Distribución de Gauss-Kuzmin

En matemáticas , la distribución de Gauss-Kuzmin es una distribución de probabilidad discreta que surge como la distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión fraccionaria continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1). ^[4] La distribución recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss , quien la derivó alrededor de 1800, ^[5] y Rodion Kuzmin , quien dio un límite a la tasa de convergencia en 1929. ^{[6] [7]} Está dada por la función de masa de probabilidad.

${\displaystyle p(k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.}$

Teorema de Gauss-Kuzmin

Dejar

${\displaystyle x={\cfrac {1}{k_{1}+{\cfrac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

sea ​​la expansión fraccionaria continua de un número aleatorio x distribuido uniformemente en (0, 1). Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$

De manera equivalente, sea

${\displaystyle x_{n}={\cfrac {1}{k_{n+1}+{\cfrac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}$

entonces

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

tiende a cero cuando n tiende a infinito.

Tasa de convergencia

En 1928, Kuzmin entregó el título

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.}$

En 1929, Paul Lévy ^[8] lo mejoró.

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.}$

Más tarde, Eduard Wirsing demostró ^[9] que, para λ  = 0,30366... ​​(la constante de Gauss–Kuzmin–Wirsing ), el límite

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$

existe para cada s en [0, 1], y la función Ψ ( s ) es analítica y satisface Ψ (0) =  Ψ (1) = 0. KI Babenko demostró límites adicionales. ^[10]

Véase también

• La constante de Khinchin
• La constante de Lévy

Referencias

1. Blachman, N. (1984). "La fracción continua como fuente de información (Corresp.)". IEEE Transactions on Information Theory . 30 (4): 671–674. doi :10.1109/TIT.1984.1056924.
2. Kornerup, Peter; Matula, David W. (julio de 1995). "LCF: una representación binaria lexicográfica de los racionales". J.UCS the Journal of Universal Computer Science . Vol. 1. págs. 484–503. CiteSeerX 10.1.1.108.5117 . doi :10.1007/978-3-642-80350-5_41. ISBN  978-3-642-80352-9. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
3. Vepstas, L. (2008), Entropía de fracciones continuas (Entropía de Gauss-Kuzmin) (PDF)
4. Weisstein, Eric W. "Distribución Gauss-Kuzmin". MundoMatemático .
5. Gauss, Johann Carl Friedrich . Werke Sammlung. vol. 10/1. págs. 552–556.
6. Kuzmín, RO (1928). "Sobre un problema de Gauss". Dokl. Akád. Nauk SSSR : 375–380.
7. Kuzmín, RO (1932). "Sobre un problema de Gauss". Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bolonia . 6 : 83–89.
8. Levy, P. (1929). "Sobre las leyes de probabilidad no dependen de los cocientes completos e incompletos de una fracción continúan". Boletín de la Société Mathématique de France . 57 : 178-194. doi : 10.24033/bsmf.1150 . JFM  55.0916.02.
9. Wirsing, E. (1974). "Sobre el teorema de Gauss–Kusmin–Lévy y un teorema de tipo Frobenius para espacios funcionales". Acta Arithmetica . 24 (5): 507–528. doi : 10.4064/aa-24-5-507-528 .
10. Babenko, KI (1978). "Sobre un problema de Gauss". Matemáticas soviéticas. Dokl . 19 : 136–140.