Fórmula similar a una máquina

Fórmulas para pi

En matemáticas , las fórmulas tipo Machin son una técnica popular para calcular π (la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo ) con una gran cantidad de dígitos . Son generalizaciones de la fórmula de John Machin de 1706:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

que utilizó para calcular π con 100 decimales. ^{[1] [2]}

Las fórmulas tipo máquina tienen la forma

donde es un número entero positivo, son números enteros distintos de cero con signo y son números enteros positivos tales que . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$

Estas fórmulas se utilizan junto con la serie de Gregory , la expansión de la serie de Taylor para arcotangente :

Derivación

La fórmula de suma de ángulos para el arcotangente afirma que

si

$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}$$

3

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan {\frac {1}{5}}&=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {1\cdot 5+1\cdot 5}{5\cdot 5-1\cdot 1}}\\&=\arctan {\frac {10}{24}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}&=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}\\&=\arctan {\frac {5\cdot 12+5\cdot 12}{12\cdot 12-5\cdot 5}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120\cdot 1+(-1)\cdot 119}{119\cdot 1-120\cdot (-1)}}\\&=\arctan {\frac {1}{239}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Una forma reveladora de visualizar la ecuación 3 es imaginar lo que sucede cuando se multiplican dos números complejos:

${\displaystyle (b_{1}+a_{1}\mathrm {i} )\cdot (b_{2}+a_{2}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle =b_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\mathrm {i} +a_{1}b_{2}\mathrm {i} -a_{1}a_{2}}$

El ángulo asociado a un número complejo viene dado por: ${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Así, en la ecuación 4 , el ángulo asociado al producto es:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}}$

Tenga en cuenta que esta es la misma expresión que ocurre en la ecuación 3 . Por lo tanto , se puede interpretar que la ecuación 3 dice que multiplicar dos números complejos significa sumar sus ángulos asociados (ver multiplicación de números complejos ).

La expresion:

${\displaystyle c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

es el ángulo asociado con:

${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

La ecuación 1 se puede reescribir como:

${\displaystyle k\cdot (1+\mathrm {i} )^{c_{0}}=\prod _{n=1}^{N}(b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Aquí hay una constante arbitraria que explica la diferencia de magnitud entre los vectores en los dos lados de la ecuación. Las magnitudes pueden ignorarse, sólo los ángulos son significativos. ${\displaystyle k}$

Usando números complejos

Se pueden generar otras fórmulas utilizando números complejos. ^[3] Por ejemplo, el ángulo de un número complejo viene dado por y, cuando se multiplican números complejos, se suman sus ángulos. Si entonces es 45 grados o radianes. Esto significa que si la parte real y la parte compleja son iguales entonces el arcotangente será igual . Dado que el arcotangente de uno tiene una velocidad de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que al multiplicarlos darán como resultado la misma parte real e imaginaria tendremos una fórmula tipo Machin. Un ejemplo es y . Si los multiplicamos obtendremos . Por lo tanto, . ${\textstyle (a+b\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle a=b}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle (2+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (3+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (5+5\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$

Si quieres usar números complejos para demostrarlo, primero debes saber que al multiplicar ángulos elevas el número complejo a la potencia del número por el que estás multiplicando. Entonces y como la parte real y la parte imaginaria son iguales entonces, ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ ${\textstyle (5+\mathrm {i} )^{4}(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 2^{2}\cdot 13^{4}}$ ${\textstyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}~.}$

medida de lehmer

Uno de los parámetros más importantes que caracteriza la eficiencia computacional de una fórmula tipo Machin es la medida de Lehmer, definida como ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\it {\lambda }}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{\log _{10}(b_{n}/a_{n})}}}$.

Para obtener la medida de Lehmer lo más pequeña posible, es necesario disminuir la proporción de números enteros positivos en los argumentos arctangentes y minimizar el número de términos en la fórmula tipo Machin. La medida de Lehmer más pequeña conocida hoy en día se debe a H. Chien-Lih (1997), ^[6] cuya fórmula tipo Machin se muestra a continuación. Es muy común en las fórmulas tipo Machin cuando todos los numeradores ${\displaystyle a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1.51244}$ ${\displaystyle a_{n}=1~.}$

Fórmulas de dos términos

En el caso especial del numerador , hay exactamente cuatro soluciones que tienen sólo dos términos. ^{[7] [8]} Los cuatro fueron encontrados por John Machin en 1705-1706, pero sólo uno de ellos se hizo ampliamente conocido cuando se publicó en el libro de William Jones Synopsis Palmariorum Matheseos , por lo que los otros tres a menudo se atribuyen a otros matemáticos. . Estos son ${\displaystyle a_{n}=1}$

Euler 's 1737 (conocido por Machin 1706): ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

Hermann 's 1706 (conocido por Machin 1706): ^{[11] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

Hutton o Vega (conocido por Machin 1706): ^{[8] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

y 1706 de Machin: ^{[1] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$.

En el caso general, donde el valor de un numerador no está restringido, existen infinitas otras soluciones. Por ejemplo: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=22\arctan {\frac {1}{28}}+\arctan {\frac {1744507482180328366854565127}{98646395734210062276153190241239}}}$

o

Ejemplo

El diagrama adyacente demuestra la relación entre los arcotangentes y sus áreas. Del diagrama tenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {area}}(PON)&={\rm {area}}(MOF)=\pi \times {\frac {\angle MOF}{2\pi }}=\angle MEF=\arctan {1 \over 2}\\{\rm {area}}(POM)&={\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(POF)&={\pi \over 4}=\arctan {1 \over 2}+\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(MON)&=\arctan {1 \over 7}\\\arctan {1 \over 2}&=\arctan {1 \over 3}+\arctan {1 \over 7},\end{array}}}$

una relación que también se puede encontrar mediante
el siguiente cálculo dentro de los números complejos

${\displaystyle (3+\mathrm {i} )(7+\mathrm {i} )=21-1+(3+7)\mathrm {i} =10\cdot (2+\mathrm {i} ).}$

Más términos

El récord de 2002 para dígitos de π , 1.241.100.000.000, lo obtuvo Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio . El cálculo se realizó en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, realizando 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Kikuo Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Størmer (1896).

Se utilizan dos ecuaciones para comprobar que ambas dan el mismo resultado; Es útil que las ecuaciones reutilicen algunas, pero no todas, las arcotangentes porque solo es necesario calcularlas una vez; observe la reutilización de 57 y 239 anteriores.

Se pueden construir fórmulas similares a las de una máquina para π encontrando un conjunto de números donde las factorizaciones primas de juntos no usan primos más distintos que el número de elementos en el conjunto, y luego usando álgebra lineal o el algoritmo de reducción de bases LLL para construir combinaciones lineales de arcotangentes de recíprocos de denominadores enteros . Por ejemplo, para la fórmula de Størmer anterior, tenemos ${\displaystyle b^{2}+1}$ ${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle 57^{2}+1=2\cdot 5^{3}\cdot 13}$

${\displaystyle 239^{2}+1=2\cdot 13^{4}}$

${\displaystyle 682^{2}+1=5^{3}\cdot 61^{2}}$

${\displaystyle 12943^{2}+1=2\cdot 5^{4}\cdot 13^{3}\cdot 61}$

entonces cuatro términos usando entre ellos solo los primos 2, 5, 13 y 61.

En 1993, Jörg Uwe Arndt ^[12] encontró la fórmula de 11 términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{390112}}+135908\arctan {\frac {1}{485298}}+274509\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-39581\arctan {\frac {1}{1984933}}+178477\arctan {\frac {1}{2478328}}-114569\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-146571\arctan {\frac {1}{18975991}}+61914\arctan {\frac {1}{22709274}}-69044\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-89431\arctan {\frac {1}{201229582}}-43938\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

usando el conjunto de 11 números primos ${\displaystyle \{2,5,13,17,29,37,53,61,89,97,101\}.}$

Hwang Chien-Lih (黃見利) (2004) descubrió otra fórmula en la que 10 de los argumentos son iguales a los anteriores, por lo que es más fácil comprobar que ambos dan el mismo resultado: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{51387}}+26522\arctan {\frac {1}{485298}}+19275\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-3119\arctan {\frac {1}{1984933}}-3833\arctan {\frac {1}{2478328}}-5183\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-37185\arctan {\frac {1}{18975991}}-11010\arctan {\frac {1}{22709274}}+3880\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-16507\arctan {\frac {1}{201229582}}-7476\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

Notarás que estas fórmulas reutilizan los mismos arcotangentes después de la primera. Se construyen buscando números que sean divisibles sólo por números primos menores que 102. ${\displaystyle b^{2}+1}$

La fórmula tipo Machin más eficiente actualmente conocida para calcular π es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

(Hwang Chien-Lih, 1997)

donde está el conjunto de números primos ${\displaystyle \{2,5,13,229,457,1201\}.}$

Una mejora adicional es utilizar el "Proceso de Todd", como se describe en; ^[5] esto conduce a resultados tales como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\&-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

(Hwang Chien-Lih, 2003)

donde el primo grande 834312889110521 divide los dos últimos índices. M. Wetherfield encontró 2004 ${\displaystyle b_{n}^{2}+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;83\arctan {\frac {1}{107}}+17\arctan {\frac {1}{1710}}-22\arctan {\frac {1}{103697}}\\&-24\arctan {\frac {1}{2513489}}-44\arctan {\frac {1}{18280007883}}\\&+12\arctan {\frac {1}{7939642926390344818}}\\&+22\arctan {\frac {1}{3054211727257704725384731479018}}.\\\end{aligned}}}$

En Pi Day 2024, Matt Parker junto con 400 voluntarios utilizaron la siguiente fórmula para calcular manualmente : ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;1587\arctan {\frac {1}{2852}}+295\arctan {\frac {1}{4193}}+593\arctan {\frac {1}{4246}}\\&+359\arctan {\frac {1}{39307}}+481\arctan {\frac {1}{55603}}+625\arctan {\frac {1}{211050}}\\&-708\arctan {\frac {1}{390112}}\end{aligned}}}$

Fue el mayor cálculo manual realizado en un siglo. ^[13] ${\displaystyle \pi }$

Más métodos

Existen otros métodos para derivar fórmulas similares a las de Machin con recíprocos de números enteros. Uno viene dado por la siguiente fórmula: ^[14] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2^{k-1}\cdot \arctan {\frac {1}{A_{k}}}+\sum \limits _{m=1}^{M}\arctan {\frac {1}{\left\lfloor B_{k,m}\right\rfloor }}+\arctan {\frac {1}{B_{k,M+1}}},}$

dónde

${\displaystyle a_{0}:=0}$

y recursivamente

${\displaystyle a_{k}:={\sqrt {2+a_{k-1}}},\;A_{k}:=\left\lfloor {\frac {a_{k}}{\sqrt {2-a_{k-1}}}}\right\rfloor }$

y

${\displaystyle B_{k,1}:={\frac {2}{\left({\dfrac {A_{k}+\mathrm {i} }{A_{k}-\mathrm {i} }}\right)^{2^{k-1}}-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} }$

y recursivamente

${\displaystyle B_{k,m}:={\frac {1+\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor B_{k,m-1}}{\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor -B_{k,m-1}}}~.}$

Por ejemplo, para y obtenemos: ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle M=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;8\arctan {\frac {1}{10}}-\arctan {\frac {1}{84}}-\arctan {\frac {1}{21342}}\\&-\arctan {\frac {1}{991268848}}-\arctan {\frac {1}{193018008592515208050}}\\&-\arctan {\frac {1}{197967899896401851763240424238758988350338}}\\&-\arctan {\frac {1}{117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397}}\end{aligned}}}$

Esto se verifica mediante el siguiente código MuPAD:

z := ( 10 + I ) ^ 8 * ( 84 - I ) * ( 21342 - I ) * ( 991268848 - I ) * ( 193018008592515208050 - I ) \ * ( 38 - I ) \ * ( 117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397 - I ) : Re ( z ) - Estoy ( z ) 0  

significado

${\displaystyle {\begin{aligned}z:=&\,(10+\mathrm {i} )^{8}\cdot (84-\mathrm {i} )\cdot (21342-\mathrm {i} )\cdot (991268848-\mathrm {i} )\cdot (193018008592515208050-\mathrm {i} )\\&\cdot (197967899896401851763240424238758988350338-\mathrm {i} )\\&\cdot (117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397-\mathrm {i} )\\\;=&\,(1+\mathrm {i} )\cdot \Re (z)~.\end{aligned}}}$

Eficiencia

Para cálculos grandes de , el algoritmo de división binaria se puede utilizar para calcular las arcotangentes mucho, mucho más rápido que sumando ingenuamente los términos de la serie de Taylor, uno a la vez. En implementaciones prácticas como y-cruncher, hay una sobrecarga constante relativamente grande por término más un tiempo proporcional a , y aparece un punto de rendimientos decrecientes más allá de tres o cuatro términos arctangentes en la suma; Esta es la razón por la que el cálculo anterior del superordenador utilizó sólo una versión de cuatro términos. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1/\log b_{n}}$

El objetivo de esta sección no es estimar el tiempo de ejecución real de ningún algoritmo determinado. En cambio, la intención es simplemente idear una métrica relativa mediante la cual se puedan comparar dos algoritmos entre sí.

Sea el número de dígitos a los que se quiere calcular. ${\displaystyle N_{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

Sea el número de términos de la serie de Taylor (ver ecuación 2 ). ${\displaystyle N_{t}}$

Sea la cantidad de tiempo dedicado a cada dígito (para cada término de la serie de Taylor). ${\displaystyle u_{n}}$

La serie de Taylor convergerá cuando:

${\displaystyle \left(\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}\right)^{N_{t}}=10^{N_{d}}}$

De este modo:

${\displaystyle N_{t}=N_{d}\quad {\frac {\ln 10}{2\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Para el primer término de la serie de Taylor, se deben procesar todos los dígitos. Sin embargo, en el último término de la serie de Taylor sólo queda un dígito por procesar. En todos los términos intermedios, el número de dígitos a procesar se puede aproximar mediante interpolación lineal. Así el total viene dado por: ${\displaystyle N_{d}}$

${\displaystyle {\frac {N_{d}N_{t}}{2}}}$

El tiempo de ejecución viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}N_{d}N_{t}}{2}}}$

Combinando ecuaciones, el tiempo de ejecución viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}{N_{d}}^{2}\ln 10}{4\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}={\frac {k\,u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

¿Dónde hay una constante que combina todas las demás constantes? Dado que se trata de una métrica relativa, el valor de puede ignorarse. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

El tiempo total, en todos los términos de la ecuación 1 , viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

${\displaystyle u_{n}}$no se puede modelar con precisión sin un conocimiento detallado del software específico. De todos modos, presentamos un modelo posible.

El software dedica la mayor parte del tiempo a evaluar la serie de Taylor de la ecuación 2 . El bucle principal se puede resumir en el siguiente pseudocódigo:

${\displaystyle 1:\quad {\mathit {term}}\quad *=\quad {a_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 2:\quad {\mathit {term}}\quad /=\quad -{b_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 3:\quad {\mathit {tmp}}\quad =\quad {\mathit {term}}\quad /\quad (2*n+1)}$

${\displaystyle 4:\quad {\mathit {sum}}\quad +=\quad {\mathit {tmp}}}$

En este modelo particular, se supone que cada uno de estos pasos toma aproximadamente la misma cantidad de tiempo. Dependiendo del software utilizado, esta puede ser una muy buena aproximación o puede ser pobre.

La unidad de tiempo se define de manera que un paso del pseudocódigo corresponde a una unidad. Para ejecutar el bucle, en su totalidad, se requieren cuatro unidades de tiempo. se define como cuatro. ${\displaystyle u_{n}}$

Sin embargo, tenga en cuenta que si es igual a uno, se puede omitir el paso uno. El bucle sólo dura tres unidades de tiempo. se define como tres. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

Como ejemplo, considere la ecuación:

La siguiente tabla muestra el tiempo estimado para cada uno de los plazos:

El tiempo total es 0,75467 + 0,54780 + 0,60274 = 1,9052

Compare esto con la ecuación 5 . La siguiente tabla muestra el tiempo estimado para cada uno de los plazos:

El tiempo total es 1,1191 + 0,8672 = 1,9863

La conclusión, basada en este modelo en particular, es que la ecuación 6 es ligeramente más rápida que la ecuación 5 , independientemente de que la ecuación 6 tenga más términos. Este resultado es típico de la tendencia general. El factor dominante es la relación entre y . Para lograr una relación alta, es necesario agregar términos adicionales. A menudo, hay un ahorro neto de tiempo. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Referencias

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   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Reimpreso en Smith, David Eugene (1929). "William Jones: el primer uso de π para la relación circular". Un libro de consulta en matemáticas . McGraw-Hill. págs. 346–347.

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3. Størmer, Carl (1897). "Sur l'application de la théorie des nombres entiers complexes a la solución en nombres rationnels x 1 x 2 … x n {\textstyle x_{1}\ x_{2}\ldots x_{n}} c 1 c 2 … c n { \textstyle c_{1}\ c_{2}\ldots c_{n}} k {\textstyle k} de la ecuación: c 1 a r c t g ⁡ x 1 + {\textstyle c_{1}\operatorname {arc\ tg} x_{1}+{}} c 2 a r c t g ⁡ x 2 + ⋯ + {\textstyle c_{2}\operatorname {arc\ tg} x_{2}+\cdots +} c n a r c t g ⁡ x n = {\textstyle c_{n }\operatorname {arc\ tg} x_{n}={}} k π 4 {\textstyle k{\tfrac {\pi }{4}}} ". Archivo de Mathematik og Naturvidenskab . 19 (3): 1–95.
4. Lehmer, Derrick Henry (1938). "Sobre las relaciones arcotangentes para π". Mensual Matemático Estadounidense . 45 (10): 657–664. doi :10.2307/2302434. JSTOR  2302434.
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7. Størmer, Carl (1896). "Solución completa en nombres entiers m, n, x, y et k de l'équation m a r c t g ⁡ 1 x + n a r c t g ⁡ 1 y = k π 4 . {\textstyle m\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1} {x}}+n\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1}{y}}=k{\tfrac {\pi }{4}}.} ". Mathematisk-naturvidenskabelig Klasse. Skrifter udgivne af Videnskabsselskabet i Christiania . 1895 (11): 1–21.
8. Størmer, Carl (1899). "Solución completa en nombres entiers de l'équation m a r c t a n g ⁡ 1 x + n a r c t a n g ⁡ 1 y = k π 4 {\textstyle m\operatorname {arc\,tang} {\frac {1}{x}}+n\operatorname { arc\,tang} {\frac {1}{y}}=k{\frac {\pi }{4}}} " [Solución completa en números enteros de la ecuación...]. Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés). 27 : 160-170. doi : 10.24033/bsmf.603 .
9. Euler, Leonhard (1744) [escrito en 1737]. "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi". Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 : 222–236. E 74.
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12. Jörg Uwe Arndt: "Asuntos computacionales", sección 32.5.2, página 637.
13. El mayor cálculo manual en un siglo! [Día Pi 2024] . Recuperado 2024-04-02 - a través de www.youtube.com.
14. https://arxiv.org/pdf/2108.07718.pdf (2021)

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmulas tipo máquina". MundoMatemático .
• La constante π
• Mérito de Machin en MathPages