Fórmula de Leibniz para π

Las fracciones unitarias impares con signo suman π/4

En matemáticas , la fórmula de Leibniz para π , que lleva el nombre de Gottfried Wilhelm Leibniz , establece que

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}$$

una serie alterna .

A veces se la llama serie Madhava-Leibniz , ya que fue descubierta por primera vez por el matemático indio Madhava de Sangamagrama o sus seguidores en los siglos XIV-XV (ver serie Madhava ), ^[1] y luego fue redescubierta de forma independiente por James Gregory en 1671 y Leibniz en 1673. ^[2] La serie de Taylor para la función tangente inversa , a menudo llamada serie de Gregory , es

$${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$$

La fórmula de Leibniz es el caso especial ^[3] ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

También se evalúa la serie L de Dirichlet del carácter de Dirichlet no principal del módulo 4 y, por lo tanto, el valor β (1) de la función beta de Dirichlet . ${\displaystyle s=1,}$

Pruebas

Prueba 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$$

Considerando sólo la integral en el último término, tenemos:

$${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

Por lo tanto, según el teorema de compresión , como n → ∞ , nos queda la serie de Leibniz:

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

Prueba 2

Sea , cuando , la serie a ser converge uniformemente, entonces ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$

$${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$$

Por lo tanto, si se aproxima de manera que sea continua y converja uniformemente, la prueba está completa, donde la serie converge según la prueba de Leibniz y también se aproxima desde dentro del ángulo de Stolz, por lo que, según el teorema de Abel, esto es correcto. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1)}$

Convergencia

Comparación de la convergencia de la fórmula de Leibniz ( □ ) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subtrama subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para obtener más detalles)

La fórmula de Leibniz converge extremadamente lentamente: presenta una convergencia sublineal . Calcular π con 10 decimales correctos usando la suma directa de la serie requiere exactamente cinco mil millones de términos porque4/2k + 1< 10 ⁻¹⁰ para k > 2 × 10 ¹⁰ −1/2(Es necesario aplicar el límite de error de Calabrese ). Para obtener 4 decimales correctos (error de 0,00005) se necesitan 5000 términos. ^[4] Se encuentran disponibles límites de error incluso mejores que los de Calabrese o Johnsonbaugh. ^[5]

Sin embargo, la fórmula de Leibniz se puede utilizar para calcular π con alta precisión (cientos de dígitos o más) utilizando varias técnicas de aceleración de convergencia . Por ejemplo, la transformación de Shanks , la transformada de Euler o la transformación de Van Wijngaarden , que son métodos generales para series alternas, se pueden aplicar eficazmente a las sumas parciales de la serie de Leibniz. Además, la combinación de términos por pares da la serie no alterna

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$$

que puede evaluarse con alta precisión a partir de un pequeño número de términos utilizando la extrapolación de Richardson o la fórmula de Euler-Maclaurin . Esta serie también puede transformarse en integral mediante la fórmula de Abel-Plana y evaluarse mediante técnicas de integración numérica .

Comportamiento inusual

Si la serie se trunca en el momento adecuado, la expansión decimal de la aproximación coincidirá con la de π para muchos más dígitos, excepto para dígitos aislados o grupos de dígitos. Por ejemplo, tomando cinco millones de términos se obtiene

$${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$$

donde los dígitos subrayados son incorrectos. De hecho, los errores se pueden predecir; son generados por los números de Euler E _n según la fórmula asintótica

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$$

donde N es un número entero divisible por 4. Si se elige que N sea una potencia de diez, cada término de la suma correcta se convierte en una fracción decimal finita. La fórmula es un caso especial de la fórmula de suma de Euler-Boole para series alternas, y proporciona otro ejemplo más de una técnica de aceleración de convergencia que se puede aplicar a la serie de Leibniz. En 1992, Jonathan Borwein y Mark Limber utilizaron los primeros mil números de Euler para calcular π con 5263 decimales con la fórmula de Leibniz. ^[6]

Producto Euler

La fórmula de Leibniz se puede interpretar como una serie de Dirichlet utilizando el carácter único no principal de Dirichlet módulo 4. Al igual que con otras series de Dirichlet, esto permite convertir la suma infinita en un producto infinito con un término para cada número primo . Un producto de este tipo se denomina producto de Euler . Es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$$

razón superparticular^[7]

Ver también

• Lista de fórmulas que involucran π

Referencias

1. Plofker, Kim (noviembre de 2012), " Tantrasaṅgraha de Nīlakaṇṭha Somayājī por K. Ramasubramanian y MS Sriram", The Mathematical Intelligencer , 35 (1): 86–88, doi :10.1007/s00283-012-9344-6, S2CID  124507583
2. Roy, Ranjan (1990). "El descubrimiento de la fórmula en serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha" (PDF) . Revista Matemáticas . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541.
   Horvath, Miklos (1983). «Sobre la cuadratura leibniziana del círculo» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
3. Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Cambridge University Press , pág. 58, ISBN 0-521-78988-5
4. Villarino, Mark B. (21 de abril de 2018). "El error en una serie alterna". El Mensual Matemático Estadounidense . 125 (4): 360–364. doi :10.1080/00029890.2017.1416875. hdl : 10669/75532 . ISSN  0002-9890. S2CID  56124579.
5. Rattaggi, Diego (30 de agosto de 2018). "Estimaciones de error para la serie de Gregory-Leibniz y la serie armónica alterna utilizando integrales de Dalzell". arXiv : 1809.00998 [matemáticas.CA].
6. Borwein, Jonathan ; Bailey, David ; Girgensohn, Roland (2004), "1.8.1: Serie de Gregory reexaminada", Experimentación en matemáticas: caminos computacionales hacia el descubrimiento , AK Peters, págs. 28–30, ISBN 1-56881-136-5, señor  2051473
7. Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: un tributo al tricentenario, World Scientific, p. 214, ISBN 9781848165267.

enlaces externos

• Fórmula de Leibniz en C, ensamblaje x86 FPU, ensamblaje x86-64 SSE3 y ensamblaje DEC Alpha