Fórmula de Crofton

En matemáticas , la fórmula de Crofton , llamada así en honor a Morgan Crofton (1826-1915), (también fórmula de Cauchy-Crofton ) es un resultado clásico de la geometría integral que relaciona la longitud de una curva con el número esperado de veces que una línea "aleatoria" la cruza. .

Declaración

La línea definida por las opciones de cruza la curva dos veces, por lo tanto, . ${\displaystyle \varphi ,p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n_{\gamma }(\varphi ,p)=2}$

Aplicación de la fórmula de Crofton en una simulación de Montecarlo .

Supongamos que es una curva plana rectificable . Dada una línea orientada ℓ , sea ( ℓ ) el número de puntos en los que y ℓ se cruzan. Podemos parametrizar la línea general ℓ por la dirección en la que apunta y su distancia con signo desde el origen . La fórmula de Crofton expresa la longitud del arco de la curva en términos de una integral sobre el espacio de todas las líneas orientadas: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$

La forma diferencial

${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

es invariante bajo movimientos rígidos de , por lo que es una medida de integración natural para hablar de un número "promedio" de intersecciones. Suele denominarse medida cinemática . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El lado derecho de la fórmula de Crofton a veces se denomina longitud de Favard. ^[1]

En general, el espacio de líneas orientadas en es el fibrado tangente de , y de manera similar podemos definir una medida cinemática sobre él, que también es invariante bajo movimientos rígidos de . Entonces para cualquier superficie rectificable de codimensión 1, tenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \operatorname {area} (S)=C_{n}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$$

$${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\cdot |{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}}$$

Bosquejo de prueba

Ambos lados de la fórmula de Crofton son aditivos sobre la concatenación de curvas, por lo que basta con probar la fórmula para un solo segmento de línea. Dado que el lado derecho no depende de la posición del segmento de línea, debe ser igual a alguna función de la longitud del segmento. Debido a que, nuevamente, la fórmula es aditiva sobre la concatenación de segmentos de línea, la integral debe ser una constante multiplicada por la longitud del segmento de línea. Sólo queda determinar el factor 1/4; esto se hace fácilmente calculando ambos lados cuando γ es el círculo unitario .

La prueba de la versión generalizada procede exactamente como arriba.

Fórmula de Poincaré para curvas que se cruzan.

Sea el grupo euclidiano en el plano. Se puede parametrizar como , de modo que cada uno defina algo : rotar en sentido antihorario alrededor del origen y luego traducir en . Entonces es invariante bajo la acción de sobre sí mismo, por lo que obtuvimos una medida cinemática de . ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\varphi ,x,y)\in [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T(\varphi ,x,y)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge d\varphi }$ ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}}$

Dadas curvas simples rectificables (sin autointersección) en el plano, entonces ${\displaystyle C,D}$

$${\displaystyle \int _{T\in E^{2}}|C\cap T(D)|dT=4|C|\cdot |D|}$$

${\displaystyle C,D}$

Otras formas

El espacio de líneas orientadas es una doble cobertura del espacio de líneas no orientadas. La fórmula de Crofton se expresa a menudo en términos de la densidad correspondiente en este último espacio, en el que el factor numérico no es 1/4 sino 1/2. Dado que una curva convexa intersecta casi todas las líneas dos veces o ninguna, la fórmula de Crofton no orientada para curvas convexas se puede establecer sin factores numéricos: la medida del conjunto de líneas rectas que intersectan una curva convexa es igual a su longitud.

La misma fórmula (con las mismas constantes multiplicativas) se aplica a espacios hiperbólicos y espacios esféricos, cuando la medida cinemática está adecuadamente escalada. La prueba es esencialmente la misma.

La fórmula de Crofton se generaliza a cualquier superficie de Riemann o, más generalmente, a variedades de Finsler bidimensionales ; Luego se realiza la integral con la medida natural en el espacio de las geodésicas . ^[2]

Existen formas más generales, como la fórmula cinemática de Chern. ^[3]

Aplicaciones

La fórmula de Crofton proporciona pruebas elegantes de, entre otros, los siguientes resultados:

• Dadas dos curvas cerradas, convexas y anidadas, la interior es más corta. En general, para dos superficies de codimensión 1, la interior tiene menos área.
• Dadas dos superficies cerradas, convexas y anidadas , con el interior anidado , la probabilidad de que una línea aleatoria cruce la superficie interior , condicionada a que cruce la superficie exterior , es ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$
  $${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}S_{1}|l{\text{ intersects }}S_{2})={\frac {\operatorname {area} (S_{1})}{\operatorname {area} (S_{2})}}}$$
  Ésta es la justificación de la heurística del área de superficie en la jerarquía de volúmenes delimitadores .
• Dado un subconjunto convexo compacto , sea una línea aleatoria y un hiperplano aleatorio, entonces ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$
  $${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}P|l,P{\text{ intersects }}S)={\frac {|S|}{|\partial S|\cdot E[{\text{width of }}S]}}}$$
  donde es el ancho promedio de , es decir, la longitud esperada de la proyección ortogonal de a un subespacio lineal aleatorio de . Cuando , por la desigualdad isoperimétrica , esta probabilidad está acotada superiormente por , con igualdad si y solo si es un disco. ${\displaystyle E[{\text{width of }}S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle S}$
• Teorema de Barbier : Toda curva de ancho constante w tiene perímetro π w .
• La desigualdad isoperimétrica : entre todas las curvas cerradas con un perímetro dado, el círculo tiene el área máxima única.
• El casco convexo de cada curva cerrada rectificable acotada C tiene un perímetro como máximo de la longitud de C , con igualdad sólo cuando C ya es una curva convexa.
• Fórmula del área de superficie de Cauchy: dado cualquier subconjunto compacto convexo , sea el área de sombra esperada de (es decir, la proyección ortogonal a un hiperplano aleatorio de ), luego integrando la fórmula de Crofton primero sobre y luego sobre , obtenemos ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E[|T(S)|]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dp}$ ${\displaystyle d\varphi }$
  $${\displaystyle {\frac {|\partial S|}{E[|T(S)|]}}={\frac {|{\text{unit sphere in }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$$
  En particular, la configuración da el teorema de Barbier, da el ejemplo clásico "la sombra promedio de un cuerpo convexo es 1/4 de su superficie". General da una generalización del teorema de Barbier para cuerpos de brillo constante . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• fideos de buffon
• La transformada de radón puede verse como una generalización teórica de la medida de la fórmula de Crofton y la fórmula de Crofton se utiliza en la fórmula de inversión de la transformada de radón del plano k de Gel'fand y Graev ^[4]
• longímetro Steinhaus

Referencias

1. Luis Santaló (1976), Geometría integral y probabilidad geométrica , Addison-Wesley, ISBN 0-201-13500-0
2. Ueno, Seitarô (1955), "Sobre las densidades en un espacio generalizado bidimensional", Memorias de la Facultad de Ciencias , 9 : 65–77, doi :10.2206/kyushumfs.9.65, MR  0071801
3. Calegari, Danny (2020). «Sobre la fórmula cinemática en la vida de los santos» (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 67 (7): 1042-1044. ISSN  0002-9920. Archivado desde el original (PDF) el 20 de noviembre de 2020 . Consultado el 7 de junio de 2022 .
4. Izrail Moiseevich Gel'fand; Mark Iosifovich Graev (1991), "Función de Crofton y fórmulas de inversión en geometría integral real", Análisis funcional y sus aplicaciones , 25 : 1–5, doi :10.1007/BF01090671, S2CID  24484682

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometría y Billar . AMS. págs. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
• Santaló, LA (1953). Introducción a la Geometría Integral . págs. 12-13, 54. LCC  QA641.S3.

enlaces externos

• Página de fórmulas de Cauchy-Crofton, con subprogramas de demostración
• Alice, Bob y la sombra promedio de un cubo, una visualización de la fórmula del área de superficie de Cauchy.