En geometría , el teorema de Barbier establece que toda curva de ancho constante tiene perímetro π multiplicado por su ancho, independientemente de su forma precisa. [1] Este teorema fue publicado por primera vez por Joseph-Émile Barbier en 1860. [2]
Los ejemplos más familiares de curvas de ancho constante son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Para un círculo, el ancho es el mismo que el diámetro ; un círculo de ancho w tiene perímetro π w . Un triángulo de Reuleaux de ancho w consta de tres arcos de círculos de radio w . Cada uno de estos arcos tiene un ángulo central π /3, por lo que el perímetro del triángulo de Reuleaux de ancho w es igual a la mitad del perímetro de un círculo de radio w y por tanto es igual a π w . Un análisis similar de otros ejemplos simples como los polígonos de Reuleaux da la misma respuesta.
Una prueba del teorema utiliza las propiedades de las sumas de Minkowski . Si K es un cuerpo de ancho constante w , entonces la suma de Minkowski de K y su rotación de 180° es un disco con radio w y perímetro 2 π w . La suma de Minkowski actúa linealmente sobre los perímetros de los cuerpos convexos, por lo que el perímetro de K debe ser la mitad del perímetro de este disco, que es π w como dice el teorema. [3]
Alternativamente, el teorema se deriva inmediatamente de la fórmula de Crofton en geometría integral según la cual la longitud de cualquier curva es igual a la medida del conjunto de líneas que cruzan la curva, multiplicada por su número de cruces. Dos curvas cualesquiera que tengan el mismo ancho constante están atravesadas por conjuntos de líneas de la misma medida y, por tanto, tienen la misma longitud. Históricamente, Crofton derivó su fórmula más tarde que el teorema de Barbier y con independencia del mismo. [4]
Se puede encontrar una prueba probabilística elemental del teorema en Los fideos de Buffon .
El análogo del teorema de Barbier para superficies de ancho constante es falso. En particular, la esfera unitaria tiene área de superficie , mientras que la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux con el mismo ancho constante tiene área de superficie . [5]
En cambio, el teorema de Barbier se generaliza a cuerpos de brillo constante , conjuntos convexos tridimensionales para los cuales cada proyección bidimensional tiene la misma área. Todos ellos tienen la misma superficie que una esfera de la misma área proyectada.
Y en general, si es un subconjunto convexo de , para el cual cada proyección ( n −1)-dimensional tiene el área de la bola unitaria en , entonces el área de la superficie de es igual a la de la esfera unitaria en . Esto se desprende de la forma general de la fórmula de Crofton . [6]
