Evento (teoría de la probabilidad)

En estadística y teoría de la probabilidad, conjunto de resultados a los que se asigna una probabilidad.

En teoría de la probabilidad , un evento es un conjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral ) al que se le asigna una probabilidad. ^[1] Un único resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, ^[2] y los diferentes eventos en un experimento generalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos de resultados muy diferentes. ^[3] Un evento que consta de un solo resultado se llama evento elemental o evento atómico ; es decir, es un conjunto singleton . Un evento que tiene más de un resultado posible se llama evento compuesto. Se dice que ocurre un evento si contiene el resultado del experimento (o prueba) (es decir, si ). ^[4] La probabilidad (con respecto a alguna medida de probabilidad ) de que ocurra un evento es la probabilidad que contiene el resultado de un experimento (es decir, es la probabilidad de que ). Un evento define un evento complementario , es decir, el conjunto complementario (el evento que no ocurre), y juntos definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió el evento o no? ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$

Normalmente, cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento (es decir, todos los elementos del conjunto potencia del espacio muestral se definen como eventos). ^[5] Sin embargo, este enfoque no funciona bien en los casos en que el espacio muestral es incontablemente infinito . Por lo tanto, al definir un espacio de probabilidad es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral para que no sean eventos (consulte Eventos en espacios de probabilidad , más abajo).

Un ejemplo sencillo

Si armamos una baraja de 52 naipes sin comodines y sacamos una sola carta de la baraja, entonces el espacio muestral es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta es un resultado posible. Un evento, sin embargo, es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluido cualquier conjunto singleton (un evento elemental ), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el espacio muestral mismo (un evento determinado, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Así, por ejemplo, los eventos potenciales incluyen:

Un diagrama de Euler de un evento. es el espacio muestral y es un evento. Por la proporción de sus áreas, la probabilidad de es aproximadamente 0,4. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

• "Rojo y negro a la vez sin ser comodín" (0 elementos),
• "El 5 de Corazones" (1 elemento),
• "Un Rey" (4 elementos),
• "Una tarjeta con figuras" (12 elementos),
• "Una espada" (13 elementos),
• "Una figura o un palo rojo" (32 elementos),
• "Una tarjeta" (52 elementos).

Dado que todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}) y se representan gráficamente mediante diagramas de Venn . En la situación donde cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidad de un evento es la siguiente ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$fórmula :

$${\displaystyle \mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)}$$

Eventos en espacios de probabilidad

Definir todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando hay un número finito de resultados, pero da lugar a problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar , como la distribución normal , el espacio muestral es el conjunto de números reales o algún subconjunto de los números reales . Los intentos de definir probabilidades para todos los subconjuntos de números reales tropiezan con dificultades cuando se consideran conjuntos que "se comportan mal" , como aquellos que no son mensurables . Por tanto, es necesario restringir la atención a una familia de subconjuntos más limitada. Para que funcionen las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales , es necesario utilizar una σ-álgebra , es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones contables de sus miembros. La elección más natural de σ-álgebra es el conjunto mensurable de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más grande de conjuntos medibles de Lebesgue resulta más útil en la práctica.

En la descripción general de la teoría de medidas de los espacios de probabilidad , un evento puede definirse como un elemento de un álgebra 𝜎 seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento del álgebra 𝜎 no es un evento y no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos del álgebra 𝜎.

Una nota sobre notación

Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio muestral, a menudo se escriben como predicados o indicadores que involucran variables aleatorias . Por ejemplo, si es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio muestral, el evento ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

$${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,}$$

$${\displaystyle u<X\leq v\,.}$$

probabilidad

$${\displaystyle \Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.}$$

conjuntoimagen inversamapeo ${\displaystyle u<X\leq v}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \in X^{-1}((u,v])}$ ${\displaystyle u<X(\omega )\leq v.}$

Ver también

• Átomo (teoría de la medida)  : un conjunto medible con medida positiva que no contiene ningún subconjunto de medidas positivas más pequeñas.
• Evento complementario  : lo opuesto a un evento de probabilidad.
• Evento elemental  : un evento que contiene solo un resultado.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Evento independiente  : cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra otro.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Resultado (probabilidad)  : posible resultado de un experimento o ensayo.
• Eventos independientes por pares  : conjunto de variables aleatorias de las cuales dos son independientes

Notas

1. León-García, Alberto (2008). Probabilidad, estadística y procesos aleatorios para la ingeniería eléctrica. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson. ISBN 9780131471221.
2. Pfeiffer, Paul E. (1978). Conceptos de teoría de la probabilidad. Publicaciones de Dover. pag. 18.ISBN​ 978-0-486-63677-1.
3. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición clásica). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 634.ISBN​ 0-13-165711-9.
4. Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, ​​Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Ludolf Erwin, Meester (2005). Dekking, Michel (ed.). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo. Textos de Springer en estadística. Londres [Heidelberg]: Springer. pag. 14.ISBN​ 978-1-85233-896-1.
5. Širjaev, Albert N. (2016). Probabilidad-1 . Textos de posgrado en matemáticas. Traducido por Boas, Ralph Philip; Chibisov, Dmitry (3ª ed.). Nueva York Heidelberg Dordrecht Londres: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4.

enlaces externos

• "Evento aleatorio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal en el sistema Mizar .