Serie alterna

Series infinitas cuyos términos se alternan en signo.

En matemáticas , una serie alterna es una serie infinita de la forma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

un _n > 0nserie alterna convergeconverge

Ejemplos

La serie geométrica 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ suma 1/3 .​​​​​​​

La serie armónica alterna tiene una suma finita pero la serie armónica no.

La serie de Mercator proporciona una expresión analítica del logaritmo natural :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}$$

Las funciones seno y coseno utilizadas en trigonometría se pueden definir como series alternas en cálculo, aunque se introducen en álgebra elemental como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. De hecho,

$${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$

$${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

(–1) ⁿ de estas series se obtienen las funciones hiperbólicas

Para un índice α entero o positivo, la función de Bessel del primer tipo se puede definir con la serie alterna

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

Γ( z )función gamma

Si s es un número complejo , la función Dirichlet eta se forma como una serie alterna

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

la teoría analítica de números

Prueba de series alternas

El teorema conocido como "Prueba de Leibniz" o prueba de series alternas nos dice que una serie alterna convergerá si los términos an _convergen a 0 de forma monótona .

Prueba: Supongamos que la secuencia converge a cero y es monótona decreciente. Si es impar y , obtenemos la estimación mediante el siguiente cálculo: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

Como es monótonamente decreciente, los términos son negativos. Así, tenemos la desigualdad final: . De manera similar, se puede demostrar que . Como converge a , nuestras sumas parciales forman una secuencia de Cauchy (es decir, la serie satisface el criterio de Cauchy ) y por lo tanto convergen. El argumento a favor de incluso es similar. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

Sumas aproximadas

La estimación anterior no depende de . Entonces, si se acerca a 0 monótonamente, la estimación proporciona un límite de error para aproximar sumas infinitas mediante sumas parciales: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$

$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$

^[1]de Johnsonbaugh^[2]la transformada de Euler^[3] ${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$ ${\displaystyle a_{20000}}$ ${\displaystyle a_{10000}}$ ${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

Convergencia absoluta

Una serie converge absolutamente si la serie converge. ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

Teorema: Las series absolutamente convergentes son convergentes.

Prueba: Supongamos que es absolutamente convergente. Entonces, es convergente y se deduce que también converge. Desde entonces , la serie converge según la prueba de comparación . Por tanto, la serie converge como la diferencia de dos series convergentes . ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

Convergencia condicional

Una serie es condicionalmente convergente si converge pero no converge absolutamente.

Por ejemplo, la serie armónica

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$$

Reordenamientos

Para cualquier serie, podemos crear una nueva serie reorganizando el orden de suma. Una serie es incondicionalmente convergente si cualquier reordenamiento crea una serie con la misma convergencia que la serie original. Las series absolutamente convergentes son incondicionalmente convergentes . Pero el teorema de la serie de Riemann establece que las series condicionalmente convergentes se pueden reordenar para crear una convergencia arbitraria. ^[4] El principio general es que la suma de sumas infinitas sólo es conmutativa para series absolutamente convergentes.

Por ejemplo, una prueba falsa de que 1=0 explota el fracaso de la asociatividad para sumas infinitas.

Como otro ejemplo, por la serie Mercator.

$${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

Pero como la serie no converge absolutamente, podemos reordenar los términos para obtener una serie para : ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

Aceleración en serie

En la práctica, la suma numérica de una serie alterna se puede acelerar utilizando cualquiera de una variedad de técnicas de aceleración de series . Una de las técnicas más antiguas es la de la suma de Euler , y existen muchas técnicas modernas que pueden ofrecer una convergencia aún más rápida.

Ver también

• la serie de grandi
• Nörlund-Arroz integral

Notas

1. Calabrese, Philip (marzo de 1962). "Una nota sobre series alternas". El Mensual Matemático Estadounidense . 69 (3): 215–217. doi :10.2307/2311056. JSTOR  2311056.
2. Johnsonbaugh, Richard (octubre de 1979). "Suma de una serie alterna". El Mensual Matemático Estadounidense . 86 (8): 637–648. doi :10.2307/2321292. JSTOR  2321292.
3. Villarino, Mark B. (27 de noviembre de 2015). "El error en una serie alterna". arXiv : 1511.08568 [matemáticas.CA].
4. Mallik, Alaska (2007). "Curiosas consecuencias de secuencias simples". Resonancia . 12 (1): 23–37. doi :10.1007/s12045-007-0004-7. S2CID  122327461.

Referencias

• Earl D. Rainville (1967) Serie infinita , págs. 73–6, Macmillan Publishers .
• Weisstein, Eric W. "Serie alterna". MundoMatemático .