El número π ( / p aɪ / ; escrito como " pi ") es una constante matemática que es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , aproximadamente igual a 3,14159. El número π aparece en muchas fórmulas de matemáticas y física . Es un número irracional , lo que significa que no se puede expresar exactamente como una proporción de dos números enteros, aunque comúnmente se utilizan fracciones como las que se utilizan para aproximarlo . En consecuencia, su representación decimal nunca termina, ni entra en un patrón que se repite permanentemente . Es un número trascendental , lo que significa que no puede ser una solución de una ecuación que incluya sólo sumas, productos, potencias y números enteros finitos. La trascendencia de π implica que es imposible resolver el antiguo desafío de cuadrar el círculo con compás y regla . Los dígitos decimales de π parecen estar distribuidos aleatoriamente , [a] pero no se ha encontrado ninguna prueba de esta conjetura.
Durante miles de años, los matemáticos han intentado ampliar su comprensión de π , a veces calculando su valor con un alto grado de precisión. Las civilizaciones antiguas, incluidas las egipcias y babilónicas , requerían aproximaciones bastante precisas de π para realizar cálculos prácticos. Alrededor del año 250 a. C., el matemático griego Arquímedes creó un algoritmo para aproximar π con precisión arbitraria. En el siglo V d.C., los matemáticos chinos aproximaron π a siete dígitos, mientras que los matemáticos indios hicieron una aproximación de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. La primera fórmula computacional para π , basada en series infinitas , fue descubierta un milenio después. [1] [2] El primer uso conocido de la letra griega π para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en 1706. [3]
La invención del cálculo pronto condujo al cálculo de cientos de dígitos de π , suficientes para todos los cálculos científicos prácticos. Sin embargo, en los siglos XX y XXI, los matemáticos y los informáticos han seguido nuevos enfoques que, combinados con una potencia computacional cada vez mayor, ampliaron la representación decimal de π a muchos billones de dígitos. [4] [5] Estos cálculos están motivados por el desarrollo de algoritmos eficientes para calcular series numéricas, así como por la búsqueda humana de batir récords. [6] [7] Los extensos cálculos involucrados también se han utilizado para probar supercomputadoras , así como para realizar pruebas de estrés en el hardware de computadoras de consumo.
Debido a que su definición se relaciona con el círculo, π se encuentra en muchas fórmulas de trigonometría y geometría , especialmente aquellas relativas a círculos, elipses y esferas. También se encuentra en fórmulas de otros temas de la ciencia, como cosmología , fractales , termodinámica , mecánica y electromagnetismo . También aparece en áreas que tienen poco que ver con la geometría, como la teoría de números y la estadística , y en el análisis matemático moderno puede definirse sin ninguna referencia a la geometría. La ubicuidad de π la convierte en una de las constantes matemáticas más conocidas dentro y fuera de la ciencia. Se han publicado varios libros dedicados a π , y los cálculos récord de los dígitos de π a menudo dan lugar a titulares de noticias.
El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula π , a veces escrita como pi. [8] En inglés, π se pronuncia como "pie" ( / p aɪ / PY ). [9] En el uso matemático, la letra minúscula π se distingue de su contraparte Π en mayúscula y ampliada , que denota un producto de una secuencia , de forma análoga a cómo Σ denota suma .
La elección del símbolo π se analiza en la sección Adopción del símbolo π.
π se define comúnmente como la relación entre la circunferencia C de un círculo y su diámetro d : [10]
La proporción es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble de diámetro que otro círculo, también tendrá el doble de circunferencia, conservando la proporción . Esta definición de π hace uso implícito de la geometría plana (euclidiana) ; aunque la noción de círculo se puede extender a cualquier geometría curva (no euclidiana) , estos nuevos círculos ya no cumplirán la fórmula . [10]
Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que puede definirse formalmente independientemente de la geometría usando límites , un concepto en cálculo . [11] Por ejemplo, se puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario, dada en coordenadas cartesianas por la ecuación , como la integral : [12]
Una integral como esta fue adoptada como definición de π por Karl Weierstrass , quien la definió directamente como una integral en 1841. [b]
La integración ya no se usa comúnmente en una primera definición analítica porque, como explica Remmert 2012, el cálculo diferencial generalmente precede al cálculo integral en el plan de estudios universitario, por lo que es deseable tener una definición de π que no dependa de este último. Una de esas definiciones, debida a Richard Baltzer [13] y popularizada por Edmund Landau , [14] es la siguiente: π es el doble del número positivo más pequeño en el que la función coseno es igual a 0. [10] [12] [15] π es también el número positivo más pequeño en el que la función seno es igual a cero y la diferencia entre ceros consecutivos de la función seno. El coseno y el seno se pueden definir independientemente de la geometría como una serie de potencias , [16] o como la solución de una ecuación diferencial . [15]
De manera similar, π se puede definir usando propiedades de la exponencial compleja , exp z , de una variable compleja z . Al igual que el coseno, la exponencial compleja se puede definir de varias maneras. El conjunto de números complejos en los que exp z es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma:
y existe un único número real positivo π con esta propiedad. [12] [17]
Una variación de la misma idea, que hace uso de conceptos matemáticos sofisticados de topología y álgebra , es el siguiente teorema: [18] existe un isomorfismo continuo único ( hasta el automorfismo ) del grupo R / Z de números reales bajo la suma de módulos enteros . (el grupo circular ), en el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto uno. El número π se define entonces como la mitad de la magnitud de la derivada de este homomorfismo. [19]
π es un número irracional , lo que significa que no se puede escribir como la razón de dos números enteros . Fracciones como22/7y355/113se usan comúnmente para aproximar π , pero ninguna fracción común (proporción de números enteros) puede ser su valor exacto. [20] Debido a que π es irracional, tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal y no se establece en un patrón de dígitos que se repite infinitamente. Hay varias pruebas de que π es irracional ; generalmente requieren cálculo y se basan en la técnica de reducción al absurdo . No se conoce con precisión el grado en que π puede aproximarse mediante números racionales (llamado medida de irracionalidad ); Las estimaciones han establecido que la medida de irracionalidad es mayor que la medida de e o ln 2 pero menor que la medida de los números de Liouville . [21]
Los dígitos de π no tienen ningún patrón aparente y han pasado pruebas de aleatoriedad estadística , incluidas pruebas de normalidad ; Un número de longitud infinita se llama normal cuando todas las secuencias posibles de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. La conjetura de que π es normal no ha sido probada ni refutada. [22]
Desde la llegada de las computadoras, ha estado disponible una gran cantidad de dígitos de π para realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada ha realizado análisis estadísticos detallados sobre los dígitos decimales de π y los encontró consistentes con la normalidad; por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significación estadística y no se encontró evidencia de un patrón. [23] Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, según el teorema del mono infinito . Por lo tanto, debido a que la secuencia de dígitos de π pasa pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorias, como una secuencia de seis 9 consecutivos que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de π . . [24] Esto también se llama el "punto Feynman" en el folklore matemático , en honor a Richard Feynman , aunque no se conoce ninguna conexión con Feynman.
Además de ser irracional, π también es un número trascendental , lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales , como por ejemplo . [25] [c]
La trascendencia de π tiene dos consecuencias importantes: primero, π no se puede expresar utilizando ninguna combinación finita de números racionales y raíces cuadradas o raíces n -ésimas (como o ). En segundo lugar, dado que ningún número trascendental puede construirse con compás y regla , no es posible "la cuadratura del círculo ". En otras palabras, es imposible construir, usando sólo compás y regla, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. [26] La cuadratura de un círculo fue uno de los problemas geométricos importantes de la antigüedad clásica . [27] Los matemáticos aficionados de los tiempos modernos a veces han intentado cuadrar el círculo y reclamar el éxito, a pesar de que es matemáticamente imposible. [28] [29]
Al ser un número irracional, π no se puede representar como una fracción común . Pero cada número, incluido π , puede representarse mediante una serie infinita de fracciones anidadas, llamada fracción continua :
Truncar la fracción continua en cualquier punto produce una aproximación racional para π ; los primeros cuatro de estos son 3 ,22/7,333/106, y355/113. Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas de la constante más conocidas y utilizadas. Cada aproximación generada de esta manera es la mejor aproximación racional; es decir, cada una está más cerca de π que cualquier otra fracción con el mismo denominador o uno menor. [30] Debido a que π es trascendental, por definición no es algebraico y, por lo tanto, no puede ser un irracional cuadrático . Por tanto, π no puede tener una fracción continua periódica . Aunque la fracción continua simple para π (que se muestra arriba) tampoco muestra ningún otro patrón obvio, [31] [32] varias fracciones continuas generalizadas sí lo hacen, como por ejemplo: [33]
La mitad de estos se debe al matemático de mediados del siglo XVII William Brouncker , véase § Fórmula de Brouncker .
Algunas aproximaciones de pi incluyen:
Dígitos en otros sistemas numéricos
Cualquier número complejo , digamos z , se puede expresar usando un par de números reales . En el sistema de coordenadas polares , un número ( radio o r ) se usa para representar la distancia de z desde el origen del plano complejo , y el otro (ángulo o φ ) la rotación en sentido antihorario desde la línea real positiva: [37 ]
donde i es la unidad imaginaria que satisface . La aparición frecuente de π en análisis complejos puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrito por la fórmula de Euler : [38]
donde la constante e es la base del logaritmo natural . Esta fórmula establece una correspondencia entre potencias imaginarias de e y puntos del círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. La configuración de la fórmula de Euler da como resultado la identidad de Euler , celebrada en matemáticas debido a que contiene cinco constantes matemáticas importantes: [38] [39]
Hay n números complejos diferentes z que satisfacen , y estos se denominan " n -ésimas raíces de la unidad " [40] y están dadas por la fórmula:
Las aproximaciones más conocidas a la datación π antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto mejoró en particular en las matemáticas chinas a mediados del primer milenio, hasta alcanzar una precisión de siete decimales. Después de esto, no se produjeron más avances hasta finales del período medieval.
Las primeras aproximaciones escritas de π se encuentran en Babilonia y Egipto, ambas dentro del uno por ciento del valor real. En Babilonia, una tablilla de arcilla fechada entre 1900 y 1600 a. C. tiene una declaración geométrica que, implícitamente, trata a π como25/8 = 3,125. [41] En Egipto, el Papiro Rhind , fechado alrededor de 1650 a. C. pero copiado de un documento fechado en 1850 a. C., tiene una fórmula para el área de un círculo que trata a π como . [32] [41] Aunque algunos piramidales han teorizado que la Gran Pirámide de Giza fue construida con proporciones relacionadas con π , esta teoría no es ampliamente aceptada por los estudiosos. [42] En los Shulba Sutras de las matemáticas indias , que datan de una tradición oral del primer o segundo milenio antes de Cristo, se dan aproximaciones que han sido interpretadas de diversas maneras como aproximadamente 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 o 3.125. [43]
El primer algoritmo registrado para calcular rigurosamente el valor de π fue un enfoque geométrico que utiliza polígonos, ideado alrededor del año 250 a. C. por el matemático griego Arquímedes , implementando el método de agotamiento . [44] Este algoritmo poligonal dominó durante más de 1.000 años y, como resultado, a veces se hace referencia a π como la constante de Arquímedes. [45] Arquímedes calculó los límites superior e inferior de π dibujando un hexágono regular dentro y fuera de un círculo, y duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar a un polígono regular de 96 lados. Al calcular los perímetros de estos polígonos, demostró que223/71< π <22/7(es decir, 3,1408 < π < 3,1429 ). [46] El límite superior de Arquímedes22/7puede haber llevado a una creencia popular generalizada de que π es igual a22/7. [47] Alrededor del año 150 d.C., el científico greco-romano Ptolomeo , en su Almagesto , dio un valor para π de 3,1416, que pudo haber obtenido de Arquímedes o de Apolonio de Perga . [48] [49] Los matemáticos que utilizaron algoritmos poligonales alcanzaron 39 dígitos de π en 1630, un récord que sólo se batió en 1699 cuando se utilizaron series infinitas para alcanzar 71 dígitos. [50]
En la antigua China , los valores de π incluían 3,1547 (alrededor del año 1 d. C.), (100 d. C., aproximadamente 3,1623) y142/45(Siglo III, aproximadamente 3.1556). [51] Alrededor del año 265 d.C., el matemático del Reino Wei , Liu Hui , creó un algoritmo iterativo basado en polígonos y lo utilizó con un polígono de 3.072 lados para obtener un valor de π de 3,1416. [52] [53] Más tarde, Liu inventó un método más rápido para calcular π y obtuvo un valor de 3,14 con un polígono de 96 lados, aprovechando el hecho de que las diferencias en el área de polígonos sucesivos forman una serie geométrica con un factor de 4. [52] El matemático chino Zu Chongzhi , alrededor del 480 d.C., calculó eso y sugirió las aproximaciones y , que denominó Milü ("proporción cercana") y Yuelü ("proporción aproximada"), respectivamente, utilizando el algoritmo de Liu Hui. aplicado a un polígono de 12.288 lados. Con un valor correcto para sus siete primeros dígitos decimales, este valor siguió siendo la aproximación más precisa de π disponible durante los siguientes 800 años. [54]
El astrónomo indio Aryabhata utilizó un valor de 3,1416 en su Āryabhaṭīya (499 d.C.). [55] Fibonacci en c. 1220 calculó 3,1418 utilizando un método poligonal, independiente de Arquímedes. [56] El autor italiano Dante aparentemente empleó el valor . [56]
El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo nueve dígitos sexagesimales , aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424, utilizando un polígono con lados, [57] [58] que se mantuvo como récord mundial durante unos 180 años. [59] El matemático francés François Viète en 1579 logró nueve dígitos con un polígono de lados. [59] El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 decimales en 1593. [59] En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzó los 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado, π fue llamado el "ludolfiano"). número" en Alemania hasta principios del siglo XX). [60] El científico holandés Willebrord Snellius alcanzó los 34 dígitos en 1621, [61] y el astrónomo austriaco Christoph Grienberger llegó a 38 dígitos en 1630 utilizando 10 40 lados. [62] Christiaan Huygens pudo llegar a 10 decimales en 1654 utilizando un método ligeramente diferente equivalente a la extrapolación de Richardson . [63] [64]
El cálculo de π fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita . Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular π con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que utilizaron técnicas geométricas. [65] Aunque las series infinitas fueron explotadas para π, sobre todo por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz , el enfoque también apareció en la escuela de Kerala en algún momento del siglo XIV o XV. [66] [67] Alrededor del año 1500 d.C., Nilakantha Somayaji presentó una descripción escrita de una serie infinita que podría usarse para calcular π en verso sánscrito en Tantrasamgraha . [66] Las series se presentan sin pruebas, pero las pruebas se presentan en una obra posterior, Yuktibhāṣā , de alrededor de 1530 d.C. Se describen varias series infinitas, incluidas series para seno (que Nilakantha atribuye a Madhava de Sangamagrama ), coseno y arcotangente, que ahora a veces se denominan series de Madhava . La serie del arcotangente a veces se denomina serie de Gregory o serie de Gregory-Leibniz. [66] Madhava utilizó series infinitas para estimar π a 11 dígitos alrededor de 1400. [68]
En 1593, François Viète publicó lo que ahora se conoce como la fórmula de Viète , un producto infinito (en lugar de una suma infinita , que se usa más típicamente en los cálculos de π ): [69] [70] [71]
En 1655, John Wallis publicó lo que hoy se conoce como producto de Wallis , también un producto infinito: [69]
En la década de 1660, el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo , lo que condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar π . El propio Newton utilizó una serie de arcoseno para calcular una aproximación de 15 dígitos de π en 1665 o 1666, y escribió: "Me avergüenza decirles a cuántas cifras llevé estos cálculos, ya que no tenía otros asuntos que ocupar en ese momento". [72]
En 1671, James Gregory , e independientemente Leibniz en 1673, descubrieron la expansión en serie de Taylor para el arcotangente : [66] [73] [74]
Esta serie, a veces llamada serie de Gregory-Leibniz , es igual cuando se evalúa con . [74] Pero para , converge de manera imprácticamente lenta (es decir, se aproxima a la respuesta muy gradualmente), tomando aproximadamente diez veces más términos para calcular cada dígito adicional. [75]
En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp utilizó la serie de Gregory-Leibniz para calcular π con 71 dígitos, rompiendo el récord anterior de 39 dígitos, que se había establecido con un algoritmo poligonal. [76]
En 1706, John Machin utilizó la serie Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergía mucho más rápido: [3] [77] [78]
Machin alcanzó los 100 dígitos de π con esta fórmula. [79] Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas tipo Machin , que se utilizaron para establecer varios registros sucesivos para calcular los dígitos de π . [80] [79]
Isaac Newton aceleró la convergencia de la serie Gregory-Leibniz en 1684 (en un trabajo inédito; otros descubrieron el resultado de forma independiente): [81]
Leonhard Euler popularizó esta serie en su libro de texto de cálculo diferencial de 1755, y más tarde la usó con fórmulas similares a las de Machin, incluida la que calculó 20 dígitos de π en una hora. [82]
Las fórmulas similares a las de las máquinas siguieron siendo el método más conocido para calcular π hasta bien entrada la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer récords durante 250 años, culminando en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por parte de Daniel Ferguson: la mejor aproximación lograda sin ayuda. de un dispositivo de cálculo. [83]
En 1844, Zacharias Dase estableció un récord , quien empleó una fórmula similar a Machin para calcular 200 decimales de π en su cabeza a instancias del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . [84]
En 1853, el matemático británico William Shanks calculó π con 607 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, lo que hizo que todos los dígitos posteriores fueran incorrectos. Aunque calculó 100 dígitos adicionales en 1873, con lo que el total ascendió a 707, su error anterior también hizo que todos los nuevos dígitos fueran incorrectos. [85]
Algunas series infinitas para π convergen más rápido que otras. Dada la elección de dos series infinitas para π , los matemáticos generalmente usarán la que converge más rápidamente porque una convergencia más rápida reduce la cantidad de cálculo necesario para calcular π con cualquier precisión dada. [86] Una serie infinita simple para π es la serie de Gregory-Leibniz : [87]
A medida que los términos individuales de esta serie infinita se suman a la suma, el total se acerca gradualmente a π y, con un número suficiente de términos, puede acercarse tanto a π como se desee. Sin embargo, converge bastante lentamente: después de 500.000 términos, produce sólo cinco dígitos decimales correctos de π . [88]
Una serie infinita para π (publicada por Nilakantha en el siglo XV) que converge más rápidamente que la serie de Gregory-Leibniz es: [89] [90]
La siguiente tabla compara las tasas de convergencia de estas dos series:
Después de cinco términos, la suma de la serie de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 del valor correcto de π , mientras que la suma de la serie de Nilakantha está dentro de 0,002 del valor correcto. La serie de Nilakantha converge más rápido y es más útil para calcular dígitos de π . Las series que convergen aún más rápido incluyen la serie de Machin y la serie de Chudnovsky , esta última produce 14 dígitos decimales correctos por término. [86]
No todos los avances matemáticos relacionados con π tenían como objetivo aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, encontrando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre π y los números primos que más tarde contribuyó al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann : [91]
El científico suizo Johann Heinrich Lambert demostró en 1768 que π es irracional , lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros cualesquiera. [20] La prueba de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. [92] El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que π 2 también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental , [93] confirmando una conjetura hecha tanto por Legendre como por Euler. [94] [95] Hardy y Wright afirman que "las pruebas fueron posteriormente modificadas y simplificadas por Hilbert, Hurwitz y otros escritores". [96]
En los usos más antiguos, la letra griega π se usaba para indicar el semiperímetro ( semiperiferia en latín) de un círculo [8] y se combinaba en proporciones con δ (para diámetro o semidiámetro) o ρ (para radio ) para formar constantes circulares. [97] [98] [99] [100] (Antes de eso, los matemáticos a veces usaban letras como c o p en su lugar. [101] ) El primer uso registrado es " " de Oughtred , para expresar la relación entre la periferia y el diámetro en el 1647 y ediciones posteriores de Clavis Mathematicae . [102] [101] Barrow también usó " " para representar la constante 3.14... , [103] mientras que Gregory usó " " para representar 6.28... . [104] [99]
El primer uso conocido de la letra griega π sola para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue por el matemático galés William Jones en su obra de 1706 Synopsis Palmariorum Matheseos ; o, una Nueva Introducción a las Matemáticas . [3] [105] La carta griega aparece en la p. 243 en la frase " Periferia ( π )", calculada para un círculo con radio uno. Sin embargo, Jones escribe que sus ecuaciones para π provienen de la "pluma lista del verdaderamente ingenioso Sr. John Machin ", lo que lleva a especular que Machin pudo haber empleado la letra griega antes que Jones. [101] La notación de Jones no fue adoptada inmediatamente por otros matemáticos, y la notación de fracción todavía se utilizaba hasta 1767. [97] [106]
Euler comenzó a usar la forma de una sola letra a partir de su Ensayo explicativo de las propiedades del aire de 1727 , aunque usó π = 6,28... , la relación entre periferia y radio, en este y algunos escritos posteriores. [107] [108] Euler usó por primera vez π = 3,14... en su obra Mechanica de 1736 , [109] y continuó en su obra Introductio in analysin infinitorum de 1748, ampliamente leída (escribió: "en aras de la brevedad escribiremos esto número como π ; por lo tanto π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1 "). [110] Debido a que Euler mantuvo mucha correspondencia con otros matemáticos en Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente y la práctica fue adoptada universalmente a partir de entonces en el mundo occidental , [101] aunque la definición todavía variaba entre 3,14... y 6,28. .. todavía en 1761. [111]
El algoritmo iterativo de Gauss-Legendre :
InicializarIterarEntonces una estimación de π viene dada por
El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX revolucionó nuevamente la búsqueda de dígitos de π . Los matemáticos John Wrench y Levi Smith alcanzaron 1.120 dígitos en 1949 utilizando una calculadora de escritorio. [112] Utilizando una serie infinita tangente inversa (arctan), un equipo dirigido por George Reitwiesner y John von Neumann ese mismo año logró 2.037 dígitos con un cálculo que tomó 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC . [113] [114] El récord, siempre basándose en una serie arctan, se batió repetidamente (3089 dígitos en 1955, [115] 7.480 dígitos en 1957; 10.000 dígitos en 1958; 100.000 dígitos en 1961) hasta que se alcanzó 1 millón de dígitos en 1973. [113]
Dos acontecimientos adicionales alrededor de 1980 aceleraron una vez más la capacidad de calcular π . Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular π , que eran mucho más rápidos que las series infinitas; y segundo, la invención de algoritmos de multiplicación rápida que podrían multiplicar números grandes muy rápidamente. [116] Estos algoritmos son particularmente importantes en los cálculos π modernos porque la mayor parte del tiempo de la computadora se dedica a la multiplicación. [117] Incluyen el algoritmo de Karatsuba , la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados en la transformada de Fourier . [118]
Los algoritmos iterativos fueron publicados de forma independiente en 1975-1976 por el físico Eugene Salamin y el científico Richard Brent . [119] Estos evitan la dependencia de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, cada iteración utiliza las salidas de los pasos anteriores como entradas y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. En realidad, el enfoque fue inventado más de 160 años antes por Carl Friedrich Gauss , en lo que ahora se denomina método de media aritmético-geométrica (método AGM) o algoritmo de Gauss-Legendre . [119] Modificado por Salamin y Brent, también se lo conoce como algoritmo Brent-Salamin.
Los algoritmos iterativos se utilizaron ampliamente después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas normalmente aumentan el número de dígitos correctos de forma aditiva en términos sucesivos, los algoritmos iterativos generalmente multiplican el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos John y Peter Borwein produjeron un algoritmo iterativo que cuadriplica el número de dígitos en cada paso; y en 1987, uno que aumenta cinco veces el número de dígitos en cada paso. [120] El matemático japonés Yasumasa Kanada utilizó métodos iterativos para establecer varios récords en el cálculo de π entre 1995 y 2002. [121] Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren significativamente más memoria que las series infinitas. [121]
Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran π , un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos , porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores de redondeo computacionales , Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π con miles y millones de dígitos. [122] Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana de batir récords, y tales logros con π a menudo aparecen en los titulares de todo el mundo. [123] [124] También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras , probar algoritmos de análisis numérico (incluidos algoritmos de multiplicación de alta precisión ); y dentro de las propias matemáticas puras, proporcionando datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de π . [125]
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Las calculadoras π modernas no utilizan exclusivamente algoritmos iterativos. En las décadas de 1980 y 1990 se descubrieron nuevas series infinitas que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero más simples y requieren menos memoria. [121] Los algoritmos iterativos rápidos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de nuevas fórmulas innovadoras para π , notables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. [126] Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares , es
Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series arctan, incluida la fórmula de Machin. [127] Bill Gosper fue el primero en utilizarlo para avances en el cálculo de π , estableciendo un récord de 17 millones de dígitos en 1985. [128] Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein ( Jonathan y Peter ) y el Hermanos Chudnovski . [129] La fórmula de Chudnovsky desarrollada en 1987 es
Produce alrededor de 14 dígitos de π por término [130] y se ha utilizado para varios cálculos de π que batieron récords , incluido el primero en superar los mil millones (10 9 ) de dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 10 billones (10 13 ) de dígitos. en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo, [131] y 100 billones de dígitos por Emma Haruka Iwao en 2022. [132] Para fórmulas similares, consulte también la serie Ramanujan-Sato .
En 2006, el matemático Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación de enteros PSLQ [133] para generar varias fórmulas nuevas para π , conforme a la siguiente plantilla:
donde q es e π (constante de Gelfond), k es un número impar y a , b , c son ciertos números racionales que calculó Plouffe. [134]
Los métodos de Monte Carlo , que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, se pueden utilizar para crear aproximaciones de π . [135] La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si una aguja de longitud ℓ se deja caer n veces sobre una superficie en la que se dibujan líneas paralelas con t unidades de separación, y si x de esas veces se detiene cruzando una línea ( x > 0 ), entonces se puede aproximar π basándose en los recuentos: [136]
Otro método de Monte Carlo para calcular π es dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos al azar en el cuadrado. La proporción de puntos dentro del círculo con respecto al número total de puntos será aproximadamente igual a π/4 . [137]
Otra forma de calcular π usando la probabilidad es comenzar con un paseo aleatorio , generado por una secuencia de lanzamientos de moneda (justos): variables aleatorias independientes X k tales que X k ∈ {−1,1} con probabilidades iguales. El paseo aleatorio asociado es
de modo que, para cada n , W n se extrae de una distribución binomial desplazada y escalada . Como n varía, W n define un proceso estocástico (discreto) . Entonces π se puede calcular mediante [138]
Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con los círculos y es una consecuencia del teorema del límite central , que se analiza a continuación.
Estos métodos de Monte Carlo para aproximar π son muy lentos en comparación con otros métodos y no proporcionan ninguna información sobre el número exacto de dígitos que se obtienen. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar π cuando se desea velocidad o precisión. [139]
En 1995 se descubrieron dos algoritmos que abrieron nuevas vías de investigación sobre π . Se llaman algoritmos de grifo porque, como el agua que gotea de un grifo , producen dígitos únicos de π que no se reutilizan después de calcularlos. [140] [141] Esto contrasta con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y utilizan todos los dígitos intermedios hasta que se produce el resultado final. [140]
Los matemáticos Stan Wagon y Stanley Rabinowitz produjeron un algoritmo de grifo simple en 1995. [141] [142] [143] Su velocidad es comparable a la de los algoritmos arctan, pero no tan rápida como la de los algoritmos iterativos. [142]
Otro algoritmo de espiga, el algoritmo de extracción de dígitos BBP , fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe: [144] [145]
Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de π sin calcular todos los dígitos anteriores. [144] Los dígitos binarios individuales se pueden extraer de dígitos hexadecimales individuales, y los dígitos octales se pueden extraer de uno o dos dígitos hexadecimales. Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevas afirmaciones de cálculos de registros π : después de reclamar un nuevo registro, el resultado decimal se convierte a hexadecimal y luego se utiliza un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales aleatorios cerca del final; si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto. [131]
Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex utilizó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el bit billonésimo (10 15 º) de π , que resultó ser 0. [146] En septiembre de 2010, un Yahoo ! Un empleado utilizó la aplicación Hadoop de la empresa en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π en el bit dos cuatrillones (2×10 15 ), que también resulta ser cero. [147]
En 2022, Plouffe encontró un algoritmo de base 10 para calcular los dígitos de π . [148]
Debido a que π está estrechamente relacionado con el círculo, se encuentra en muchas fórmulas de los campos de la geometría y la trigonometría, particularmente aquellas relacionadas con círculos, esferas o elipses. Otras ramas de la ciencia, como la estadística, la física, el análisis de Fourier y la teoría de números, también incluyen π en algunas de sus fórmulas importantes.
π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de formas geométricas basadas en círculos, como elipses , esferas , conos y toros . A continuación se muestran algunas de las fórmulas más comunes que involucran π . [149]
Algunas de las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la bola de n dimensiones y el área de superficie de su límite, la esfera de dimensiones ( n −1) , que se indican a continuación.
Además de los círculos, existen otras curvas de ancho constante . Según el teorema de Barbier , toda curva de ancho constante tiene un perímetro π multiplicado por su ancho. El triángulo de Reuleaux (formado por la intersección de tres círculos con los lados de un triángulo equilátero como radios) tiene el área más pequeña posible para su ancho y el círculo el más grande. También existen curvas algebraicas uniformes y no circulares, suaves y de ancho constante. [150]
Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de formas generadas por círculos suelen tener valores que involucran π . Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno viene dada por: [151]
En esa integral, la función representa la altura sobre el eje de un semicírculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras ) y la integral calcula el área debajo del semicírculo.
Las funciones trigonométricas se basan en ángulos y los matemáticos generalmente usan radianes como unidades de medida. π juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes , que se definen de manera que un círculo completo abarca un ángulo de 2 π radianes. La medida del ángulo de 180° es igual a π radianes y 1° = π /180 radianes. [152]
Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de π ; por ejemplo, el seno y el coseno tienen período 2 π , [153] por lo que para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k , [153]
Muchas de las apariciones de π en las fórmulas de las matemáticas y las ciencias tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo, π también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.
En muchas aplicaciones, desempeña un papel destacado como valor propio . Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada se puede modelar como la gráfica de una función f en el intervalo unitario [0, 1] , con extremos fijos f (0) = f (1) = 0 . Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial , o . Por lo tanto , λ es un valor propio del operador de la segunda derivada y está obligado por la teoría de Sturm-Liouville a tomar solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que el operador es definido negativo , por lo que conviene escribir λ = ν 2 , donde ν > 0 se llama número de onda . Entonces f ( x ) = sin( π x ) satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con ν = π . [154]
El valor π es, de hecho, el menor valor del número de onda y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de demostrar esto es estimando la energía , que satisface la desigualdad de Wirtinger : [155] para una función con f (0) = f (1) = 0 y f , f ′ ambas integrables al cuadrado , tenemos:
con igualdad precisamente cuando f es múltiplo de sin(π x ) . Aquí π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y se deduce que es el número de onda más pequeño, utilizando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia, π es el valor singular más pequeño del operador derivada en el espacio de funciones en [0, 1] que desaparece en ambos puntos finales (el espacio de Sobolev ).
El número π sirve aparece en problemas de valores propios similares en análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente, se puede caracterizar por su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica : el área A encerrada por una curva plana de Jordan de perímetro P satisface la desigualdad.
y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese caso A = π r 2 y P = 2π r . [157]
En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica, π aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en n dimensiones, lo que caracteriza el papel de π también en muchos fenómenos físicos, por ejemplo en los de la teoría del potencial clásica . [158] [159] [160] En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es
para f una función suave con soporte compacto en R 2 , es el gradiente de f , y y se refieren respectivamente a la norma L 2 y L 1 . La desigualdad de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas mejores constantes.
La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a desigualdades de Poincaré de dimensiones superiores que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de una membrana de n dimensiones. Específicamente, π es la mayor constante tal que
para todos los subconjuntos convexos G de R n de diámetro 1, y funciones integrables al cuadrado u en G de media cero. [161] Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema de valores propios de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema de valores propios de Neumann , en cualquier dimensión.
La constante π también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier . Esta es la transformada integral , que lleva una función integrable f de valor complejo en la recta real a la función definida como:
Aunque existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier y su inversa, cualquier convención de este tipo debe involucrar a π en alguna parte . Sin embargo, lo anterior es la definición más canónica, ya que proporciona el operador unitario único en L 2 que también es un homomorfismo de álgebra de L 1 a L ∞ . [162]
El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número π . El principio de incertidumbre da un límite inferior definido al grado en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,
La consecuencia física, sobre la incertidumbre en las observaciones simultáneas de posición y momento de un sistema mecánico cuántico , se analiza a continuación. La aparición de π en las fórmulas del análisis de Fourier es en última instancia una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , que afirma la unicidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg . [163]
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Los campos de la probabilidad y la estadística utilizan con frecuencia la distribución normal como modelo simple para fenómenos complejos; por ejemplo, los científicos generalmente suponen que el error de observación en la mayoría de los experimentos sigue una distribución normal. [164] La función gaussiana , que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media μ y desviación estándar σ , contiene naturalmente π : [165]
El factor de hace que el área bajo la gráfica de f sea igual a uno, como se requiere para una distribución de probabilidad. Esto se desprende de un cambio de variables en la integral gaussiana : [165]
que dice que el área bajo la curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de π .
El teorema del límite central explica el papel central de las distribuciones normales, y por tanto de π , en probabilidad y estadística. Este teorema está relacionado en última instancia con la caracterización espectral de π como valor propio asociado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y con el hecho de que la igualdad en el principio de incertidumbre sólo se cumple para la función gaussiana. [166] De manera equivalente, π es la constante única que hace que la distribución normal gaussiana e −π x 2 sea igual a su propia transformada de Fourier. [167] De hecho, según Howe (1980), "todo el asunto" de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana. [163]
La constante π aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología . Específicamente, si una superficie compacta Σ tiene curvatura de Gauss K , entonces
donde χ (Σ) es la característica de Euler , que es un número entero. [168] Un ejemplo es el área de superficie de una esfera S de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura , que coincide con su radio, también es 1). La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y es resulta ser igual a dos. Así tenemos
Reproduciendo la fórmula para el área de superficie de una esfera de radio 1.
La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil . [169]
Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración del contorno de una función sobre una curva de Jordan γ orientada positivamente ( rectificable ) . Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto z 0 es interior a γ , entonces [170]
Aunque la curva γ no es un círculo y, por tanto, no tiene ninguna conexión obvia con la constante π , una prueba estándar de este resultado utiliza el teorema de Morera , que implica que la integral es invariante bajo homotopía de la curva, por lo que puede ser deformado en un círculo y luego integrado explícitamente en coordenadas polares. De manera más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable γ no contiene z 0 , entonces la integral anterior es 2π i veces el número de devanados de la curva.
La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja f ( z ) en la curva de Jordan γ y el valor de f ( z ) en cualquier punto interior z 0 de γ : [171]
siempre que f ( z ) sea analítica en la región encerrada por γ y se extienda continuamente hasta γ . La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema del residuo , que si g ( z ) es una función meromórfica, la región encerrada por γ y es continua en una vecindad de γ , entonces
donde la suma es de los residuos en los polos de g ( z ) .
La constante π es omnipresente en el cálculo vectorial y la teoría potencial , por ejemplo en la ley de Coulomb , [172] la ley de Gauss , las ecuaciones de Maxwell e incluso las ecuaciones de campo de Einstein . [173] [174] Quizás el ejemplo más simple de esto es el potencial newtoniano bidimensional , que representa el potencial de una fuente puntual en el origen, cuyo campo asociado tiene un flujo de salida unitario a través de cualquier superficie cerrada lisa y orientada que encierre la fuente:
En dimensiones superiores, los factores de π están presentes debido a una normalización por el volumen n-dimensional de la unidad n esfera . Por ejemplo, en tres dimensiones, el potencial newtoniano es: [175]
En el estudio matemático de la geometría diferencial de curvas , la curvatura total de una curva plana sumergida es la integral de curvatura a lo largo de una curva tomada con respecto a la longitud del arco :
La función factorial es el producto de todos los números enteros positivos hasta n . La función gamma extiende el concepto de factorial (normalmente definido sólo para números enteros no negativos) a todos los números complejos, excepto los enteros reales negativos, con identidad . Cuando la función gamma se evalúa en semienteros, el resultado contiene π . Por ejemplo, y . [176]
La función gamma está definida por el desarrollo de productos de Weierstrass : [177]
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Evaluada en z = 1/2 y elevada al cuadrado, la ecuación Γ(1/2) 2 = π se reduce a la fórmula del producto de Wallis. La función gamma también está relacionada con la función zeta de Riemann y con identidades para el determinante funcional , en el que la constante π juega un papel importante.
La función gamma se utiliza para calcular el volumen V n ( r ) de la bola n -dimensional de radio r en el espacio euclidiano n -dimensional, y el área de superficie S n −1 ( r ) de su límite, el ( n −1 )-esfera dimensional : [178]
Además, de la ecuación funcional se deduce que
¡La función gamma se puede utilizar para crear una aproximación simple a la función factorial n ! para n grande : lo que se conoce como aproximación de Stirling . [179] De manera equivalente,
Como aplicación geométrica de la aproximación de Stirling, sea Δ n el simplex estándar en un espacio euclidiano de n dimensiones, y ( n + 1)Δ n el simplex que tiene todos sus lados ampliados por un factor de n + 1 . Entonces
La conjetura del volumen de Ehrhart es que este es el límite superior (óptimo) del volumen de un cuerpo convexo que contiene solo un punto de la red . [180]
La función zeta de Riemann ζ ( s ) se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. Cuando se evalúa en s = 2 se puede escribir como
Encontrar una solución sencilla para esta serie infinita era un famoso problema de matemáticas llamado problema de Basilea . Leonhard Euler lo resolvió en 1735 cuando demostró que era igual a π 2/6 . [91] El resultado de Euler conduce al resultado de la teoría de números de que la probabilidad de que dos números aleatorios sean primos relativos (es decir, que no tengan factores compartidos) es igual a 6/π 2 . [181] [182] Esta probabilidad se basa en la observación de que la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo p es 1/ p (por ejemplo, cada séptimo número entero es divisible por 7). De ahí la probabilidad de que dos números sean ambos divisible por este primo es 1/ p 2 , y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 − 1/ p 2 . Para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes; por lo que la probabilidad de que dos números sean primos relativos viene dada por el producto de todos los números primos: [183]
Esta probabilidad se puede utilizar junto con un generador de números aleatorios para aproximar π utilizando un enfoque de Monte Carlo. [184]
La solución al problema de Basilea implica que la cantidad derivada geométricamente π está profundamente relacionada con la distribución de los números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa , que afirma la igualdad de productos infinitos similares de cantidades aritméticas , localizadas en cada prima p , y una cantidad geométrica : el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico . En el caso del problema de Basilea, es el hiperbólico SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ) de 3 colectores . [185]
La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que involucra tanto a π como a la función gamma:
Además, la derivada de la función zeta satisface
Una consecuencia es que π se puede obtener a partir del determinante funcional del oscilador armónico . Este determinante funcional se puede calcular mediante una expansión del producto y es equivalente a la fórmula del producto de Wallis. [186] El cálculo se puede reformular en la mecánica cuántica , específicamente en el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno . [187]
La constante π también aparece de forma natural en las series de funciones periódicas de Fourier . Las funciones periódicas son funciones del grupo T = R / Z de partes fraccionarias de números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función de valores complejos f en T se puede escribir como una superposición lineal infinita de caracteres unitarios de T. Es decir, homomorfismos de grupo continuo desde T hasta el grupo circular U (1) de números complejos de módulo unitario. Es un teorema que cada carácter de T es uno de los exponenciales complejos .
Hay un carácter único en T , hasta la conjugación compleja, que es un isomorfismo de grupo. Usando la medida de Haar en el grupo circular, la constante π es la mitad de la magnitud de la derivada Radón-Nikodym de este carácter. Los demás caracteres tienen derivadas cuyas magnitudes son múltiplos enteros positivos de 2 π . [19] Como resultado, la constante π es el número único tal que el grupo T , equipado con su medida de Haar, es dual de Pontrjagin a la red de múltiplos integrales de 2 π . [189] Esta es una versión de la fórmula de suma unidimensional de Poisson .
La constante π está profundamente relacionada con la teoría de las formas modulares y las funciones theta . Por ejemplo, el algoritmo de Chudnovsky involucra de manera esencial la j-invariante de una curva elíptica .
Las formas modulares son funciones holomorfas en el semiplano superior que se caracterizan por sus propiedades de transformación bajo el grupo modular (o sus diversos subgrupos), una red en el grupo . Un ejemplo es la función theta de Jacobi.
que es una especie de forma modular llamada forma de Jacobi . [190] Esto a veces se escribe en términos del nombre .
La constante π es la única constante que hace que la función theta de Jacobi sea una forma automórfica , lo que significa que se transforma de una manera específica. Ciertas identidades son válidas para todas las formas automórficas. Un ejemplo es
lo que implica que θ se transforma como una representación bajo el grupo discreto de Heisenberg . Las formas modulares generales y otras funciones theta también involucran a π , una vez más debido al teorema de Stone-von Neumann . [190]
es una función de densidad de probabilidad . La probabilidad total es igual a uno, debido a la integral:
La entropía de Shannon de la distribución de Cauchy es igual a ln(4π) , que también involucra a π .
La distribución de Cauchy juega un papel importante en la teoría del potencial porque es la medida de Furstenberg más simple , el núcleo de Poisson clásico asociado con un movimiento browniano en un semiplano. [191] Las funciones armónicas conjugadas y, por tanto, también la transformada de Hilbert están asociadas con las asintóticas del núcleo de Poisson. La transformada de Hilbert H es la transformada integral dada por el valor principal de Cauchy de la integral singular
La constante π es el factor de normalización único (positivo) tal que H define una estructura lineal compleja en el espacio de Hilbert de funciones de valor real integrables al cuadrado en la recta real. [192] La transformada de Hilbert, al igual que la transformada de Fourier, se puede caracterizar puramente en términos de sus propiedades de transformación en el espacio de Hilbert L 2 ( R ) : hasta un factor de normalización, es el único operador lineal acotado que conmuta con dilataciones positivas y anti-desplazamientos con todos los reflejos de la línea real. [193] La constante π es el único factor de normalización que hace que esta transformación sea unitaria.
David Boll descubrió una aparición de π en el fractal llamado conjunto de Mandelbrot en 1991. [194] Examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot cerca del "cuello" en (−0,75, 0) . Cuando el número de iteraciones hasta la divergencia para el punto (−0,75, ε ) se multiplica por ε , el resultado se acerca a π cuando ε se acerca a cero. El punto (0,25 + ε , 0) en la cúspide del gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta la divergencia multiplicado por la raíz cuadrada de ε tiende a π . [194] [195]
Sea V el conjunto de todas las funciones reales dos veces diferenciables que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . Entonces V es un espacio vectorial real bidimensional , con dos parámetros correspondientes a un par de condiciones iniciales para la ecuación diferencial. Para cualquiera , sea la evaluación funcional, que asocia a cada uno el valor de la función f en el punto real t . Entonces, para cada t , el núcleo de es un subespacio lineal unidimensional de V. Por lo tanto, se define una función desde la línea real hasta la línea proyectiva real . Esta función es periódica y la cantidad π se puede caracterizar como el período de este mapa. [196] Esto es notable porque la constante π , en lugar de 2 π , aparece naturalmente en este contexto.
Aunque no es una constante física , π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen principios fundamentales del universo, a menudo debido a la relación de π con el círculo y con los sistemas de coordenadas esféricas . Una fórmula simple del campo de la mecánica clásica da el período aproximado T de un péndulo simple de longitud L , que oscila con una pequeña amplitud ( g es la aceleración gravitacional de la Tierra ): [197]
Una de las fórmulas clave de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg , que muestra que la incertidumbre en la medición de la posición de una partícula (Δ x ) y el momento (Δ p ) no puede ser arbitrariamente pequeña al mismo tiempo (donde h es el principio de Planck) . constante ): [198]
El hecho de que π sea aproximadamente igual a 3 influye en la vida útil relativamente larga del ortopositronio . La vida útil inversa al orden más bajo en la constante de estructura fina α es [199]
π está presente en algunas fórmulas de ingeniería estructural, como la fórmula de pandeo derivada de Euler, que da la carga axial máxima F que una columna larga y delgada de longitud L , módulo de elasticidad E y momento de inercia de área I puede soportar sin pandearse. : [200]
El campo de la dinámica de fluidos contiene π en la ley de Stokes , que aproxima la fuerza de fricción F ejercida sobre objetos pequeños y esféricos de radio R , que se mueven con velocidad v en un fluido con viscosidad dinámica η : [201]
En electromagnetismo, la constante de permeabilidad al vacío μ 0 aparece en las ecuaciones de Maxwell , que describen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos y de la radiación electromagnética . Antes del 20 de mayo de 2019, se definía exactamente como
En condiciones ideales (pendiente suave y uniforme sobre un sustrato homogéneamente erosionable), la sinuosidad de un río serpenteante se acerca a π . La sinuosidad es la relación entre la longitud real y la distancia en línea recta desde la fuente hasta la desembocadura. Las corrientes más rápidas a lo largo de los bordes exteriores de las curvas de un río causan más erosión que a lo largo de los bordes interiores, empujando así las curvas aún más hacia afuera y aumentando la curvatura general del río. Sin embargo, esa locura eventualmente hace que el río retroceda sobre sí mismo en algunos lugares y haga un "cortocircuito", creando un lago en forma de mecha en el proceso. El equilibrio entre estos dos factores opuestos conduce a una relación media de π entre la longitud real y la distancia directa entre fuente y desembocadura. [202] [203]
La pifilología es la práctica de memorizar una gran cantidad de dígitos de π , [204] y los récords mundiales los mantiene el Guinness World Records . El récord de memorización de dígitos de π , certificado por Guinness World Records, es de 70.000 dígitos, recitados en India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. [205] En 2006, Akira Haraguchi , un ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100.000 decimales, pero la afirmación no fue verificada por Guinness World Records. [206]
Una técnica común es memorizar una historia o un poema en el que la longitud de las palabras representa los dígitos de π : la primera palabra tiene tres letras, la segunda palabra tiene una, la tercera tiene cuatro, la cuarta tiene una, la quinta tiene cinco y pronto. Estas ayudas para la memorización se denominan mnemónicos . Un ejemplo temprano de una mnemónica para pi, ideada originalmente por el científico inglés James Jeans , es "Cómo quiero una bebida, alcohólica por supuesto, después de las intensas conferencias sobre mecánica cuántica". [204] Cuando se utiliza un poema, a veces se lo denomina piem . [207] Se han compuesto poemas para memorizar π en varios idiomas además del inglés. [204] Los memorizadores π que establecen récords normalmente no se basan en poemas, sino que utilizan métodos como recordar patrones numéricos y el método de loci . [208]
Algunos autores han utilizado los dígitos de π para establecer una nueva forma de escritura restringida , donde se requieren longitudes de palabras para representar los dígitos de π . La Cadaeic Cadenza contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera, [209] y el libro completo Not a Wake contiene 10.000 palabras, cada una de las cuales representa un dígito de π . [210]
Quizás debido a la simplicidad de su definición y su presencia ubicua en las fórmulas, π ha estado representada en la cultura popular más que otras construcciones matemáticas. [211]
En el Palais de la Découverte (un museo de ciencias de París) hay una sala circular conocida como sala pi . En su pared están inscritos 707 dígitos de π . Los dígitos son grandes caracteres de madera adheridos al techo en forma de cúpula. Los dígitos se basaron en un cálculo de 1873 realizado por el matemático inglés William Shanks , que incluía un error que comenzaba en el dígito 528. El error fue detectado en 1946 y corregido en 1949. [212]
En la novela Contact de Carl Sagan de 1985 , se sugiere que el creador del universo enterró un mensaje en lo profundo de los dígitos de π . Esta parte de la historia fue omitida en la adaptación cinematográfica de la novela. [213] [214] Los dígitos de π también se han incorporado en la letra de la canción "Pi" del álbum Aerial de 2005 de Kate Bush . [215] En el episodio de Star Trek de 1967 " Wolf in the Fold ", se contiene una computadora fuera de control al recibir instrucciones de "Calcular hasta el último dígito el valor de π ". [46]
En los Estados Unidos, el Día Pi cae el 14 de marzo (escrito 3/14 al estilo estadounidense) y es popular entre los estudiantes. [46] π y su representación digital son utilizados a menudo por los autodenominados " expertos en matemáticas " para bromas internas entre grupos con mentalidad matemática y tecnológica. Una alegría universitaria atribuida al Instituto de Tecnología de Massachusetts o al Instituto Politécnico Rensselaer incluye "3.14159". [216] [217] El Día Pi en 2015 fue particularmente significativo porque la fecha y hora 14/03/15 9:26:53 reflejaban muchos más dígitos de pi. [218] [219] En partes del mundo donde las fechas se indican comúnmente en formato día/mes/año, el 22 de julio representa el "Día de aproximación de Pi", ya que 22/7 = 3,142857. [220]
Algunos han propuesto reemplazar π por τ = 2 π , [221] argumentando que τ , como el número de radianes en una vuelta o la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio, es más natural que π y simplifica muchas fórmulas. [222] [223] Este uso de τ no se ha introducido en las matemáticas convencionales, [224] pero desde 2010 esto ha llevado a que la gente celebre el Día Dos Pi o el Día Tau el 28 de junio. [225]
En 1897, un matemático aficionado intentó persuadir a la legislatura de Indiana para que aprobara el Proyecto de Ley Pi de Indiana , que describía un método para cuadrar el círculo y contenía texto que implicaba varios valores incorrectos para π , incluido 3,2. El proyecto de ley es conocido por ser un intento de establecer un valor de constante matemática por orden legislativa. El proyecto de ley fue aprobado por la Cámara de Representantes de Indiana, pero rechazado por el Senado, por lo que no se convirtió en ley. [226]
En la cultura contemporánea de Internet , los individuos y las organizaciones frecuentemente rinden homenaje al número π . Por ejemplo, el informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa TeX se acercaran a π . Las versiones son 3, 3.1, 3.14, etc. [227] τ se ha agregado a varios lenguajes de programación como una constante predefinida. [228] [229]
Hay varias otras formas de encontrar las
longitudes
o
áreas
de líneas o
planos
curvos
particulares
, que pueden facilitar mucho la práctica; como por ejemplo, en el
Círculo
, el Diámetro es a la Circunferencia como 1 a
3.14159,
etc.
=
π
. Esta
Serie
(entre otras con el mismo propósito y extraída del mismo Principio) la recibí del Excelente Analista y mi muy Estimado Amigo, el Sr.
John Machin
; y mediante el mismo, el Número
de
Van Ceulen
, o el del art. 64.38. Puede examinarse con toda la facilidad y rapidez deseadas.
Reimpreso en Smith, David Eugene (1929). "William Jones: el primer uso de π para la relación circular". Un libro de consulta en matemáticas . McGraw-Hill. págs. 346–347.
δ
.
π
:: semidiámetro. semiperiferia
Desde un punto de vista lógico, esto es insatisfactorio en la etapa actual porque aún no hemos discutido el concepto de longitud de arco.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb1cd8b2742403364f3adca4fc8b8ca4a21e7f5)
![{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a691be63815c6b7d9fe15070ae98039d9c1d0384)
![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0468f15485d405d64092878cda0fc0cbdab2f62)
![{\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7113d194de39d54621e9da47782ad5263b9f1790)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _ {p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{ \frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta ( 2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\aprox 61\%.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ad11b6609d91487577949c7a42872afdc33a36)
/File:Comparison_pi_infinite_series.svg){kind=link}
{{cite journal}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Newton, Isaac (1971). Whiteside, Derek Thomas (ed.). Los artículos matemáticos de Isaac Newton . vol. 4, 1674–1684. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 526–653.
Euler, Leonhard (1755). "§2.2.30". Institutiones Calculi Differentialis (en latín). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. pag. 318. E 212.
Euler, Leonhard (1798) [escrito en 1779]. "Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae". Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. E 705.
Chien-Lih, Hwang (2004). "88.38 Algunas observaciones sobre el método de las arctangentes para el cálculo de π ". Gaceta Matemática . 88 (512): 270–278. doi :10.1017/S0025557200175060. S2CID 123532808.
Chien-Lih, Hwang (2005). "89.67 Una derivación elemental de la serie de Euler para la función arcotangente". Gaceta Matemática . 89 (516): 469–470. doi :10.1017/S0025557200178404. S2CID 123395287.
la relación entre la longitud de un círculo y su diámetro se representó en forma fraccionaria mediante el uso de dos letras... JA Segner... en 1767, representó 3,14159... mediante δ : π , al igual que Oughtred más de un siglo antes
Llama la atención que estas letras
nunca
se usan por separado, es decir,
π
no
se
usa para 'Semiperiferia'
Sumatur pro ratione radios ad peripheriem,
I : π
Traducción al inglés de Ian Bruce Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine : " π se toma como la relación entre el radio y la periferia [tenga en cuenta que en este trabajo, el π de Euler es el doble de nuestro π .]"
Coche, así que π la circonference d'un círculo, dout le rayon est
= 1
Traducción al inglés en Cajori, Florian (1913). "Historia de los conceptos exponencial y logarítmico". El Mensual Matemático Estadounidense . 20 (3): 75–84. doi :10.2307/2973441. JSTOR 2973441.
Sea
π
la circunferencia (!) de un círculo de radio unitario
Denota
1:
π
rationem diametri ad peripheriam
Traducción al inglés de Ian Bruce Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine : "Sea 1: π la relación entre el diámetro y la circunferencia".
{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)Si autem
π
notet peripheriam circuli, cuius diámetro eſt
2
Véase el teorema de Barbier, Corolario 5.1.1, p. 98; Triángulos de Reuleaux, págs. 3, 10; curvas suaves, como una curva analítica debida a Rabinowitz, § 5.3.3, págs. 111-112.
la satisfacción casi autista del matemático obsesivo-compulsivo fascinado por 'Pi' (que brinda la oportunidad de escuchar a Bush cantar lentamente grandes fragmentos del número en cuestión, de varias docenas de dígitos)
