Forma de Jacobi

Clase de función vectorial compleja

En matemáticas , una forma de Jacobi es una forma automórfica del grupo de Jacobi , que es el producto semidirecto del grupo simpléctico Sp(n;R) y el grupo de Heisenberg . La teoría fue estudiada sistemáticamente por primera vez por Eichler y Zagier (1985). ${\displaystyle H_{R}^{(n,h)}}$

Definición

Una forma de Jacobi de nivel 1, peso k e índice m es una función de dos variables complejas (con τ en el semiplano superior) tales que ${\displaystyle \phi (\tau ,z)}$

• ${\displaystyle \phi \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},{\frac {z}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}e^{\frac {2\pi imcz^{2}}{c\tau +d}}\phi (\tau ,z){\text{ for }}{a\ b \choose c\ d}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$
• ${\displaystyle \phi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im(\lambda ^{2}\tau +2\lambda z)}\phi (\tau ,z)}$para todos los números enteros λ, μ.
• ${\displaystyle \phi }$tiene una expansión de Fourier

${\displaystyle \phi (\tau ,z)=\sum _{n\geq 0}\sum _{r^{2}\leq 4mn}C(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.}$

Ejemplos

Los ejemplos con dos variables incluyen las funciones theta de Jacobi , la función ℘ de Weierstrass y los coeficientes de Fourier–Jacobi de las formas modulares de Siegel de género 2. Los ejemplos con más de dos variables incluyen caracteres de algunas representaciones irreducibles de mayor peso de las álgebras afines de Kac–Moody . Las formas de Jacobi meromorfas aparecen en la teoría de las formas modulares de Mock .

Referencias

• Eichler, Martin; Zagier, Don (1985), La teoría de las formas de Jacobi , Progress in Mathematics, vol. 55, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi :10.1007/978-1-4684-9162-3, ISBN 978-0-8176-3180-2, Sr.  0781735