La constante de Khinchin

En teoría de números , Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostró que para casi todos los números reales x , los coeficientes _ai de la expansión fraccionaria continua de x tienen una media geométrica finita que es independiente del valor de x y se conoce como constante de Khinchin .

Es decir, para

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

casi siempre es cierto que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}}$

¿Dónde está la constante de Khinchin? ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots }$(secuencia A002210 en la OEIS )

( denotando el producto sobre todos los términos de la secuencia ). ${\displaystyle \prod }$

Aunque casi todos los números satisfacen esta propiedad, no se ha demostrado para ningún número real que no esté específicamente construido para ese propósito. Entre los números cuyas expansiones de fracciones continuas aparentemente tienen esta propiedad (basada en evidencia numérica) se encuentran π , la constante de Euler-Mascheroni γ, la constante de Apéry ζ(3) y la propia constante de Khinchin. Sin embargo, esto no está probado.

Entre los números x cuyas expansiones de fracciones continuas se sabe que no tienen esta propiedad se encuentran los números racionales , las raíces de ecuaciones cuadráticas (incluida la proporción áurea Φ y las raíces cuadradas de números enteros) y la base del logaritmo natural e .

Khinchin a veces se escribe Khintchine (la transliteración francesa del ruso Хинчин) en la literatura matemática más antigua.

Bosquejo de prueba

La prueba presentada aquí fue organizada por Czesław Ryll-Nardzewski ^[1] y es mucho más simple que la prueba original de Khinchin que no utilizó la teoría ergódica .

Dado que el primer coeficiente a ₀ de la fracción continua de x no juega ningún papel en el teorema de Khinchin y dado que los números racionales tienen medida de Lebesgue cero, nos vemos reducidos al estudio de los números irracionales en el intervalo unitario , es decir, aquellos en . Estos números están en biyección con infinitas fracciones continuas de la forma [0; a ₁ ,  a ₂ ,...], que simplemente escribimos [ a ₁ ,  a ₂ ,...], donde a ₁ , a ₂ ,... son números enteros positivos . Defina una transformación T : I  →  I por ${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ].\,}$

La transformación T se llama operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . Para cada subconjunto de Borel E de I , también definimos la medida de Gauss-Kuzmin de E

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\log 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}.}$

Entonces μ es una medida de probabilidad en el σ -álgebra de los subconjuntos de Borel de I . La medida μ es equivalente a la medida de Lebesgue en I , pero tiene la propiedad adicional de que la transformación T conserva la medida μ . Además, se puede demostrar que T es una transformación ergódica del espacio medible I dotado de la medida de probabilidad μ (esta es la parte difícil de la prueba). El teorema ergódico dice entonces que para cualquier función μ - integrable f en I , el valor promedio de es el mismo para casi todos : ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}fd\mu \quad {\text{for }}\mu {\text{-almost all }}x\in I.}$

Aplicando esto a la función definida por f ([ a ₁ ,  a ₂ , ...]) = log( a ₁ ), obtenemos que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\log(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\log(r){\frac {\log {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\log 2}}}$

para casi todos [ a ₁ ,  a ₂ , ...] en I como n  → ∞.

Tomando la exponencial a ambos lados, obtenemos a la izquierda la media geométrica de los primeros n coeficientes de la fracción continua, y a la derecha la constante de Khinchin.

Expresiones en serie

La constante de Khinchin puede expresarse como una serie zeta racional en la forma ^[2]

${\displaystyle \log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$

o, eliminando términos de la serie,

${\displaystyle \log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\log \left({\frac {k-1}{k}}\right)\log \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$

donde N es un número entero, mantenido fijo, y ζ( s ,  n ) es la función zeta compleja de Hurwitz . Ambas series son fuertemente convergentes, ya que ζ( n ) − 1 se acerca a cero rápidamente para n grande . También se puede dar una expansión en términos del dilogaritmo :

${\displaystyle \log K_{0}=\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\left[{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right].}$

Holder significa

La constante de Khinchin puede verse como la primera de una serie de medias de Hölder de los términos de fracciones continuas. Dada una serie arbitraria { a _n }, la media de Hölder de orden p de la serie viene dada por

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}.}$

Cuando { a _n } son los términos de una expansión fraccionaria continua, las constantes vienen dadas por

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}.}$

Esto se obtiene tomando la p -ésima media junto con la distribución de Gauss-Kuzmin . Esto es finito cuando . ${\displaystyle p<1}$

La media aritmética diverge: , por lo que los coeficientes crecen arbitrariamente: . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=K_{1}=+\infty }$ ${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$

El valor de K ₀ se obtiene en el límite de p  → 0.

La media armónica ( p  = −1) es

${\displaystyle K_{-1}=1.74540566240\dots }$(secuencia A087491 en la OEIS ).

Problemas abiertos

El límite parece tender a la constante de Khinchin. ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(\pi _{1}\pi _{2}...\pi _{n})^{1/n}}$

• Se cree que π , la constante de Euler-Mascheroni γ y la propia constante de Khinchin, basándose en evidencia numérica, ^{[3] [4]} se encuentran entre los números cuya media geométrica de los coeficientes a _i en su expansión de fracción continua tiende a la constante de Khinchin. Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido establecido rigurosamente.
• No se sabe si la constante de Khinchin es un número racional, irracional algebraico o trascendental . ^[5]

Ver también

• teorema de loch
• constante de levy
• Lista de constantes matemáticas

Referencias

1. Ryll-Nardzewski, Czesław (1951), "Sobre los teoremas ergódicos II (teoría ergódica de fracciones continuas)", Studia Mathematica , 12 : 74–79, doi :10.4064/sm-12-1-74-79
2. Bailey, Borwein & Crandall, 1997. En ese artículo, se utiliza una definición ligeramente no estándar para la función zeta de Hurwitz.
3. Weisstein, Eric W. "Fracción continua constante de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
4. Weisstein, Eric W. "Fracción continua Pi". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "La constante de Khhinchin". MundoMatemático .

• David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Richard E. Crandall (1995). «Sobre la constante de Khinchine» (PDF) . Matemáticas de la Computación . 66 (217): 417–432. doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 .
• Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función Riemann Zeta" (PDF) . J. Computación. Aplica. Matemáticas . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .

• Thomas Wieting (2007). "Una secuencia de Khinchin". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 136 (3): 815–824. doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .

• Aleksandr Ya. Khinchin (1997). Fracciones continuas . Nueva York: Publicaciones de Dover.

enlaces externos

• 110.000 dígitos de la constante de Khinchin
• 10.000 dígitos de la constante de Khinchin