fideos de buffon

Variación de la aguja de Buffon.

En probabilidad geométrica , el problema del fideo de Buffon es una variación del conocido problema de la aguja de Buffon , que lleva el nombre de Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon que vivió en el siglo XVIII. Este enfoque del problema fue publicado por Joseph-Émile Barbier en 1860. ^[1]

la aguja de buffon

Supongamos que existen infinitas líneas horizontales paralelas igualmente espaciadas y que lanzáramos al azar una aguja cuya longitud es menor o igual a la distancia entre líneas adyacentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja pase sobre una línea al aterrizar?

Para resolver este problema, sea la longitud de la aguja y la distancia entre dos líneas adyacentes. Luego, sea el ángulo agudo que forma la aguja con la horizontal y sea la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea más cercana. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$

La aguja pasa por la línea más cercana si y sólo si . Vemos esta condición en el triángulo rectángulo formado por la aguja, la línea más cercana y la línea de longitud cuando la aguja pasa por la línea más cercana. ${\displaystyle x\leq {\frac {\ell \sin \theta }{2}}}$ ${\displaystyle x}$

Ahora, asumimos que los valores de se determinan aleatoriamente cuando aterrizan, dónde , desde y . El espacio muestral para es, por tanto, un rectángulo de longitudes de lados y . ${\displaystyle x,\theta }$ ${\displaystyle 0<x<{\frac {D}{2}}}$ ${\displaystyle 0<\ell <D}$ ${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle x,\theta }$ ${\displaystyle {\frac {D}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

La probabilidad del evento de que la aguja se encuentre a través de la línea más cercana es la fracción del espacio muestral que se cruza con . Dado que , el área de esta intersección está dada por ${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$ ${\displaystyle 0<\ell <D}$

${\displaystyle {\text{Area (event)}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ell }{2}}\sin \theta \,d\theta =-{\frac {\ell }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\ell }{2}}\cos 0={\frac {\ell }{2}}.}$

Ahora el área del espacio muestral es

${\displaystyle {\text{Area (sample space)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}.}$

Por tanto, la probabilidad del evento es ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P={\frac {\text{Area (event)}}{\text{Area (sample space)}}}={\frac {\ell }{2}}\cdot {\frac {4}{D\pi }}={\frac {2\ell }{\pi D}}.}$^[2]

Doblando la aguja

La fórmula permanece igual incluso cuando la aguja se dobla de alguna manera (sujeta a la restricción de que debe estar en un plano), lo que la convierte en un "fideo", una curva plana rígida . Dejamos de lado la suposición de que la longitud del fideo no es mayor que la distancia entre las líneas paralelas.

La distribución de probabilidad del número de cruces depende de la forma del fideo, pero el número esperado de cruces no; depende sólo de la longitud L del fideo y de la distancia D entre las líneas paralelas (obsérvese que un fideo curvo puede cruzar una sola línea varias veces).

Este hecho puede probarse de la siguiente manera (ver Klain y Rota). Primero supongamos que el fideo es lineal por partes , es decir, consta de n piezas rectas. Sea X _i el número de veces que la i- ésima pieza cruza una de las líneas paralelas. Estas variables aleatorias no son independientes , pero las expectativas siguen siendo aditivas debido a la linealidad de las expectativas :

${\displaystyle E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n}).}$

Considerando un fideo curvo como límite de una secuencia de fideos lineales por trozos, concluimos que el número esperado de cruces por lanzamiento es proporcional a la longitud; es una constante multiplicada por la longitud L. Entonces el problema es encontrar la constante. En caso de que el fideo sea un círculo de diámetro igual a la distancia D entre las líneas paralelas, entonces L = π D y el número de cruces es exactamente 2, con probabilidad 1. Entonces, cuando L = π D entonces el número esperado de cruces es 2. Por lo tanto, el número esperado de cruces debe ser 2 L /( π D ).

teorema de barbero

Ampliando ligeramente este argumento, si es un subconjunto compacto convexo de , entonces el número esperado de líneas que se cruzan es igual a la mitad del número esperado de líneas que se cruzan con el perímetro de , que es . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\frac {|\partial C|}{\pi D}}}$

En particular, si el fideo es una curva cerrada de ancho constante D, entonces el número de cruces también es exactamente 2. Esto significa que el perímetro tiene una longitud , la misma que la de un círculo, lo que demuestra el teorema de Barbier . ${\displaystyle \pi D}$

Notas

1. Barbier, E. (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 2 ^e série (en francés), 5 : 273–286
2. Charles M. Grinstead; J. Laurie Snell, "Capítulo 2. Densidades de probabilidad continua", Introducción a la probabilidad (PDF) , Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 44–46, ISBN 978-0-821-80749-1, archivado desde el original (PDF) el 10 de noviembre de 2013 , consultado el 5 de diciembre de 2018

Referencias

• Ramaley, JF (1969). "El problema de los fideos de Buffon" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 76 (8 de octubre de 1969). Asociación Matemática de América: 916–918. doi :10.2307/2317945. ISSN  0002-9890. JSTOR  2317945. Archivado desde el original (PDF) el 14 de enero de 2020 . Consultado el 5 de febrero de 2020 .
• Daniel A. Klain; Gian-Carlo Rota (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 1.ISBN​ 978-0-521-59654-1.

enlaces externos

• Página interactiva de matemáticas en el sitio web Cut-the-Knot
• Demostración interactiva de Wolfram CDF