Fórmula de Crofton

En matemáticas , la fórmula de Crofton , llamada así en honor a Morgan Crofton (1826-1915), (también fórmula de Cauchy-Crofton ) es un resultado clásico de la geometría integral que relaciona la longitud de una curva con el número esperado de veces que una línea "aleatoria" la interseca.

Declaración

La línea definida por las opciones de intersecta la curva dos veces, por lo tanto, . ${\displaystyle \varphi ,p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n_{\gamma }(\varphi ,p)=2}$

Aplicación de la fórmula de Crofton en una simulación de Monte-Carlo .

Supongamos que es una curva plana rectificable . Dada una línea orientada ℓ , sea ( ℓ ) el número de puntos en los que y ℓ se cortan. Podemos parametrizar la línea general ℓ por la dirección en la que apunta y su distancia con signo desde el origen . La fórmula de Crofton expresa la longitud del arco de la curva en términos de una integral sobre el espacio de todas las líneas orientadas: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$

La forma diferencial

${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

es invariante bajo movimientos rígidos de , por lo que es una medida de integración natural para hablar de un número "promedio" de intersecciones. Se suele llamar medida cinemática . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El lado derecho de la fórmula de Crofton a veces se denomina longitud de Favard. ^[1]

En general, el espacio de líneas orientadas en es el fibrado tangente de , y podemos definir de manera similar una medida cinemática sobre él, que también es invariante bajo movimientos rígidos de . Entonces, para cualquier superficie rectificable de codimensión 1, tenemos donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {area} (S)=C_{n}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$$ $${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\cdot |{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}}$$

Boceto de prueba

Ambos lados de la fórmula de Crofton son aditivos sobre la concatenación de curvas, por lo que basta con probar la fórmula para un solo segmento de línea. Dado que el lado derecho no depende de la posición del segmento de línea, debe ser igual a alguna función de la longitud del segmento. Debido a que, nuevamente, la fórmula es aditiva sobre la concatenación de segmentos de línea, la integral debe ser una constante multiplicada por la longitud del segmento de línea. Solo queda determinar el factor de 1/4; esto se hace fácilmente calculando ambos lados cuando γ es el círculo unitario .

La prueba de la versión generalizada procede exactamente como se indica arriba.

Fórmula de Poincaré para curvas que se cruzan

Sea el grupo euclidiano en el plano. Puede parametrizarse como , de modo que cada uno defina algún : gira en sentido antihorario alrededor del origen, luego se traslada por . Entonces es invariante bajo la acción de sobre sí mismo, por lo que obtuvimos una medida cinemática en . ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\varphi ,x,y)\in [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T(\varphi ,x,y)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge d\varphi }$ ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}}$

Dadas curvas simples rectificables (sin autointersección) en el plano, entonces La prueba se realiza de manera similar a la anterior. Primero observe que ambos lados de la fórmula son aditivos en , por lo tanto, la fórmula es correcta con una constante multiplicativa indeterminada. Luego calcule explícitamente esta constante, utilizando el caso más simple posible: dos círculos de radio 1. ${\displaystyle C,D}$ $${\displaystyle \int _{T\in E^{2}}|C\cap T(D)|dT=4|C|\cdot |D|}$$ ${\displaystyle C,D}$

Otras formas

El espacio de las líneas orientadas es una doble cobertura del espacio de las líneas no orientadas. La fórmula de Crofton se enuncia a menudo en términos de la densidad correspondiente en este último espacio, en el que el factor numérico no es 1/4 sino 1/2. Puesto que una curva convexa interseca casi todas las líneas dos veces o no las interseca en absoluto, la fórmula de Crofton no orientada para curvas convexas se puede enunciar sin factores numéricos: la medida del conjunto de líneas rectas que intersecan una curva convexa es igual a su longitud.

La misma fórmula (con las mismas constantes multiplicativas) se aplica a espacios hiperbólicos y espacios esféricos, siempre que la medida cinemática esté adecuadamente escalada. La demostración es esencialmente la misma.

La fórmula de Crofton se generaliza a cualquier superficie de Riemann o, más generalmente, a variedades de Finsler bidimensionales ; la integral se realiza entonces con la medida natural en el espacio de geodésicas . ^[2]

Existen formas más generales, como la fórmula cinemática de Chern. ^[3]

Aplicaciones

La fórmula de Crofton produce pruebas elegantes de los siguientes resultados, entre otros:

• Dadas dos curvas cerradas, convexas y anidadas, la interior es más corta. En general, para dos superficies de dimensión 1, la interior tiene menor área.
• Dadas dos superficies cerradas, convexas y anidadas , con un interior anidado , la probabilidad de que una línea aleatoria interseque la superficie interior , condicional a que interseque la superficie exterior , es Esta es la justificación de la heurística del área de superficie en la jerarquía de volumen delimitador . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ $${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}S_{1}|l{\text{ intersects }}S_{2})={\frac {\operatorname {area} (S_{1})}{\operatorname {area} (S_{2})}}}$$
• Dado un subconjunto convexo compacto , sea una línea aleatoria y sea un hiperplano aleatorio, entonces donde es el ancho promedio de , es decir, la longitud esperada de la proyección ortogonal de a un subespacio lineal aleatorio de . Cuando , por la desigualdad isoperimétrica , esta probabilidad está acotada superiormente por , con igualdad si y solo si es un disco. ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}P|l,P{\text{ intersects }}S)={\frac {|S|}{|\partial S|\cdot E[{\text{width of }}S]}}}$$ ${\displaystyle E[{\text{width of }}S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle S}$
• Teorema de Barbier : Toda curva de ancho constante w tiene perímetro π w .
• La desigualdad isoperimétrica : Entre todas las curvas cerradas con un perímetro dado, el círculo tiene la única área máxima.
• La envoltura convexa de toda curva cerrada rectificable acotada C tiene perímetro como máximo igual a la longitud de C , con igualdad sólo cuando C ya es una curva convexa.
• Fórmula de área de superficie de Cauchy: Dado cualquier subconjunto compacto convexo , sea el área de sombra esperada de (es decir, es la proyección ortogonal a un hiperplano aleatorio de ), entonces al integrar la fórmula de Crofton primero sobre , luego sobre , obtenemos En particular, el ajuste da el teorema de Barbier, da el ejemplo clásico "la sombra promedio de un cuerpo convexo es 1/4 de su área de superficie". General da la generalización del teorema de Barbier para cuerpos de brillo constante . ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E[|T(S)|]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dp}$ ${\displaystyle d\varphi }$ $${\displaystyle {\frac {|\partial S|}{E[|T(S)|]}}={\frac {|{\text{unit sphere in }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Los fideos de Buffon
• La transformada de Radon puede verse como una generalización de la teoría de la medida de la fórmula de Crofton y la fórmula de Crofton se utiliza en la fórmula de inversión de la transformada de Radon del plano k de Gel'fand y Graev ^[4].
• Longímetro Steinhaus

Referencias

1. Luis Santaló (1976), Geometría integral y probabilidad geométrica , Addison-Wesley, ISBN 0-201-13500-0
2. Ueno, Seitarô (1955), "Sobre las densidades en un espacio generalizado bidimensional", Memorias de la Facultad de Ciencias , 9 : 65–77, doi :10.2206/kyushumfs.9.65, MR  0071801
3. Calegari, Danny (2020). «Sobre la fórmula cinemática en las vidas de los santos» (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 67 (7): 1042–1044. ISSN  0002-9920. Archivado desde el original (PDF) el 20 de noviembre de 2020. Consultado el 7 de junio de 2022 .
4. Izrail Moiseevich Gel'fand; Mark Iosifovich Graev (1991), "Fórmulas de inversión y función de Crofton en geometría integral real", Análisis funcional y sus aplicaciones , 25 : 1–5, doi :10.1007/BF01090671, S2CID  24484682

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometría y billar . AMS. pp. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
• Santalo, LA (1953). Introducción a la geometría integral . pp. 12–13, 54. LCC  QA641.S3.

Enlaces externos

• Página de fórmulas de Cauchy-Crofton, con aplicaciones de demostración
• Alice, Bob y la sombra promedio de un cubo, una visualización de la fórmula del área de superficie de Cauchy.