kästner , a quien Gauss llamó "el principal matemático entre los poetas y el principal poeta entre los matemáticos" por sus epigramas . [12] [b] Karl Felix Seyffer enseñó astronomía , con quien Gauss mantuvo correspondencia después de graduarse; [13] Olbers y Gauss se burlaron de él en su correspondencia. [14] Por otro lado, tenía en alta estima a Georg Christoph Lichtenberg , su profesor de física, y a Christian Gottlob Heyne , a cuyas conferencias sobre clásicos Gauss asistía con mucho gusto. [13] Los compañeros de estudios de esta época fueron Johann Friedrich Benzenberg , Farkas Bolyai y Heinrich Wilhelm Brandes . [13]
Probablemente fue un estudiante de matemáticas autodidacta, ya que redescubrió varios teoremas de forma independiente. [10] Resolvió un problema geométrico que había ocupado a los matemáticos desde los días de los antiguos griegos , cuando determinó en 1796 qué polígonos regulares se pueden construir con compás y regla . Este descubrimiento finalmente llevó a Gauss a elegir las matemáticas en lugar de la filología como carrera. [15] El diario matemático de Gauss, una colección de breves comentarios sobre sus resultados desde los años 1796 hasta 1814, muestra que muchas ideas para su obra maestra matemática Disquisitiones Arithmeticae (1801) datan de esta época. [dieciséis]
Gauss se graduó como Doctor en Filosofía en 1799, no en Göttingen, como a veces se afirma, [c] [17] sino a petición especial del duque de Brunswick de la Universidad de Helmstedt, la única universidad estatal del ducado. Johann Friedrich Pfaff evaluó su tesis doctoral y Gauss obtuvo el título in absentia sin examen oral adicional. [10] El duque luego le concedió el costo de vida como académico privado en Brunswick. Posteriormente, Gauss rechazó llamadas de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo y de la Universidad Landshut . [18] [19] Más tarde, el duque le prometió la fundación de un observatorio en Brunswick en 1804. El arquitecto Peter Joseph Krahe hizo los diseños preliminares, pero una de las guerras de Napoleón canceló esos planes: [20] el duque murió en la batalla de Jena en 1806. El ducado fue abolido al año siguiente y el apoyo financiero de Gauss cesó.
Cuando Gauss estaba calculando las órbitas de los asteroides en los primeros años del siglo, estableció contacto con la comunidad astronómica de Bremen y Lilienthal , especialmente Wilhelm Olbers , Karl Ludwig Harding y Friedrich Wilhelm Bessel , como parte del grupo informal de astrónomos conocido como el Policía celeste . [21] Uno de sus objetivos era el descubrimiento de más planetas, y reunieron datos sobre asteroides y cometas como base para la investigación de Gauss sobre sus órbitas, que más tarde publicó en su obra maestra astronómica Theoria motus corporum coelestium (1809). [22]
En noviembre de 1807, Gauss fue llamado a la Universidad de Göttingen , entonces una institución del recién fundado Reino de Westfalia bajo Jérôme Bonaparte , como profesor titular y director del observatorio astronómico , [23] y mantuvo la cátedra hasta su muerte en 1855. Pronto se encontró con la exigencia de dos mil francos del gobierno de Westfalia como contribución de guerra, que no podía permitirse pagar. Tanto Olbers como Laplace quisieron ayudarlo con el pago, pero Gauss rechazó su ayuda. Finalmente, una persona anónima de Frankfurt , que luego se supo que era el príncipe primado Dalberg , [24] pagó la suma. [23]
Gauss asumió la dirección del observatorio de 60 años de antigüedad, fundado en 1748 por el príncipe elector Jorge II y construido sobre una torre de fortificación reconvertida, [25] con instrumentos utilizables, pero parcialmente obsoletos. [26] La construcción de un nuevo observatorio había sido aprobada por el príncipe elector Jorge III en principio desde 1802, y el gobierno de Westfalia continuó la planificación, [27] pero Gauss no pudo trasladarse a su nuevo lugar de trabajo hasta septiembre de 1816. [ 19] Adquirió instrumentos nuevos y modernos, entre ellos dos círculos de meridianos de Repsold [28] y Reichenbach , [29] y un heliómetro de Fraunhofer . [30]
La actividad científica de Gauss, además de las matemáticas puras, se puede dividir a grandes rasgos en tres períodos: la astronomía fue el foco principal en las dos primeras décadas del siglo XIX, la geodesia en la tercera década y la física, principalmente el magnetismo, en la cuarta década. [31]
Gauss no ocultó su aversión a dar conferencias académicas. [18] [19] Pero desde el comienzo de su carrera académica en Gotinga, dio conferencias continuamente hasta 1854. [32] A menudo se quejaba de la carga de la enseñanza, sintiendo que era una pérdida de tiempo. Por otro lado, ocasionalmente describió a algunos estudiantes como talentosos. [18] La mayoría de sus conferencias trataron sobre astronomía, geodesia y matemáticas aplicadas , [33] y sólo tres conferencias sobre temas de matemáticas puras. [18] [d] Algunos de los estudiantes de Gauss se convirtieron en matemáticos, físicos y astrónomos de renombre: Moritz Cantor , Dedekind , Dirksen , Encke , Gould , [e] Heine , Klinkerfues , Kupffer , Listing , Möbius , Nicolai , Riemann , Ritter , Schering , Scherk , Schumacher , von Staudt , Stern , Ursin ; como los geocientíficos Sartorius von Waltershausen y Wappäus . [18]
Gauss no escribió ningún libro de texto y no le gustaba la popularización de cuestiones científicas. Sus únicos intentos de popularización fueron sus obras sobre la fecha de Pascua (1800/1802) y el ensayo Erdmagnetismus und Magnetometer de 1836. [35] Gauss publicó sus artículos y libros exclusivamente en latín o alemán . [f] [g] Escribió latín en un estilo meramente clásico, pero utilizó algunas modificaciones habituales establecidas por los matemáticos contemporáneos. [38]
En su conferencia inaugural en la Universidad de Göttingen en 1808, Gauss afirmó que las observaciones fiables y los resultados obtenidos sólo mediante un cálculo potente eran las únicas tareas de la astronomía. [33] En la universidad lo acompañaba un equipo de otros profesores de sus disciplinas, que completaban el programa educativo: por ejemplo, el matemático Thibaut con sus conferencias, [40] el físico Mayer , conocido por sus libros de texto, [41] su Sucesor de Weber desde 1831, y en el observatorio Harding , quien impartió la mayor parte de las conferencias sobre astronomía práctica. Cuando se completó el observatorio, Gauss se instaló en el ala occidental del nuevo observatorio y Harding en el este. [19] Alguna vez habían estado en términos amistosos entre sí, pero con el tiempo se distanciaron, posiblemente – como suponen algunos biógrafos – porque Gauss había deseado que Harding, de igual rango, no fuera más que su asistente u observador. [19] [h] Gauss utilizó los nuevos círculos de meridianos casi exclusivamente y los mantuvo alejados de Harding, excepto en algunas observaciones conjuntas muy raras. [43]
Brendel subdivide cronológicamente la actividad astronómica de Gauss en siete períodos, de los cuales los años desde 1820 se consideran un "período de menor actividad astronómica". [44] El nuevo observatorio, bien equipado, no funcionó tan eficazmente como otros; La investigación astronómica de Gauss tenía el carácter de una empresa de una sola persona sin un programa de observación a largo plazo, y la universidad no estableció un lugar para un asistente hasta después de la muerte de Harding en 1834. [42] [43] [i]
Sin embargo, Gauss rechazó dos veces la oportunidad de resolver el problema, aceptando ofertas de Berlín en 1810 y 1825 para convertirse en miembro de pleno derecho de la Academia Prusiana sin cargarse con las tareas docentes, así como de la Universidad de Leipzig en 1810 y de la Universidad de Viena en 1842, tal vez. debido a la difícil situación de la familia. [42] El salario de Gauss aumentó de 1000 Reichsthaler en 1810 a 2400 Reichsthaler en 1824, [19] y en sus últimos años, fue uno de los profesores mejor pagados de la universidad. [45]
Cuando en 1810 su colega y amigo Friedrich Wilhelm Bessel le pidió ayuda a Gauss , que estaba en problemas en la Universidad de Königsberg debido a su falta de un título académico, Gauss otorgó a Bessel un doctorado honoris causa de la Facultad de Filosofía de Göttingen en marzo de 1811. [j] Gauss dio otra recomendación para un título honorífico a Sophie Germain, pero poco antes de su muerte, por lo que nunca lo recibió. [48] También apoyó con éxito al matemático Gotthold Eisenstein en Berlín. [49]
Gauss era leal a la Casa de Hannover . Después de la muerte del rey Guillermo IV en 1837, cesó la unión personal entre los reinos de Gran Bretaña e Irlanda y Hannover . Ese mismo año, el nuevo rey de Hannover, Ernesto Augusto, anuló la constitución de 1833. Siete profesores, más tarde conocidos como los " Siete de Göttingen ", protestaron contra esto, entre ellos su amigo y colaborador Wilhelm Weber y el yerno de Gauss, Heinrich Ewald. Todos fueron despedidos y tres de ellos expulsados, pero Ewald y Weber pudieron quedarse en Göttingen. Gauss quedó profundamente afectado por esta disputa pero no vio ninguna posibilidad de ayudarlos. [50]
Gauss participó en la administración académica: tres veces fue elegido decano de la Facultad de Filosofía. [51] Como se le confió el fondo de pensiones de viudedad de la universidad, se ocupó de la ciencia actuarial y escribió un informe sobre la estrategia para estabilizar los beneficios. Fue nombrado director de la Real Academia de Ciencias de Göttingen durante nueve años, incluso en su último año de vida. [51]
Gauss permaneció mentalmente activo hasta su vejez, incluso cuando padecía gota e infelicidad generalizada. El 23 de febrero de 1855 murió de un infarto en Gotinga; [12] y fue enterrado allí en el cementerio Albani . Heinrich Ewald , yerno de Gauss, y Wolfgang Sartorius von Waltershausen , amigo cercano y biógrafo de Gauss, pronunciaron panegíricos en su funeral. [52]
Gauss fue un inversor exitoso y acumuló una riqueza considerable con acciones y valores, finalmente un valor de más de 150 mil táleros; Después de su muerte, se encontraron unos 18.000 táleros escondidos en sus habitaciones. [53]
El día después de la muerte de Gauss , Rudolf Wagner extrajo, conservó y estudió su cerebro , quien descubrió que su masa estaba ligeramente por encima del promedio, 1.492 gramos (52,6 oz). [54] [55] El hijo de Wagner, Hermann, determinó en su tesis doctoral que el área cerebral era de 219.588 milímetros cuadrados (340.362 pulgadas cuadradas). [56] En 2013, un neurobiólogo del Instituto Max Planck de Química Biofísica de Gotinga descubrió que, poco después de las primeras investigaciones, el cerebro de Gauss se había confundido, debido a un etiquetado incorrecto, con el del médico Conrad Heinrich Fuchs , fallecido en Gotinga un Unos meses después de Gauss. [57] Una investigación adicional no mostró anomalías notables en los cerebros de ambas personas. Así, todas las investigaciones sobre el cerebro de Gauss hasta 1998, excepto las primeras de Rudolf y Hermann Wagner, se refieren en realidad al cerebro de Fuchs. [58]
Gauss se casó con Johanna Osthoff (1780-1809) el 9 de octubre de 1805 en la iglesia de Santa Catalina en Brunswick. [59] Tuvieron dos hijos y una hija: José (1806–1873), Guillermina (1808–1840) y Luis (1809–1810). Juana murió el 11 de octubre de 1809, un mes después del nacimiento de Luis, quien murió unos meses después. [60] Gauss eligió los nombres de sus hijos en honor a Giuseppe Piazzi , Wilhelm Olbers y Karl Ludwig Harding, los descubridores de los primeros asteroides. [61]
El 4 de agosto de 1810, el viudo se casó con Wilhelmine (Minna) Waldeck (1788-1831), amiga de su primera esposa, con quien tuvo tres hijos más: Eugen (más tarde: Eugene) (1811-1896), Wilhelm (más tarde: William) (1813–1879) y Teresa (1816–1864). Minna Gauss murió el 12 de septiembre de 1831 después de haber estado gravemente enferma durante más de una década. [62] Teresa luego se hizo cargo de la casa y cuidó de Gauss por el resto de su vida; tras la muerte de su padre, se casó con el actor Constantin Staufenau. [63] Su hermana Guillermina se casó con el orientalista Heinrich Ewald . [64] La madre de Gauss, Dorothea, vivió en su casa desde 1817 hasta su muerte en 1839. [11]
El hijo mayor, Joseph, cuando todavía era un escolar, ayudó a su padre como asistente durante la campaña de reconocimiento en el verano de 1821. Después de un corto tiempo en la universidad, en 1824 Joseph se unió al ejército de Hannover y ayudó nuevamente en el estudio en 1829. En el En la década de 1830 fue responsable de la ampliación de la red de reconocimiento a las partes occidentales del reino. Con sus calificaciones geodésicas, dejó el servicio y se dedicó a la construcción de la red ferroviaria como director de los Ferrocarriles Estatales Reales de Hannover . En 1836 estudió durante algunos meses el sistema ferroviario en Estados Unidos. [45] [k]
Eugen abandonó Göttingen en septiembre de 1830 y emigró a los Estados Unidos, donde se unió al ejército durante cinco años. Luego trabajó para la American Fur Company en el Medio Oeste. Posteriormente se mudó a Missouri y se convirtió en un exitoso hombre de negocios. [45] Wilhelm se casó con una sobrina del astrónomo Bessel ; [67] luego también se mudó a Missouri, comenzó como agricultor y se hizo rico en el negocio del calzado en St. Louis en años posteriores. [68] Eugene y William tienen numerosos descendientes en América, pero los descendientes de Gauss que quedaron en Alemania derivan todos de Joseph, ya que las hijas no tuvieron hijos. [45]
En las dos primeras décadas del siglo XIX, Gauss fue el único matemático importante en Alemania, comparable a los principales matemáticos franceses; [69] sus Disquisitiones Arithmeticae fueron el primer libro de matemáticas de Alemania traducido al idioma francés. [70]
Gauss estuvo "al frente del nuevo desarrollo" con investigaciones documentadas desde 1799, su riqueza de nuevas ideas y su rigor de demostración. [71] Mientras que matemáticos anteriores como Leonhard Euler dejaron que los lectores participaran en su razonamiento sobre nuevas ideas, incluidas ciertas desviaciones erróneas del camino correcto, [72] Sin embargo, Gauss introdujo un nuevo estilo de explicación directa y completa que no intentaba mostrar el lector la línea de pensamiento del autor. [73]
Gauss fue el primero en restaurar ese rigor de demostración que admiramos en los antiguos y que había sido relegado indebidamente a un segundo plano por el interés exclusivo del período anterior por los nuevos desarrollos.
— Klein 1894, pág. 101
Pero para él mismo, propagó un ideal bastante diferente, expresado en una carta a Farkas Bolyai como sigue: [74]
No es el conocimiento, sino el acto de aprender, no la posesión sino el acto de llegar allí, lo que garantiza el mayor disfrute. Cuando he aclarado y agotado un tema, me alejo de él para volver a entrar en la oscuridad.
—Dunnington 2004, pág. 416
Los artículos póstumos, su diario científico [ 75] y breves glosas en sus propios libros de texto muestran que trabajó en gran medida de manera empírica. [76] [77] Fue un calculador entusiasta y ocupado durante toda su vida, que hacía sus cálculos con extraordinaria rapidez, en su mayoría sin un control preciso, pero verificaba los resultados mediante una estimación magistral. Sin embargo, sus cálculos, especialmente en geodesia y astronomía, no siempre estuvieron libres de errores. [78] Hizo frente a la enorme carga de trabajo utilizando herramientas hábiles. [79] Gauss utilizó muchas tablas matemáticas , examinó su exactitud y construyó nuevas tablas sobre diversos temas para uso personal. [80] Desarrolló nuevas herramientas para el cálculo eficaz, por ejemplo la eliminación gaussiana . [81] Se ha considerado una característica curiosa de su estilo de trabajo que llevó a cabo cálculos con un alto grado de precisión mucho más de lo requerido y preparó tablas con más decimales de los que jamás se solicitaron con fines prácticos. [82] Muy probablemente, este método le proporcionó una gran cantidad de material que utilizó para encontrar teoremas en la teoría de números. [79] [83]
Gauss se negó a publicar trabajos que no consideraba completos y por encima de toda crítica. Este perfeccionismo estaba en consonancia con el lema de su sello personal Pauca sed Matura ("Pocos, pero maduros"). Muchos colegas lo alentaron a dar a conocer nuevas ideas y, en su opinión, a veces lo reprendieron si dudaba demasiado. Gauss se defendió afirmando que el descubrimiento inicial de ideas era fácil, pero preparar una elaboración presentable era para él una tarea exigente, ya sea por falta de tiempo o por "serenidad mental". [35] Sin embargo, publicó muchas comunicaciones breves de contenido urgente en varias revistas, pero también dejó un patrimonio literario considerable. [84] [85] Gauss se refirió a las matemáticas como "la reina de las ciencias" y a la aritmética como "la reina de las matemáticas", [86] y supuestamente una vez abrazó la creencia en la necesidad de comprender inmediatamente la identidad de Euler como un punto de referencia para convertirse en un matemático de primera clase. [87]
En determinadas ocasiones, Gauss afirmó que las ideas de otro estudioso ya habían estado en su poder con anterioridad. Así, su concepto de prioridad como "el primero en descubrir, no el primero en publicar" difería del de sus contemporáneos científicos. [88] En contraste con su perfeccionismo en la presentación de ideas matemáticas, fue criticado por una forma negligente de citar. Se justificó con una visión muy especial de las citas correctas: si dio referencias, entonces sólo de manera bastante completa, con respecto a los autores anteriores de importancia, que nadie debe ignorar; pero citar de esta manera necesitaba conocimientos de la historia de la ciencia y más tiempo del que deseaba dedicar. [35]
Poco después de la muerte de Gauss, su amigo Sartorius publicó la primera biografía (1856), escrita en un estilo bastante entusiasta. Sartorius lo veía como un hombre sereno y emprendedor, con modestia infantil, [89] pero también de "carácter férreo" [90] con una fortaleza mental inquebrantable. [91] Aparte de su círculo más cercano, otros lo consideraban reservado e inaccesible "como un olímpico sentado en el trono en la cumbre de la ciencia". [92] Sus contemporáneos más cercanos estuvieron de acuerdo en que Gauss era un hombre de carácter difícil. A menudo se negaba a aceptar elogios. A veces sus visitantes se irritaban por su comportamiento gruñón, pero poco tiempo después su humor podía cambiar y se convertía en un anfitrión encantador y de mente abierta. [35] Gauss abominaba de las naturalezas polémicas; Junto con su colega Hausmann se opuso a que se convocara a Justus Liebig para una cátedra universitaria en Gotinga, "porque siempre estaba involucrado en alguna polémica". [93]
La vida de Gauss se vio ensombrecida por graves problemas en su familia. Cuando su primera esposa, Johanna, murió repentinamente poco después del nacimiento de su tercer hijo, él reveló su dolor en una última carta a su difunta esposa al estilo de un antiguo treno , el documento más personal de Gauss que se conserva. [94] [95] La situación empeoró cuando la tuberculosis afectó y finalmente destruyó la salud de su segunda esposa Minna durante 13 años; Más tarde, sus dos hijas padecieron la misma enfermedad. [96] El propio Gauss dio sólo ligeros indicios de su angustia: en una carta a Bessel fechada en diciembre de 1831 se describió a sí mismo como "la víctima de los peores sufrimientos domésticos". [35]
Debido a la enfermedad de su esposa, sus dos hijos menores fueron educados durante algunos años en Celle, lejos de Göttingen. La carrera militar de su hijo mayor Joseph terminó después de más de dos décadas con el grado de primer teniente mal pagado , aunque había adquirido considerables conocimientos de geodesia. Necesitaba el apoyo financiero de su padre incluso después de casarse. [45] El segundo hijo, Eugen, compartía una buena medida del talento de su padre en computación y lenguajes, pero tenía un carácter vivaz y a veces rebelde. Quería estudiar filología, mientras que Gauss quería que se convirtiera en abogado. Después de acumular deudas y provocar un escándalo público, [97] Eugen abandonó repentinamente Göttingen en circunstancias dramáticas en septiembre de 1830 y emigró a través de Bremen a los Estados Unidos. Desperdició el poco dinero que había tomado para empezar, después de lo cual su padre le negó más apoyo financiero. [45] El hijo menor, Wilhelm, quería estudiar administración agrícola, pero tuvo dificultades para recibir una educación adecuada y finalmente también emigró. Sólo la hija menor de Gauss, Teresa, lo acompañó en sus últimos años de vida. [63]
En sus últimos años se convirtió en un hábito recopilar datos numéricos sobre cosas muy diversas, útiles o inútiles, como por ejemplo el número de caminos desde su casa hasta determinados lugares de Gotinga, o el número de días de vida de las personas; felicitó a Humboldt en diciembre de 1851 por haber alcanzado la misma edad que Isaac Newton en el momento de su muerte, calculada en días. [98]
Además de su excelente conocimiento del latín, también estaba familiarizado con las lenguas modernas. A la edad de 62 años comenzó a aprender ruso por su cuenta , siendo muy probable que entendiera los escritos científicos de Rusia, entre ellos los de Lobachevsky sobre geometría no euclidiana. [99] Gauss leyó literatura clásica y moderna, y obras en inglés y francés en los idiomas originales. [100] [m] Su autor inglés favorito era Walter Scott , su alemán Jean Paul favorito . [102] A Gauss le gustaba cantar y asistía a conciertos. [103] Era un lector de periódicos muy ocupado; en sus últimos años solía visitar cada mediodía un salón de prensa académica de la universidad. [104] A Gauss no le importaba mucho la filosofía y se burlaba de los "pequeños pelos de punta de los llamados metafísicos", con lo que se refería a los defensores de la escuela contemporánea de Naturphilosophie . [105]
Gauss tenía una "naturaleza aristocrática y completamente conservadora", con poco respeto por la inteligencia y la moral de las personas, siguiendo el lema " mundus vult decipi ". [104] No le gustaba Napoleón y su sistema, y todo tipo de violencia y revolución le causaban horror. Así, condenó los métodos de las revoluciones de 1848 , aunque estuvo de acuerdo con algunos de sus objetivos, como la idea de una Alemania unificada. [90] [n] En lo que respecta al sistema político, tenía una baja valoración del sistema constitucional; Criticó a los parlamentarios de su época por falta de conocimiento y errores lógicos. [104]
Algunos biógrafos de Gauss han especulado sobre sus creencias religiosas. A veces decía "Dios aritmetiza" [106] y "Lo logré, no por mis duros esfuerzos, sino por la gracia del Señor". [107] Gauss era miembro de la iglesia luterana , como la mayoría de la población del norte de Alemania. Parece que no creía en todos los dogmas ni entendía la Santa Biblia literalmente. [108] Sartorius mencionó la tolerancia religiosa de Gauss y estimó que su "sed insaciable de verdad" y su sentido de la justicia estaban motivados por convicciones religiosas. [109]
En su tesis doctoral de 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , según el cual todo polinomio no constante de una sola variable con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Matemáticos, incluido Jean le Rond d'Alembert, habían presentado pruebas falsas antes que él, y la disertación de Gauss contiene una crítica del trabajo de d'Alembert. Posteriormente presentó otras tres pruebas, siendo la última de 1849 generalmente rigurosa. Sus intentos aclararon considerablemente el concepto de números complejos a lo largo del camino. [110]
En el prefacio a las Disqusitiones, Gauss fecha el comienzo de su trabajo sobre teoría de números en el año 1795. Al estudiar los trabajos de matemáticos anteriores como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre, se dio cuenta de que estos estudiosos ya habían encontrado mucho de lo que lo había descubierto por sí mismo. [111] Las Disquisitiones Arithmeticae , escritas desde 1798 y publicadas en 1801, consolidaron la teoría de números como disciplina y abarcaron tanto la teoría de números elemental como la algebraica . Allí introduce el símbolo de triple barra ( ≡ ) para la congruencia y lo utiliza para una presentación limpia de la aritmética modular . [112] Se trata del teorema de factorización única y el módulo de raíces primitivas n . En los capítulos principales, Gauss presenta las dos primeras pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática [113] y desarrolla las teorías de las formas cuadráticas binaria [114] y ternaria . [115]
Las Disquisiciones incluyen la ley de composición de Gauss para formas cuadráticas binarias, así como la enumeración del número de representaciones de un número entero como suma de tres cuadrados. Como corolario casi inmediato de su teorema sobre tres cuadrados , demuestra el caso triangular del teorema del número poligonal de Fermat para n = 3. [116] A partir de varios resultados analíticos sobre números de clase que Gauss da sin demostración hacia el final del quinto capítulo , [117] parece que Gauss ya conocía la fórmula del número de clase en 1801. [118]
En el último capítulo, Gauss demuestra la constructibilidad de un heptadecágono regular (polígono de 17 lados) con regla y compás , reduciendo este problema geométrico a uno algebraico. [119] Muestra que un polígono regular es construible si el número de sus lados es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos distintos de Fermat . En el mismo capítulo, da un resultado sobre el número de soluciones de ciertos polinomios cúbicos con coeficientes en campos finitos , lo que equivale a contar puntos integrales en una curva elíptica . [120] Sólo después de su muerte se encontró un octavo capítulo inacabado entre los documentos abandonados, que consta de trabajos realizados durante los años 1797-1799. [121] [122]
Uno de los primeros resultados de Gauss fue la conjetura empíricamente encontrada de 1792, más tarde llamada teorema de los números primos , que daba una estimación del número de números primos utilizando el logaritmo integral . [123] [o]
Cuando Olbers animó a Gauss en 1816 a competir por un premio de la Academia Francesa por una demostración del último teorema de Fermat (FLT), se negó debido a su baja estima en este asunto. Sin embargo, entre sus trabajos de la izquierda se encontró un breve artículo sin fecha con pruebas de FLT para los casos n = 3 y n = 5. [125] El caso particular de n = 3 fue demostrado mucho antes por Leonhard Euler , pero Gauss desarrolló una teoría más prueba simplificada que utilizó números enteros de Eisenstein ; aunque más general, la demostración era más sencilla que en el caso de los números enteros reales. [126]
Gauss contribuyó a resolver la conjetura de Kepler en 1831 con la prueba de que la mayor densidad de empaquetamiento de esferas en el espacio tridimensional se da cuando los centros de las esferas forman una disposición cúbica centrada en las caras , [127] cuando revisó un libro de Ludwig August Seeber sobre la teoría de la reducción de formas cuadráticas ternarias positivas. [128] Habiendo notado algunas deficiencias en la demostración de Seeber, simplificó muchos de sus argumentos, demostró la conjetura central y señaló que este teorema es equivalente a la conjetura de Kepler para arreglos regulares. [129]
En dos artículos sobre residuos bicuadráticos (1828, 1832), Gauss introdujo el anillo de los enteros gaussianos y demostró que es un dominio de factorización único . [130] y generalizó algunos conceptos aritméticos clave, como el pequeño teorema de Fermat y el lema de Gauss . El objetivo principal de introducir este anillo fue formular la ley de reciprocidad bicuadrática [130] ; como descubrió Gauss, los anillos de números enteros complejos son el escenario natural para leyes de reciprocidad superiores. [131]
En el segundo artículo, estableció la ley general de la reciprocidad bicuadrática y demostró varios casos especiales de la misma. En una publicación anterior de 1818 que contenía sus pruebas quinta y sexta de reciprocidad cuadrática, afirmó que las técnicas de estas pruebas ( sumas de Gauss ) pueden aplicarse para probar leyes de reciprocidad superiores. [132]
Uno de los primeros descubrimientos de Gauss fue la noción de media aritmético-geométrica (AGM) de dos números reales positivos. [133] Descubrió su relación con las integrales elípticas en los años 1798-1799 a través de la transformación de Landen , y una entrada en el diario registró el descubrimiento de la conexión de la constante de Gauss con las funciones elípticas lemniscaticas , un resultado que Gauss afirmó que "seguramente abrirá un campo de análisis completamente nuevo". [134] También hizo incursiones tempranas en las cuestiones más formales de los fundamentos del análisis complejo , y de una carta a Bessel en 1811 queda claro que conocía el "teorema fundamental del análisis complejo" ( el teorema integral de Cauchy ) y entendía el Noción de residuos complejos al integrarse alrededor de polos . [120] [135]
El teorema de los números pentagonales de Euler , junto con otras investigaciones sobre el AGM y las funciones lemniscaticas, lo llevaron a muchos resultados sobre las funciones theta de Jacobi , [120] que culminaron con el descubrimiento en 1808 de la identidad del triple producto de Jacobi , más tarde llamada , que incluye el teorema de Euler como un caso especial. [136] Sus trabajos muestran que conocía transformaciones modulares de orden 3, 5, 7 para funciones elípticas desde 1808. [137] [p] [q]
Varios fragmentos matemáticos en su Nachlass indican que conocía partes de la teoría moderna de las formas modulares . [120] En su trabajo sobre el AGM multivaluado de dos números complejos, descubrió una conexión profunda entre los infinitos valores del AGM y sus dos "valores más simples". [134] En sus escritos inéditos reconoció e hizo un esbozo del concepto clave de dominio fundamental para el grupo modular . [139] [140] Uno de los bocetos de este tipo de Gauss fue un dibujo de un mosaico del disco unitario mediante triángulos hiperbólicos "equiláteros" con todos los ángulos iguales a . [141]
Un ejemplo de la intuición de Gauss en los campos del análisis es la observación críptica de que los principios de la división del círculo mediante compás y regla también se pueden aplicar a la división de la curva de lemniscata , que inspiró el teorema de Abel sobre la división de lemniscatas. [r] Otro ejemplo es su publicación "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) sobre la determinación del signo de la suma cuadrática de Gauss , en la que resolvió el problema principal introduciendo q-análogos de coeficientes binomiales y manipulándolos mediante varias identidades originales. que parecen surgir de su trabajo sobre la teoría de funciones elípticas; sin embargo, Gauss formuló su argumento de una manera formal que no revela su origen en la teoría de funciones elípticas, y sólo el trabajo posterior de matemáticos como Jacobi y Hermite ha expuesto el quid de su argumento. [142]
En las "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), proporciona el primer tratamiento sistemático de la función hipergeométrica general y muestra que muchas de las funciones conocidas en ese momento son casos especiales de la función hipergeométrica. [143] Este trabajo es el primero con una investigación exacta de la convergencia de series infinitas en la historia de las matemáticas. [144] Además, se trata de infinitas fracciones continuas que surgen como razones de funciones hipergeométricas que ahora se denominan fracciones continuas de Gauss . [145]
En 1823, Gauss ganó el premio de la Sociedad Danesa con un ensayo sobre mapeos conformes , que contiene varios desarrollos que pertenecen al campo del análisis complejo. [146] Gauss afirmó que las asignaciones que preservan los ángulos en el plano complejo deben ser funciones analíticas complejas , y utilizó la llamada ecuación de Beltrami para demostrar la existencia de coordenadas isotérmicas en superficies analíticas. El ensayo concluye con ejemplos de asignaciones conformes en una esfera y un elipsoide de revolución . [147]
Gauss a menudo deducía teoremas de forma inductiva a partir de datos numéricos que había recopilado de forma empírica. [77] Como tal, el uso de algoritmos eficientes para facilitar los cálculos fue vital para sus investigaciones, e hizo muchas contribuciones al análisis numérico , por ejemplo el método de cuadratura gaussiana , publicado en 1816. [148]
En una carta privada a Gerling de 1823, [149] describió una solución de cierto sistema de ecuaciones lineales 4X4 utilizando el método de Gauss-Seidel , un método iterativo "indirecto" para la solución de sistemas lineales, y lo recomendó sobre el método habitual. Método de "eliminación directa" para sistemas de más de 2 ecuaciones. [150]
Gauss inventó un algoritmo para calcular lo que ahora se llama transformadas discretas de Fourier , al calcular las órbitas de Palas y Juno en 1805, 160 años antes de que Cooley y Tukey encontraran su algoritmo FFT Cooley-Tukey similar . [151] Lo desarrolló como un método de interpolación trigonométrica , pero el artículo Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata sólo se publicó póstumamente en 1876, [152] precedido por la primera presentación de Joseph Fourier sobre el tema en 1807. [153]
La primera publicación tras la tesis doctoral versó sobre la determinación de la fecha de Pascua (1800), una cuestión muy elemental de matemáticas. Gauss pretendía presentar un algoritmo muy conveniente para personas sin ningún conocimiento en cronología eclesiástica o incluso astronómica, y así evitó los términos usualmente requeridos de número áureo , epact , ciclo solar , letra domenical y cualquier connotación religiosa. [154] Los biógrafos especularon sobre la razón por la cual Gauss se ocupó de este asunto, pero es probable que sea comprensible por los antecedentes históricos. La sustitución del calendario juliano por el calendario gregoriano había causado confusión en los cientos de estados del Sacro Imperio Romano Germánico desde el siglo XVI, y no terminó en Alemania hasta el año 1700, cuando se eliminó la diferencia de once días, pero la La diferencia en el cálculo de la fecha de Pascua permaneció entre los territorios protestantes y católicos. Un nuevo acuerdo de 1776 igualó la forma confesional de contar, por lo que en los estados protestantes como el Ducado de Brunswick la Pascua de 1777, cinco semanas antes del nacimiento de Gauss, fue la primera calculada de la nueva manera. [155] Las dificultades públicas de sustitución pueden ser el trasfondo histórico de la confusión sobre este asunto en la familia Gauss (ver capítulo: Anécdotas). Por estar relacionado con las regulaciones de Pascua, poco después, en 1802, apareció un ensayo sobre la fecha de Pesaj . [156]
El 1 de enero de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió un nuevo objeto celeste, supuso que se trataba del planeta buscado durante mucho tiempo entre Marte y Júpiter según la llamada ley de Titius-Bode y lo llamó Ceres . [157] Sólo pudo rastrearlo por un corto tiempo, hasta que desapareció detrás del resplandor del sol. Las herramientas matemáticas de la época no fueron suficientes para extrapolar una posición a partir de los pocos datos para su reaparición. Gauss abordó el problema y predijo una posición para un posible redescubrimiento en diciembre de 1801. Esto resultó ser exacto en medio grado cuando Franz Xaver von Zach el 7 y 31 de diciembre en Gotha , y de forma independiente Heinrich Olbers el 1 y 2 de enero en Bremen. , identificó el objeto cerca de la posición prevista. [158] [s]
El método de Gauss conduce a una ecuación de octavo grado, de la cual se conoce una solución, la órbita de la Tierra. Luego, la solución buscada se separa de las seis restantes en función de las condiciones físicas. En este trabajo, Gauss utilizó métodos de aproximación integrales que creó para ese propósito. [159]
El descubrimiento de Ceres llevó a Gauss a la teoría del movimiento de los planetoides perturbados por grandes planetas, publicada finalmente en 1809 como Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum . [160] Introdujo la constante gravitacional de Gauss . [33]
Desde que se descubrieron los nuevos asteroides, Gauss se ocupó de las perturbaciones de sus elementos orbitales . En primer lugar examinó a Ceres con métodos analíticos similares a los de Laplace, pero su objeto favorito era Palas , debido a su gran excentricidad e inclinación orbital , por lo que el método de Laplace no funcionó. Gauss utilizó sus propias herramientas: la media aritmético-geométrica , la función hipergeométrica y su método de interpolación. [161] Encontró una resonancia orbital con Júpiter en proporción 18: 7 en 1812; Gauss dio este resultado como cifrado y dio el significado explícito sólo en cartas a Olbers y Bessel. [162] [163] [t] Después de largos años de trabajo, lo terminó en 1816 sin un resultado que le pareciera suficiente. Esto también marcó el final de sus actividades en la astronomía teórica. [165]
Un fruto de la investigación de Gauss sobre las perturbaciones de Palas fue la Determinatio Appealis... (1818) sobre un método de astronomía teórica que más tarde se conoció como el "método del anillo elíptico". Introdujo una concepción promedio en la que un planeta en órbita es reemplazado por un anillo ficticio con una densidad de masa proporcional al tiempo que tarda el planeta en seguir los arcos orbitales correspondientes. [166] Gauss presenta el método para evaluar la atracción gravitacional de dicho anillo elíptico, que incluye varios pasos; uno de ellos implica una aplicación directa del algoritmo de media aritmético-geométrica (AGM) para calcular una integral elíptica . [167]
Si bien las contribuciones de Gauss a la astronomía teórica llegaron a un final marcado, actividades más prácticas en astronomía observacional continuaron y lo ocuparon durante toda su carrera. Incluso a principios de 1799, Gauss se ocupó de la determinación de la longitud mediante el uso del paralaje lunar, para lo cual desarrolló fórmulas más convenientes que las de uso común. [168] Después de su nombramiento como director del observatorio, concedió importancia a las constantes astronómicas fundamentales en correspondencia con Bessel. El propio Gauss proporcionó tablas para la nutación y la aberración, las coordenadas solares y la refracción. [169] Hizo muchas contribuciones a la geometría esférica y en este contexto resolvió algunos problemas prácticos sobre la navegación por estrellas . [170] Publicó una gran cantidad de observaciones, principalmente sobre planetas menores y cometas; su última observación fue el eclipse solar del 28 de julio de 1851 . [171]
Es probable que Gauss haya utilizado el método de mínimos cuadrados para calcular la órbita de Ceres para minimizar el impacto del error de medición . [88] El método fue publicado por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1805, pero Gauss afirmó en Theoria motus (1809) que lo había estado utilizando desde 1794 o 1795. [172] [173] [174] En la historia de la estadística Este desacuerdo se denomina "disputa de prioridad sobre el descubrimiento del método de mínimos cuadrados". [88] Gauss demostró que el método tiene la varianza de muestreo más baja dentro de la clase de estimadores lineales insesgados bajo el supuesto de errores normalmente distribuidos ( teorema de Gauss-Markov ), en el artículo de dos partes Theoria combineis observeum erroribus minimis obnoxiae (1823). [175]
En el primer artículo demostró la desigualdad de Gauss (una desigualdad de tipo Chebyshev ) para distribuciones unimodales , y afirmó sin pruebas otra desigualdad para momentos de cuarto orden (un caso especial de desigualdad de Gauss-Winckler). [176] Derivó límites inferior y superior para la varianza de la varianza muestral . En el segundo artículo, Gauss describió los métodos recursivos de mínimos cuadrados . Su trabajo sobre la teoría de los errores fue ampliado en varias direcciones por el geodesista Friedrich Robert Helmert hasta el modelo de Gauss-Helmert . [177]
Gauss también contribuyó a problemas de la teoría de la probabilidad que no están directamente relacionados con la teoría de los errores. Un ejemplo aparece como una nota de diario y se ocupa del problema de describir la distribución asintótica de entradas en la expansión fraccionaria continua de un número aleatorio distribuido uniformemente en (0,1) . Derivó esta distribución, ahora conocida como distribución de Gauss-Kuzmin , como un subproducto del descubrimiento de la ergodicidad del mapa de Gauss para fracciones continuas . La solución de Gauss es el primer resultado de la teoría métrica de fracciones continuas. [178]
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Gauss estuvo ocupado con problemas geodésicos desde 1799, cuando ayudó a Karl Ludwig von Lecoq con los cálculos durante su estudio en Westfalia . [179] Posteriormente, desde 1804, aprendió por sí mismo algunas prácticas geodésicas con un sextante en Brunswick, [180] y Gotinga. [181]
Desde 1816, el antiguo alumno de Gauss, Heinrich Christian Schumacher , entonces profesor en Copenhague , pero que vivía en Altona ( Holstein ), cerca de Hamburgo, como jefe de un observatorio, llevó a cabo una triangulación de la península de Jutlandia desde Skagen en el norte hasta Lauenburg en el sur. [u] Este proyecto fue la base para la producción de mapas, pero también tenía como objetivo determinar el arco geodésico entre los sitios terminales. Se utilizaron datos de arcos geodésicos para determinar las dimensiones del geoide terrestre , y las distancias de arco largas arrojaron resultados más precisos. Schumacher pidió a Gauss que continuara este trabajo más al sur, en el Reino de Hannover; Gauss estuvo de acuerdo después de un breve momento de vacilación. Finalmente, en mayo de 1820, el rey Jorge IV dio la orden a Gauss. [182]
Una medición de arco necesita una determinación astronómica precisa de al menos dos puntos de la red . Gauss y Schumacher aprovecharon la ocasión favorita de que ambos observatorios de Göttingen y Altona, en el jardín de la casa de Schumacher, se encontraban casi a la misma longitud . La latitud se midió con ambos instrumentos y con un sector cenital de Ramsden que fue transportado a ambos observatorios. [183] [v]
Gauss y Schumacher ya habían determinado en octubre de 1818 algunos ángulos entre Lüneburg , Hamburgo y Lauenburg para la conexión geodésica. [184] Durante los veranos de 1821 a 1825 Gauss dirigió personalmente el trabajo de triangulación, que iba desde Turingia en el sur hasta el río Elba en el norte. El triángulo entre Hoher Hagen , Großer Inselsberg en el bosque de Turingia y Brocken en las montañas de Harz fue el más grande que Gauss había medido jamás, con un tamaño máximo de 107 km (66,5 millas). En el brezal de Lüneburg, escasamente poblado y sin cumbres naturales importantes ni edificios artificiales, tuvo dificultades para encontrar puntos de triangulación adecuados, a veces fue necesario cortar carriles a través de la vegetación. [155] [185]
Para señalar señales, Gauss inventó un nuevo instrumento con espejos móviles y un pequeño telescopio que refleja los rayos del sol hasta los puntos de triangulación, y lo llamó heliotropo . [186] Otra construcción adecuada para el mismo propósito fue un sextante con un espejo adicional al que llamó vice heliotropo . [187] Gauss recibió ayuda de soldados del ejército de Hannover, entre ellos su hijo mayor, Joseph. Gauss participó en la medición de la línea base ( Braak Base Line ) de Schumacher en el pueblo de Braak cerca de Hamburgo en 1820 y utilizó el resultado para evaluar la triangulación hannoveriana. [188]
Un resultado adicional fue un mejor valor del aplanamiento del elipsoide terrestre aproximado . [189] [w] Gauss desarrolló la proyección transversal universal de Mercator de la Tierra de forma elipsoidal (lo que llamó proyección conforme ) [191] para representar datos geodésicos en cartas planas.
Cuando terminó la medición del arco, Gauss comenzó la ampliación de la triangulación hacia el oeste para obtener un estudio de todo el Reino de Hannover con un Real Decreto del 25 de marzo de 1828. [192] El trabajo práctico fue dirigido por tres oficiales del ejército, entre ellos ellos el teniente Joseph Gauss. La evaluación completa de los datos quedó en manos de Gauss, quien le aplicó sus inventos matemáticos como el método de mínimos cuadrados y el método de eliminación . El proyecto se terminó en 1844 y Gauss envió un informe final del proyecto al gobierno; su método de proyección no fue editado hasta 1866. [193] [194]
En 1828, al estudiar las diferencias de latitud , Gauss definió por primera vez una aproximación física de la figura de la Tierra como la superficie en todas partes perpendicular a la dirección de la gravedad; [195] más tarde, su estudiante de doctorado Johann Benedict Listing lo llamó geoide . [196]
El estudio geodésico de Hannover alimentó el interés de Gauss por la geometría diferencial y la topología , campos de las matemáticas que se ocupan de curvas y superficies . Esto lo llevó en 1828 a la publicación de una memoria que marca el nacimiento de la geometría diferencial de superficies moderna , ya que se apartó de las formas tradicionales de tratar las superficies como gráficas cartesianas de funciones de dos variables, y que inició la exploración de las superficies desde el principio. punto de vista "interior" de un ser bidimensional obligado a moverse sobre él. Como resultado, el Theorema Egregium ( teorema notable ), estableció una propiedad de la noción de curvatura gaussiana . Informalmente, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar completamente midiendo ángulos y distancias en la superficie, independientemente de si la superficie está incrustada en un espacio tridimensional o bidimensional. [197]
El Theorema Egregium conduce a la abstracción de superficies como variedades doblemente extendidas ; Aclara la distinción entre las propiedades intrínsecas de la variedad (la métrica ) y su realización física (la incrustación) en el espacio ambiental. Una consecuencia es la imposibilidad de una transformación isométrica entre superficies de diferente curvatura gaussiana. Esto significa prácticamente que una esfera o un elipsoide no se puede transformar en un plano sin distorsión, lo que provoca un problema fundamental en el diseño de proyecciones para mapas geográficos. [197] Una parte de este ensayo está dedicada a un estudio profundo de las geodésicas . En particular, Gauss demuestra el teorema local de Gauss-Bonnet en triángulos geodésicos y generaliza el teorema de Legendre en triángulos esféricos a triángulos geodésicos en superficies arbitrarias con curvatura continua; Descubrió que los ángulos de un triángulo geodésico "suficientemente pequeño" se desvían de los de un triángulo plano de los mismos lados de una manera que depende sólo de los valores de la curvatura de la superficie en los vértices del triángulo, independientemente del comportamiento del superficie en el interior del triángulo. [198]
Las memorias de Gauss de 1828 carecen de la concepción de curvatura geodésica . Sin embargo, en un manuscrito inédito, muy probablemente escrito entre los años 1822 y 1825, introdujo el término "curvatura lateral" (en alemán: "Seitenkrümmung") y demostró su invariancia bajo transformaciones isométricas, resultado que luego obtuvo Ferdinand. Minding y publicado por él en 1830. Este artículo de Gauss contiene el núcleo de su lema sobre la curvatura total, pero también su generalización, encontrada y demostrada por Pierre Ossian Bonnet en 1848 y conocida como teorema de Gauss-Bonnet . [199]
En vida de Gauss se produjo una viva discusión sobre el axioma de las paralelas de Euclides. Numerosos matemáticos se esforzaron por demostrarlo, mientras que algunos de ellos discutieron la posibilidad de sistemas geométricos sin él. [200] En 1816, hizo un primer breve comentario público sobre este asunto en la reseña de un libro, y en el tiempo siguiente ocasionalmente hizo algunos comentarios en cartas a sus corresponsales. [201] [202] Él es quien acuñó el término "geometría no euclidiana". [203]
No fue hasta que Lobachevsky (1829) y Janos Bolyai (1832) publicaron sus ideas sobre la geometría no euclidiana –por primera vez en la historia de las matemáticas– [200] el propio Gauss dejó por escrito sus ideas, pero evitó cualquier influencia en el conocimiento científico contemporáneo. discusión, porque no publicó al respecto. [201] [204] Gauss elogió las ideas de Janos Bolyai en una carta a su padre, [205] afirmando que eran congruentes con sus propios pensamientos desde hace algunas décadas. [206] [207] Pero no está claro hasta qué punto precedió a Lobachevsky y Bolyai, ya que sólo hizo comentarios vagos y oscuros al respecto en sus cartas. [200]
Sartorius lo mencionó por primera vez en 1856, pero sólo la edición de los artículos de la izquierda en el Volumen VIII de las Obras Completas (1900) mostró las propias ideas de Gauss sobre ese asunto, en un momento en que la geometría no euclidiana aún había surgido de una discusión controvertida. [201]
Gauss también fue uno de los primeros pioneros de la topología o Geometria Situs , como se la llamó en vida. La primera demostración del teorema fundamental del álgebra en 1799 contenía un argumento esencialmente topológico; cincuenta años después, desarrolló aún más el argumento topológico en su cuarta prueba de este teorema. [208]
Otro encuentro con las nociones topológicas se le ocurrió durante su trabajo astronómico en 1804, cuando determinó los límites de la región de la esfera celeste en la que podrían aparecer cometas y asteroides, y que denominó "Zodiacus". Descubrió que si las órbitas de la Tierra y los cometas están unidas , entonces, por razones topológicas, el Zodíaco es la esfera completa. En 1848, en el contexto del descubrimiento del asteroide 7 Iris , publicó una nueva discusión cualitativa sobre el Zodíaco. [209]
De las cartas de Gauss durante el período 1820-1830, se puede aprender que pensó intensamente en temas con estrecha afinidad con Geometria Situs, y gradualmente se volvió consciente de la dificultad semántica en este campo. Fragmentos de este período revelan que intentó clasificar "figuras de tracto", que son curvas planas cerradas con un número finito de autointersecciones transversales, que también pueden ser proyecciones planas de nudos . [210] Para hacerlo, ideó un esquema simbólico, el código de Gauss , que en cierto sentido capturaba los rasgos característicos de las figuras de los tratados. [211] [212]
En un fragmento de 1833, Gauss definió el número de enlace de dos curvas espaciales mediante una determinada integral doble, y al hacerlo proporcionó por primera vez una formulación analítica de un fenómeno topológico. En la misma línea, lamentó los pocos avances en Geometria Situs, y remarcó que uno de sus problemas centrales será "contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o infinitas". Sus cuadernos de notas de esa época revelan que también pensaba en otros objetos topológicos como trenzas y enredos . [209]
La influencia de Gauss en años posteriores en el campo emergente de la topología, que tenía en gran estima, se produjo a través de comentarios ocasionales y comunicaciones orales a Mobius y Listing. [213]
Gauss aplicó el concepto de números complejos para resolver algunos problemas bien conocidos de una forma nueva y concisa. Por ejemplo, en una breve nota de 1836 sobre los aspectos geométricos de las formas ternarias y su aplicación a la cristalografía, [214] estableció el teorema fundamental de la axonometría , que dice cómo representar un cubo 3D en un plano 2D con total precisión, mediante complejos números. [215] Describió las rotaciones de esta esfera como la acción de ciertas transformaciones fraccionarias lineales en el plano complejo extendido, [216] y dio una prueba del teorema geométrico de que las altitudes de un triángulo siempre se encuentran en un solo ortocentro . [217]
Gauss estuvo interesado en el " Pentagramma mirificum " de John Napier (un cierto pentagrama esférico ) durante varias décadas; [218] lo abordó desde varios puntos de vista y gradualmente obtuvo una comprensión completa de sus aspectos geométricos, algebraicos y analíticos. [219] En particular, en 1843 estableció y demostró varios teoremas que conectan funciones elípticas, pentágonos esféricos de Napier y pentágonos de Poncelet en el plano. [220]
Además, contribuyó con una solución al problema de construir la elipse de área más grande dentro de un cuadrilátero dado , [221] [222] y descubrió un resultado sorprendente sobre el cálculo del área de pentágonos . [223] [224]
Gauss ha estado interesado en el magnetismo desde 1803. [225] Después de que Alexander von Humboldt visitara Göttingen en 1826, ambos científicos comenzaron una investigación intensiva sobre el geomagnetismo , en parte de forma independiente, en parte en cooperación productiva. [226] En 1828, Gauss fue invitado personal de Humboldt durante la conferencia de la Sociedad de Científicos Naturales y Médicos Alemanes en Berlín, donde conoció al físico Wilhelm Weber . [227]
Cuando Weber obtuvo la cátedra de física en Gotinga como sucesor de Johann Tobias Mayer por recomendación de Gauss en 1831, ambos iniciaron una fructífera colaboración que condujo a un nuevo conocimiento del magnetismo con una representación de la unidad del magnetismo en términos de masa, carga. , y tiempo. [228] Fundaron la Asociación Magnética (en alemán: Magnetischer Verein ), un grupo de trabajo internacional de varios observatorios, que apoyó las mediciones del campo magnético de la Tierra en muchas regiones del mundo con métodos iguales en fechas concertadas en los años 1836 a 1841. [ 229]
En 1836, Humboldt sugirió el establecimiento de una red mundial de estaciones geomagnéticas en los dominios británicos con una carta al duque de Sussex , entonces presidente de la Royal Society; Las medidas magnéticas deben tomarse en condiciones estandarizadas utilizando los métodos de Gauss. [230] [231] Junto con otros instigadores, esto condujo a un programa global conocido como " Cruzada magnética " bajo el directorio de Edward Sabine . Las fechas, horas e intervalos de las observaciones se determinaron de antemano; como estándar se utilizó el tiempo medio de Gotinga . [232] 61 estaciones en los cinco continentes participaron en este programa global. Gauss y Weber fundaron una serie para la publicación de los resultados; se editaron seis volúmenes entre 1837 y 1843. La partida de Weber a Leipzig en 1843 como efecto tardío del asunto de los Siete de Göttingen marcó el final de la actividad de la Asociación Magnética. [229]
Siguiendo el ejemplo de Humboldt, Gauss ordenó que se construyera un observatorio magnético en el jardín del observatorio, pero ambos científicos diferían sobre el equipamiento instrumental; Gauss prefería los instrumentos estacionarios, que pensaba que daban resultados más precisos, mientras que Humboldt estaba acostumbrado a los instrumentos móviles. Gauss estaba interesado en la variación temporal y espacial de la declinación, inclinación e intensidad magnéticas, pero discriminó el concepto de intensidad magnética de Humboldt en términos de intensidad "horizontal" y "vertical". Junto con Weber, desarrolló métodos para medir los componentes de la intensidad del campo magnético y construyó un magnetómetro adecuado para medir valores absolutos de la fuerza del campo magnético de la Tierra, no más relativos que dependían del aparato. [229] [233] La precisión del magnetómetro era aproximadamente diez veces mayor que la de los instrumentos anteriores. Con este trabajo, Gauss fue el primero en derivar una cantidad no mecánica a partir de cantidades mecánicas básicas. [232]
Gauss llevó a cabo una Teoría general del magnetismo terrestre (1839), en la que creía describir la naturaleza de la fuerza magnética; Según Felix Klein, este trabajo es una presentación de observaciones mediante el uso de armónicos esféricos más que una teoría física. [234] La teoría predijo la existencia de exactamente dos polos magnéticos en la Tierra, por lo que la idea de Hansteen de cuatro polos magnéticos quedó obsoleta, [235] y los datos permitieron determinar su ubicación con bastante buena precisión. [236]
Gauss influyó en los inicios de la geofísica en Rusia, cuando Adolph Theodor Kupffer , uno de sus antiguos alumnos, fundó un observatorio magnético en San Petersburgo , siguiendo el ejemplo del observatorio de Gotinga, y de manera similar, Ivan Simonov en Kazán . [235]
Los descubrimientos de Hans Christian Ørsted sobre el electromagnetismo y de Michael Faraday sobre la inducción electromagnética llamaron la atención de Gauss sobre estas cuestiones. [237] Gauss y Weber encontraron reglas para circuitos eléctricos ramificados, que luego fueron encontradas de forma independiente y publicadas por primera vez por Gustav Kirchhoff y bautizadas en su honor como leyes de circuitos de Kirchhoff , [238] e hicieron investigaciones sobre electromagnetismo. Construyeron el primer telégrafo electromecánico en 1833 y el propio Weber conectó el observatorio con el Instituto de Física en el centro de la ciudad de Göttingen, [y] pero no les interesaba seguir desarrollando este invento con fines comerciales. [239] [240]
Los principales intereses teóricos de Gauss en el electromagnetismo se reflejaron en sus intentos de formular leyes cuantitativas que gobiernen la inducción electromagnética. En cuadernos de estos años registró varias formulaciones innovadoras; Descubrió la idea de la función potencial vectorial (redescubierta de forma independiente por Franz Ernst Neumann en 1845), y en enero de 1835 escribió una "ley de inducción" equivalente a la ley de Faraday , que establecía que la fuerza electromotriz en un punto dado del espacio es igual a la tasa de cambio instantánea (con respecto al tiempo) de esta función. [241] [242]
Gauss intentó encontrar una ley unificadora para los efectos a larga distancia de la electrostática , la electrodinámica , el electromagnetismo y la inducción , comparable a la ley de gravitación de Newton, [243] pero su intento terminó en un "trágico fracaso". [232]
Desde que Isaac Newton demostró teóricamente que la Tierra y las estrellas en rotación adoptan formas no esféricas, el problema de la atracción de los elipsoides adquirió importancia en la astronomía matemática. En su primera publicación sobre teoría potencial, "Theoria Appealis..." (1813), Gauss proporcionó una expresión cerrada a la atracción gravitacional de un elipsoide triaxial homogéneo en cada punto del espacio. [244] En contraste con investigaciones anteriores de Maclaurin , Laplace y Lagrange, la nueva solución de Gauss trató la atracción más directamente en la forma de una integral elíptica. En el proceso, también demostró y aplicó algunos casos especiales del llamado teorema de Gauss en el análisis vectorial . [245]
En los Teoremas generales sobre las fuerzas de atracción y repulsión que actúan en proporciones recíprocas de distancias cuadráticas (1840), Gauss dio la base de una teoría del potencial magnético , basada en Lagrange, Laplace y Poisson; [234] parece bastante improbable que conociera los trabajos anteriores de George Green sobre este tema. [237] Sin embargo, Gauss nunca pudo dar ninguna razón para el magnetismo, ni una teoría del magnetismo similar al trabajo de Newton sobre la gravitación, que permitiera a los científicos predecir los efectos geomagnéticos en el futuro. [232]
Gauss permitió al fabricante de instrumentos Johann Georg Repsold en Hamburgo, con sus propios cálculos, construir en 1810 un nuevo sistema de lentes acromáticas. Un problema principal, entre otras dificultades, fue el conocimiento impreciso del índice de refracción y la dispersión de los tipos de vidrio utilizados. [246] En un breve artículo de 1817, Gauss abordó el problema de la eliminación de la aberración cromática en lentes dobles e hizo cálculos sobre los ajustes de la forma y los coeficientes de refracción necesarios para minimizarla. Su trabajo fue notado por el óptico Carl August von Steinheil , quien en 1860 introdujo el doblete acromático Steinheil , basado en parte en los cálculos de Gauss. [247] Muchos resultados en óptica geométrica sólo se encuentran dispersos en las correspondencias y notas manuales de Gauss. [248]
En las Investigaciones dióptricas (1840), Gauss realizó el primer análisis sistemático sobre la formación de imágenes bajo una aproximación paraxial ( óptica gaussiana ). [249] Caracterizó los sistemas ópticos bajo una aproximación paraxial sólo por sus puntos cardinales , [250] y derivó la fórmula de la lente gaussiana , aplicable sin restricciones con respecto al espesor de las lentes. [251] [252]
El primer negocio de Gauss en mecánica se refería a la rotación de la Tierra . Cuando su amigo de la universidad Benzenberg llevó a cabo experimentos para determinar la desviación de las masas que caían respecto de la perpendicular en 1802, lo que hoy se conoce como efecto de la fuerza de Coriolis , le pidió a Gauss un cálculo teórico de los valores para compararlos con los experimentales. . Gauss elaboró un sistema de ecuaciones fundamentales para el movimiento, y los resultados se correspondían suficientemente con los datos de Benzenberg, quien añadió las consideraciones de Gauss como apéndice a su libro sobre experimentos de caída. [253]
Después de que Foucault demostrara en público la rotación de la Tierra mediante su experimento del péndulo en 1851, Gerling interrogó a Gauss para obtener más explicaciones. Esto instigó a Gauss a diseñar un nuevo aparato de demostración con un péndulo de longitud mucho más corta que el de Foucault. Las oscilaciones se observaron con un telescopio de lectura, con escala vertical y un espejo fijado al péndulo. Se describe en la correspondencia Gauss-Gerling, y Weber hizo algunos experimentos con este aparato en 1853, pero no se publicaron datos. [254] [255]
El principio de mínima restricción de Gauss de 1829 se estableció como un concepto general para superar la división de la mecánica en estática y dinámica, combinando el principio de D'Alembert con el principio de trabajo virtual de Lagrange , y mostrando analogías con el método de mínimos cuadrados . [256]
En 1828, Gauss fue nombrado jefe de la Junta de Pesos y Medidas del Reino de Hannover. Proporcionó la creación de estándares de longitud y medidas. El propio Gauss se encargó de las laboriosas medidas y dio órdenes detalladas para la preparación mecánica. [155] En la correspondencia con Schumacher, que también estaba trabajando en este asunto, describió nuevas ideas para escalas de alta precisión. [257] Presentó los informes finales sobre el pie y la libra de Hannover al gobierno en 1841. Este trabajo adquirió una importancia más que regional por orden de una ley de 1836, que conectaba las medidas de Hannover con las inglesas. [155]
Se han informado varias historias de su genio temprano. La madre de Carl Friedrich Gauss nunca había registrado la fecha de su nacimiento, recordando sólo que había nacido un miércoles, ocho días antes de la Fiesta de la Ascensión , que se produce 39 días después de Pascua. Más tarde, Gauss resolvió este enigma sobre su fecha de nacimiento en el contexto de encontrar la fecha de Pascua , derivando métodos para calcular la fecha tanto en años pasados como futuros. [258] Gauss sintió lástima por su hija recién nacida Guillermina, porque nació en el día bisiesto de 1808 y, por lo tanto, celebraría su cumpleaños sólo cada cuatro años. [259]
En su homenaje a Gauss, Wolfgang Sartorius von Waltershausen cuenta la historia de Gauss, de tres años de edad, que corrigió un error matemático cometido por su padre. La historia más popular, también contada por Sartorius, habla de un ejercicio escolar: el profesor Büttner y su asistente Martin Bartels ordenaron a los alumnos que sumaran una serie aritmética . Entre un centenar de alumnos, Gauss fue el primero en resolver correctamente el problema por un margen significativo. [260] [8] Aunque (o porque) Sartorius no dio detalles, con el paso del tiempo se han creado muchas versiones de esta historia, con cada vez más detalles sobre la naturaleza de la serie, siendo la más frecuente el problema clásico de sumando todos los números enteros del 1 al 100 – y las circunstancias en el aula. [261] [z]
El autor inglés favorito de Gauss era Walter Scott; cuando a veces leía las palabras "la luna sale amplia en el noroeste", se divertía mucho. [263]
La primera membresía de una sociedad científica le fue otorgada a Gauss en 1802 por la Academia de Ciencias de Rusia . [264] Otras membresías (correspondientes, extranjeras o de pleno derecho) fueron otorgadas por la Academia de Ciencias de Göttingen (1802/1807), [265] la Academia de Ciencias de Francia (1804/1820), [266] la Royal Society de Londres ( 1804), [267] la Real Academia Prusiana de Berlín (1810), [268] la Academia Nacional de Ciencias de Verona (1810), [269] la Real Sociedad de Edimburgo (1820), [270] la Academia de Ciencias de Baviera de Munich (1820), [271] la Real Academia Danesa de Copenhague (1821), [272] la Real Sociedad Astronómica de Londres (1821), [273] la Real Academia Sueca de Ciencias (1821), [272] la Academia Americana Academia de Artes y Ciencias de Boston (1822), [274] Real Sociedad Bohemia de Ciencias de Praga (1833), [275] Real Academia de Ciencias, Letras y Bellas Artes de Bélgica (1841/1845), [276] la Real Sociedad de Ciencias de Uppsala (1843), [275] la Real Academia Irlandesa de Dublín (1843), [275] el Real Instituto de los Países Bajos (1845/1851), [277] la Real Academia Española de Ciencias de Madrid (1850), [278] la Sociedad Geográfica Rusa (1851), [279] la Academia Imperial de Ciencias de Viena (1848), [279] la Sociedad Filosófica Americana (1853), [280] la Sociedad Filosófica de Cambridge , [279 ] y la Real Sociedad Holandesa de Ciencias en Haarlem. [281] [282]
Tanto la Universidad de Kazán como la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga lo nombraron miembro honorario en 1848. [281]
Gauss recibió el Premio Lalande de la Academia Francesa de Ciencias en 1809 por la teoría de los planetas y los medios para determinar sus órbitas a partir de sólo tres observaciones, [283] el premio de la Academia Danesa de Ciencias en 1823 por sus memorias sobre la proyección conforme, [275 ] y la Medalla Copley de la Royal Society en 1838 por "sus inventos e investigaciones matemáticas en el magnetismo". [282] [284] [33]
Gauss fue nombrado Caballero de la Legión de Honor francesa en 1837, [285] y fue considerado uno de los primeros miembros de la Orden Prusiana Pour le Merite (clase civil) cuando se estableció en 1842. [286] Recibió la Orden de la Corona de Westfalia (1810), [282] la Orden Danesa de Dannebrog (1817), [282] la Real Orden Güelfica de Hannover (1815), [282] la Orden Sueca de la Estrella Polar (1844), [287 ] la Orden de Enrique el León (1849), [287] y la Orden Maximiliana de Ciencia y Arte de Baviera (1853). [279]
Los reyes de Hannover le otorgaron los títulos honoríficos de " Hofrath " (1816) [51] y "Geheimer Hofrath" [aa] (1845). En 1949, con motivo de las bodas de oro de su doctorado, obtuvo la ciudadanía honoraria de ambas ciudades, Brunswick y Göttingen. [279] Poco después de su muerte, se emitió una medalla por orden del rey Jorge V de Hannover con la inscripción en el reverso dedicada "al Príncipe de los Matemáticos". [288]
La "Gauss-Gesellschaft Göttingen" ("Sociedad Gauss de Göttingen") fue fundada en 1964 para investigar la vida y obra de Carl Friedrich Gauss y personas relacionadas y edita las Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft ( Comunicaciones de la Sociedad Gauss ). [289]
La Academia de Ciencias y Humanidades de Gotinga ofrece una colección completa de las cartas aún conocidas de y para Carl Friedrich Gauss, a la que se puede acceder en línea. [34] El patrimonio literario es conservado y proporcionado por la Biblioteca Estatal y Universitaria de Gotinga . [290] El patrimonio escrito de Carl Friedrich Gauss y sus familiares también se puede encontrar en el archivo municipal de Brunswick. [291]
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