Principio de mínima restricción de Gauss

Formulación en mecánica clásica

Gauss y Hertz idearon principios variacionales de la mecánica.

El principio de mínima restricción es una formulación variacional de la mecánica clásica enunciada por Carl Friedrich Gauss en 1829, equivalente a todas las demás formulaciones de la mecánica analítica . Intuitivamente, dice que la aceleración de un sistema físico restringido será lo más similar posible a la del sistema no restringido correspondiente. ^[1]

Declaración

El principio de mínima restricción es un principio de mínimos cuadrados que establece que la verdadera aceleración de un sistema mecánico de masas es el mínimo de la cantidad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

donde la partícula j tiene masa , vector de posición y fuerza aplicada sin restricción que actúa sobre la masa. ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$

La notación indica la derivada temporal de una función vectorial , es decir, la posición. Las aceleraciones correspondientes satisfacen las restricciones impuestas, que en general dependen del estado actual del sistema . ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$

Se recuerda el hecho de que debido a la aplicación de fuerzas activas y reactivas (de restricción) , con resultante , un sistema experimentará una aceleración . ${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$ ${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$ ${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$

Conexiones con otras formulaciones

El principio de Gauss es equivalente al principio de D'Alembert .

El principio de mínima restricción es cualitativamente similar al principio de Hamilton , que establece que el camino verdadero que sigue un sistema mecánico es un extremo de la acción . Sin embargo, el principio de Gauss es un principio mínimo (local) verdadero , mientras que el otro es un principio extremo .

Principio de mínima curvatura de Hertz

El principio de mínima curvatura de Hertz es un caso especial del principio de Gauss, restringido por las tres condiciones de que no hay fuerzas aplicadas externamente, no hay interacciones (que normalmente se pueden expresar como una energía potencial ) y todas las masas son iguales. Sin pérdida de generalidad, las masas se pueden establecer iguales a uno. En estas condiciones, la cantidad minimizada de Gauss se puede escribir

${\displaystyle Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

La energía cinética también se conserva en estas condiciones. ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

Dado que el elemento de línea en el espacio -dimensional de las coordenadas está definido ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

La conservación de la energía también puede escribirse

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}$

Dividiendo por obtenemos otra cantidad mínima ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 2T}$

${\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}$

Dado que es la curvatura local de la trayectoria en el espacio -dimensional de las coordenadas, la minimización de es equivalente a encontrar la trayectoria de menor curvatura (una geodésica ) que sea consistente con las restricciones. ${\displaystyle {\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle K}$

El principio de Hertz es también un caso especial de la formulación de Jacobi del principio de mínima acción .

Filosofía

Hertz diseñó el principio para eliminar el concepto de fuerza y ​​dinámica, de modo que la física consistiera exclusivamente en cinemática, en puntos materiales en movimiento restringido. Fue crítico de la "oscuridad lógica" que rodeaba la idea de fuerza.

Quisiera mencionar la experiencia de que es sumamente difícil explicar a oyentes reflexivos esa misma introducción a la mecánica sin sentirse avergonzado de vez en cuando, sin sentirse tentado de vez en cuando a disculparse, sin desear pasar lo más rápidamente posible a los rudimentos y pasar a ejemplos que hablan por sí mismos. Me imagino que el propio Newton debe haber sentido esta vergüenza...

Para reemplazar el concepto de fuerza, propuso que la aceleración de las masas visibles no se explica por la fuerza, sino por las restricciones geométricas de las masas visibles y sus vínculos geométricos con las masas invisibles. En esto, se entendió a sí mismo como continuador de la tradición de la filosofía mecánica cartesiana , como la explicación de Boltzmann del calor por el movimiento atómico y la explicación de Maxwell del electromagnetismo por el movimiento del éter . Aunque tanto los átomos como el éter no eran observables excepto a través de sus efectos, tuvieron éxito en explicar fenómenos aparentemente no mecánicos mecánicamente. Al tratar de explicar la "fuerza mecánica", Hertz estaba "mecanizando la mecánica clásica". ^[2]

Véase también

• Ecuación de movimiento de Appell

Literatura

• Gauss, CF (1829). "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". Diario de Crelle . 1829 (4): 232–235. doi :10.1515/crll.1829.4.232. S2CID  199545985.
• Gauss, Carl Friedrich. Werke [ Obras completas ]. Vol. 5. págs. 23–28.
• Hertz, Heinrich (1896). Principios de mecánica . Documentos varios. Vol. III. Macmillan.
• Lanczos, Cornelius (1986). "IV §8 Principio de Gauss de mínima restricción". Los principios variacionales de la mecánica (Reimpresión de la Universidad de Toronto 1970 4ª ed.). Courier Dover. pp. 106–110. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Papastavridis, John G. (2014). "6.6 El principio de Gauss (tratamiento extenso)". Mecánica analítica: Un tratado completo sobre la dinámica de sistemas restringidos (edición reimpresa). Singapur, Hackensack NJ, Londres: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4.

Referencias

1. Azad, Morteza; Babič, Jan; Mistry, Michael (1 de octubre de 2019). "Efectos de la matriz de ponderación en la manipulabilidad dinámica de los robots". Robots autónomos . 43 (7): 1867–1879. doi : 10.1007/s10514-018-09819-y . hdl : 20.500.11820/855c5529-d9cd-434d-8f8b-4a61248137a2 . ISSN  1573-7527.
2. Klein, Martin J. (1974), Seeger, Raymond J.; Cohen, Robert S. (eds.), "Boltzmann, monociclos y explicación mecánica", Philosophical Foundations of Science , vol. 11, Dordrecht: Springer Netherlands, págs. 155-175, doi :10.1007/978-94-010-2126-5_8, ISBN 978-90-277-0376-7, consultado el 28 de mayo de 2024

Enlaces externos

• [1] Una discusión moderna y prueba del principio de Gauss
• Principio de Gauss en la Enciclopedia de Matemáticas
• Principio de Hertz en la Enciclopedia de Matemáticas